第13章 三角形中的边角关系、命题与证明知识归纳与题型突破（14类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、三角形边中边角关系 1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形. 2、三角形的“三元素”：顶点、边、内角. 3、三角形分类 （1）按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形和等边三角形） （2）按角分：直角三角形、斜三角形（锐角三角形、钝角三角形） 4.三角形的三边关系 5、三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于1800. 二、几条重要的线段 1、角平分线；三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 2、中线；三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线； 3、三角形的重心：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心; 4、三角形的高线：从三角形一个顶点向它所对的边做垂线，所得线段叫做这条边上的高. 三、命题与证明 1、命题：对某一事件作出正确或不正确判断的句子（或式子）叫做命题. 2.命题的结构:命题由题设(条件)和结论两部分组成.题设(条件)是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3.命题的种类: (1)真命题:如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题. (2)假命题:题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 4.反例: 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子称之为反例。 四、定理与证明 1.定理：有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫做定理. 2.证明: 从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是 演绎证明，简称证明. (1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实(公理)、定理等. (2)证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可. 3.证明的一般步骤: (1)审题，分清命题的题设和结论; (2)画图，结合图形写出已知和求证; (3)分析因果关系，找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程. 03 题型归纳 题型一　三角形的识别与相关概念 例1. （24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型二　三角形的个数问题 例2．（24-25七年级上·山东·随堂练习）请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 巩固训练 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如图，其中三角形的个数是（　　）    A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 题型三　三角形的分类 例3. （24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）在中，，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）一个三角形三个内角的度数之比是1：2：3，则这个三角形属于（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24八年级上·云南昭通·期中）三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列说法中错误的是（    ）． A．等边三角形是等腰三角形 B．三角形的高、中线、角平分线都是线段 C．等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合 D．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点 题型四　三角形的稳定性 例4. （24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（　　） A．全等三角形的性质 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 巩固训练 1．（2011·湖北荆州·中考模拟）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 2．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（   ） A．两点之间线段最短 B．矩形的四个角时直角 C．三角形的稳定性 D．长方形的对称性 3．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 题型五　构成三角形的条件 例5. （23-24八年级上·福建厦门·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1. （23-24七年级下·全国·单元测试）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）． A．3，4，8； B．5，6，11； C．5，6，10 D．2，7，4 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·开学考试）下列能组成三角形的线段是（    ） A．3、2、6 B．4、3、5 C．2、4、6 D．3、6、9 题型六　确定第三边的取值范围 例6．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是和，则第三边上的高最长为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 题型七　三角形三边关系的应用 例7. （22-23八年级上·全国·课后作业）如图，P为中任意一点．证明：． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是中线，，的周长比的周长大4． (1)求，的长； (2)求周长的取值范围． 2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）已知为的三边长，满足，且为整数，求的周长的最大值和最小值． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．试说明：．    题型八　与高有关的计算 例8. （24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知中为直角，且，，． (1)画出的高； (2)利用面积公式求的长． 巩固训练 1. （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，中，平分 ，，，．求的度数．    3．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 题型九　与中线有关的计算 例9. （23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上．    (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 巩固训练 1. （24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，分别是的高和角平分线，且，，求． 2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数．    3．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 题型十　三角形内角和定理 例10. （24-25八年级上·广东广州·阶段练习）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 巩固训练 1. 1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 题型十一　直角三角形两锐角互余 例11. （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为3，求的长． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知中，于平分，，求的度数； （2）在图2中，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，求的度数； （3）在图3中，，且，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用表示的度数为 ． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．    (1)求，； (2)直接写出与的关系． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高，求的度数． （2）如图②，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点，点是线段延长线上一点，过点作，交的延长线于点，求的度数． 题型十二　三角形角平分线的性质 例12. （23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F． (1)说明：； (2)若，求的度数． 巩固训练 1. （23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，中，E是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 2．（23-24七年级下·北京·期末）如图，已知直线，． (1)证明：； (2)连接，平分，，求的度数． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、． (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：； (3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系． 题型十三　三角形的外角定义及性质 例13. （24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)直接写出、、三个角之间存在的等量关系． 巩固训练 1. （24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在中，，，平分，M是延长线上一点，过点M作，垂足为H，分别与，交于点F，E．求的度数． 2．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）操作：如图1，将沿射线平移到，使原B点与C点重合，这时，所以，，请回答： (1)的值为　　　； (2)若，，则　　　；若，，则　　　； (3)我们把、、称为的内角；把称为的外角，为的外角，每个三角形都有六个外角．运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知中，，、分别平分、，平分外角交与点，求，． 3．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： (1)如图1，，分别是和的平分线且相交于点P，若，求的度数； (2)如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点P，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，平分，平分，和交于点E，若，直接写出的度数． 题型十四　命题与证明 例14. （22-23八年级上·全国·单元测试）写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 巩固训练 1. 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 2．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 3．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）写出命题“等角的余角相等”的逆命题，并指出它的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，举出一个反例． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、三角形边中边角关系 1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形. 2、三角形的“三元素”：顶点、边、内角. 3、三角形分类 （1）按边分：三边都不相等的三角形、等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形和等边三角形） （2）按角分：直角三角形、斜三角形（锐角三角形、钝角三角形） 4.三角形的三边关系 5、三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于1800. 二、几条重要的线段 1、角平分线；三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 2、中线；三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线； 3、三角形的重心：三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心; 4、三角形的高线：从三角形一个顶点向它所对的边做垂线，所得线段叫做这条边上的高. 三、命题与证明 1、命题：对某一事件作出正确或不正确判断的句子（或式子）叫做命题. 2.命题的结构:命题由题设(条件)和结论两部分组成.题设(条件)是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3.命题的种类: (1)真命题:如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题. (2)假命题:题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 4.反例: 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子称之为反例。 四、定理与证明 1.定理：有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫做定理. 2.证明: 从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是 演绎证明，简称证明. (1)证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实(公理)、定理等. (2)证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可. 3.证明的一般步骤: (1)审题，分清命题的题设和结论; (2)画图，结合图形写出已知和求证; (3)分析因果关系，找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程. 03 题型归纳 题型一　三角形的识别与相关概念 例1. （24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的有关概念，利用等面积法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）下列说法：①三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④“对顶角相等”的证明依据是等角的补角相等． 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等是解题的关键．根据三角形相关概念、平行线的判定与性质、对顶角相等判断求解即可． 【详解】解：①三角形的高、中线、角平分线都是线段，故①正确，符合题意； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误，不符合题意; ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故③错误，不符合题意； ④“对顶角相等”的证明依据是同角的补角相等，故④错误，不符合题意； 只有一个正确； 故选：A． 题型二　三角形的个数问题 例2．（24-25七年级上·山东·随堂练习）请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：图形中有三角形：，，，，， 图中共有5个三角形． 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，以点A为三角形的一个顶点的三角形共有（    ）    A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】根据三角形的定义得出答案即可． 【详解】解：以点为顶点的三角形有6个，它们分别是，，，，，． 故选A． 【点睛】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数． 2．（23-24八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，在中，，分别为，上的点，以为顶点的三角形的个数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有，，，， ∴以为顶点的的三角形的个数是4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 3．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如图，其中三角形的个数是（　　）    A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】根据图形数出三角形个数即可． 【详解】解：图中有、、，、共5个，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形个数问题，解题的关键是数形结合，找出所有的三角形． 题型三　三角形的分类 例3. （24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）在中，，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 的形状是直角三角形， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）一个三角形三个内角的度数之比是1：2：3，则这个三角形属于（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和是180°，设三个内角分别为，则，分别求得三个内角的度数，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形三个内角的度数之比是1：2：3， 设三个内角分别为，则 解得：， ∴这三个内角分别为， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 2．（23-24八年级上·云南昭通·期中）三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．根据三角形按边的分类方法即可确定． 【详解】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期中）下列说法中错误的是（    ）． A．等边三角形是等腰三角形 B．三角形的高、中线、角平分线都是线段 C．等腰三角形的高线、中线和角平分线互相重合 D．钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义，熟知相关知识是解题的关键．根据三角形的分类方法，三角形中线，角平分线，高的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、等边三角形是等腰三角形，原说法正确，不符合题意； B、三角形的高、中线、角平分线都是线段，原说法正确，不符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，符合题意； D、钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外一点，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 题型四　三角形的稳定性 例4. （24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（　　） A．全等三角形的性质 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释，正确理解三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性， 故选：C． 巩固训练 1．（2011·湖北荆州·中考模拟）如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行作答即可． 【详解】解：由题意，所用的几何原理是三角形具有稳定性； 故选D． 2．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）木工在做完门框后，为防止门框变形，常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（   ） A．两点之间线段最短 B．矩形的四个角时直角 C．三角形的稳定性 D．长方形的对称性 【答案】C 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，熟悉三角形稳定性的性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：木工在做完门框后，为防止门框变形，斜拉两个木条，是根据三角形具有稳定性． 故选：C． 3．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（  ） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性,即得答案． 【详解】解：该做法利用了三角形的稳定性． 故选A． 题型五　构成三角形的条件 例5. （23-24八年级上·福建厦门·期中）下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析，实际判断时即两个较小边的和大于第三边即可． 【详解】解：A、因为，所以不能围成一个三角形； B、因为，所以不能围成一个三角形； C、因为，所以能围成一个三角形； D、因为，所以不能围成一个三角形； 故选：C． 巩固训练 1. （23-24七年级下·全国·单元测试）下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ）． A．3，4，8； B．5，6，11； C．5，6，10 D．2，7，4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系即可判断答案． 【详解】， A选项不符合题意； ， B选项不符合题意； ， C选项符合题意； ， D选项不符合题意． 故选C． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：A、，不能摆成三角形，不符合题意； B、，不能摆成三角形，不符合题意； C、，不能摆成三角形，不符合题意； D、，能摆成三角形，符合题意 故选：D ． 3．（24-25八年级上·广东广州·开学考试）下列能组成三角形的线段是（    ） A．3、2、6 B．4、3、5 C．2、4、6 D．3、6、9 【答案】B 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，与两边之和大于第三边不一致， ∴A不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边一致， ∴B符合题意； ∵，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，构不成三角形， ∴D不符合题意； 故选B． 题型六　确定第三边的取值范围 例6．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）若三角形的三边长分别是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、解一元一次不等式组，根据三角形的三边关系，分情况列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是和，则第三边上的高最长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形三边关系．注意利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键； 首先设高为4和12的两边长分别为a，b，第三边为c，根据，得，，根据三角形的任意两边之和一定要大于第三边，求出c边的高范围． 【详解】 设，，， ， ，， ， ， ， 即高为3到6之间， 或5 的三边长度各不相等，各边上的高都是整数， 高不能为4， 第三边上的高最长为， 故选：B 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即， ∵是整数， ∴，，，，， ∴当时，三角形的周长最小值是， 故选：． 题型七　三角形三边关系的应用 例7. （22-23八年级上·全国·课后作业）如图，P为中任意一点．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理的应用，掌握三角形的两边之和大于第三边成为解题的关键． 如图：延长交于D，在中，，在中，，求出，同理，最后相加化简即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长交于D， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 同理：， ∴，即． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是中线，，的周长比的周长大4． (1)求，的长； (2)求周长的取值范围． 【答案】(1)， (2)周长 【分析】（1）由是的中线得，则和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）根据三角形的三边关系先求出的范围，进而可求出周长的取值范围． 本题主要考查了三角形中线的定义和性质以及三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即， 又， 得， 解得， 得，， 解得， 和的长分别为：，． （2）解：，， ， 即， ， ， 周长． 2．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）已知为的三边长，满足，且为整数，求的周长的最大值和最小值． 【答案】的周长的最大值为，最小值为． 【分析】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质和偶次方的性质，由得，，根据三边关系可知，则的最大值为，的最小值为，最后由周长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，即， ∵为整数， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的周长的最大值为，最小值为． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．试说明：．    【答案】见解析 【详解】解：因为在△OAB中，，在△OAD中，， 在△ODC中，，在△OBC中，， 所以， 即，所以． 题型八　与高有关的计算 例8. （24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知中为直角，且，，． (1)画出的高； (2)利用面积公式求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作三角形的高，利用三角形的面积求高的长； （1）过A点作的垂线，交于点D，线段即为所作； （2）利用求出长即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）解：∵， ∴． 巩固训练 1. （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，，是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先利用面积法求出的长，然后根据三角形的中线定义即可求解； （）先通过三角形的外角性质，从而求出，由角平分线的定义得，最后通过外角性质和直角三角形的性质即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，中，平分 ，，，．求的度数．    【答案】 【分析】根据，结合，结合三角形内角和定理，角的平分线解答即可． 本题考查了三角形的高线，角的平分线，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，，． ∴． 3．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，与中，与相交于E，交于F． (1)的边上的高是 ；的边上的高是 ； (2)若，，，求的面积及的长． 【答案】(1)， (2)的面积为8， 【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式． （1）根据三角形某条边上高的定义可以得解； （2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵在中， ∴的边上的高是； ∵在中， ∴的边上的高是； （2）∵在中，，，， ∴的面积； ∵ ∴，即 ∴． 题型九　与中线有关的计算 例9. （23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D在边上．    (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键。 （1）根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到，再由三角形周长公式结合已知条件推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 巩固训练 1. （24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，分别是的高和角平分线，且，，求． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 【详解】解：∵ ∵是的角平分线， ， ∵是的高， ． 2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线与角平分线，根据已知条件得到，求得，根据角平分线的定义得到，于是得到答案． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）【感知】如图①，在中，分别是和的平分线． 【应用】 （1）若，则______°； （2）若，求的度数； （3）写出与之间的数量关系并证明； 【拓展】 （4）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）；证明见解析；（4） 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理求解； （3）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （4）结合（3）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵、分别是和的平分线，， ， ． （2）∵分别是和的平分线， ， ， ， ； （3）；理由如下： ∵分别是和的平分线， ， ； （4）． 如图，延长，交于点， 由（3）知，， ， ， ， ， 即． 题型十　三角形内角和定理 例10. （24-25八年级上·广东广州·阶段练习）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【答案】，或， 【分析】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 巩固训练 1. 1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线以及角平分线，三角形内角和定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由三角形的面积公式，得出，再利用中线的定义，即可求出的长； （2）由三角形内角和定理，得出，进而得出，再由三角形内角和定理，求出，即可得出的度数． 【详解】（1）解：为边上的高，的面积为24， ， ， 为边上的中线， ； （2）解：，， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小； （3）设，则，得出，，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵的周长为，， ∴设，则， ∵是的中线， ∴， 则， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上可知：或． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形周长的计算，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等和两直线平行，同位角相等． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积， （1）根据三角形面积公式得，据此可得的长； （2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差； （3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值． 【详解】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 题型十一　直角三角形两锐角互余 例11. （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． (1)若，，求的度数； (2)若，与的周长差为3，求的长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）是中点， ， 与的周长差为3， ， ， ， ， 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知中，于平分，，求的度数； （2）在图2中，其他条件不变，若把“于改为是上一点，于”，求的度数； （3）在图3中，，且，若把（2）中的“点在上”改为“点是延长线上一点”，其余条件不变，试用表示的度数为 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握三角形内角和定理，图形结合分析方法是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得的度数，再利用角平分线的定义得，从而得出答案； （2）根据三角形内角和定理、角平分线定义用含代数式表示和，根据三角形内角和定理求出； （3）同理（2），用含代数式表示和即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴； （3）∵， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．    (1)求，； (2)直接写出与的关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可得的度数；先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：在中，是高，， ， ∵在中，，， ， ∵，分别是，的角平分线， ， ． （2）解：在中，， ∵，分别是，的角平分线， ． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）（1）如图①，在中，，是边上的高，求的度数． （2）如图②，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点，点是线段延长线上一点，过点作，交的延长线于点，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，则，再由是边上的高，表示出，，结合列方程求解即可得到答案； （2）根据题意求出，再根据角平分线定义及平行线性质即可得到答案． 【详解】解：（1）设，则， 是边上的高， ，，又， ，解得， ； （2），， ， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查高的定义、直角三角形两锐角互余、解方程、角平分线定义及平行线性质等知识，数形结合，灵活运用相关几何性质求出角度是解决问题的关键． 题型十二　三角形角平分线的性质 例12. （23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定、三角形内角和定理，（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）利用三角形内角和定理求得， 再根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴． 巩固训练 1. （23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，中，E是上一点，过D作交于E点，F是上一点，连接．若． (1)求证：． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得，根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质可得，由角平分线的定义得，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24七年级下·北京·期末）如图，已知直线，． (1)证明：； (2)连接，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，进而可得． （2）如图，由平分，可得，由（1）可知，，，，则，由，可得，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵平分， ∴， 由（1）可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的度数为． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、． (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：； (3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）得：， 同理：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，作的角平分线交于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ． 题型十三　三角形的外角定义及性质 例13. （24-25八年级上·北京·阶段练习）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)直接写出、、三个角之间存在的等量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）先得出，根据平分，可得，再根据，即可作答； （2）根据平分，可得，结合， ，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ， 即． 巩固训练 1. （24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）如图，在中，，，平分，M是延长线上一点，过点M作，垂足为H，分别与，交于点F，E．求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理．由角平分线的定义得，由外角性质可得，然后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）操作：如图1，将沿射线平移到，使原B点与C点重合，这时，所以，，请回答： (1)的值为　　　； (2)若，，则　　　；若，，则　　　； (3)我们把、、称为的内角；把称为的外角，为的外角，每个三角形都有六个外角．运用（1）（2）结论，解决问题：如图2，已知中，，、分别平分、，平分外角交与点，求，． 【答案】(1)180 (2)96，； (3)； 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等等： （1）根据平角的定义，可得，求解即可； （2）先求出的度数，再根据代入求解即可； （3）根据（1）的结论可知，根据角平分线的定义以及（1）的结论即可求出，根据角平分线的定义以及（2）的结论即可求出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：180； （2）∵，， ∴，， ∴， 当，，则，， ∴， 故答案为：96，； （3）解：∵，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为，的度数为． 3．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： (1)如图1，，分别是和的平分线且相交于点P，若，求的度数； (2)如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点P，请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，平分，平分，和交于点E，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角： （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和，三角形的外角和角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的外角的性质和角平分线的定义，结合，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，分别是和外角的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十四　命题与证明 例14. （22-23八年级上·全国·单元测试）写出符合下列条件的一个原命题： (1)原命题和逆命题都是真命题； (2)原命题是假命题，但逆命题是真命题； (3)原命题是真命题，但逆命题是假命题： (4)原命题和逆命题都是假命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了命题的真假，熟练掌握命题的有关概念是解题的关键． （1）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （2）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （3）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可； （4）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可． 【详解】（1）解：两直线平行，内错角相等（答案不唯一）； （2）解：相等的角是对顶角（答案不唯一）； （3）解：所有直角都相等（答案不唯一）； （4）解∶内错角不相等，两直线平行（答案不唯一）． 巩固训练 1. 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 3．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段练习）写出命题“等角的余角相等”的逆命题，并指出它的逆命题是真命题还是假命题．如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，举出一个反例． 【答案】命题“等角的余角相等”的逆命题为：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，正确，是真命题；证明见解析 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，判断命题的真假，证明命题是真命题，掌握命题的相关知识是解本题的关键，本题先写出“等角的余角相等”的逆命题，再写好已知，求证，最后再证明即可． 【详解】解：命题“等角的余角相等”的逆命题为：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，正确，是真命题； 已知：与互余，与互余，且， 求证：． 证明：∵与互余，与互余， ∴，， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$