第13章 三角形中的边角关系、命题与证明易错训练与压轴训练（3类易错+3类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　忽视组成三角形的条件 1 易错题型二　非三角形问题用三角形内角和定理解决 4 易错题型三　不能正确判断语句是不是命题 7 压轴题型一　三角形的三边关系 13 压轴题型二　三角形中角的计算 15 压轴题型三　与三角形角度有关的探究题 17 02 易错题型 易错题型一　忽视组成三角形的条件 例1． （23-24八年级上·陕西西安·开学考试）下列长度的三条线段：①3，4，8；②5，6，11，③5，6，10，④5，5，10，能组成三角形的是 ．（只填序号） 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 3．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）等腰三角形的两边长分别是2和4，则这个三角形的周长是 ． 易错题型二　非三角形问题用三角形内角和定理解决 例2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图．，于N，， ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，若，则 °． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，则为 ． 易错题型三　不能正确判断语句是不是命题 例3. （24-25八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 巩固训练 1．（2021七年级下·全国·专题练习）判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的? ①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）给出下列语句，先判断是否为命题，如果是命题请指明其题设和结论． （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）直角都相等； （3）画直线AB； （4）凡内错角都相等． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)将27开立方． (2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？ (3)锐角小于直角． (4)（a为实数）． 03 压轴题型 压轴题型一　三角形的三边关系 例1. （2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 巩固训练 1．（22-23八年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，，是的三边长，、满足，且边长的值为偶数，则的周长为多少？ 2．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）已知：在中，，，长是正整数，当的周长最大时，求的长． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 压轴题型二　三角形中角的计算 例2. （24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在中，已知是角平分线，，，点，求的度数． 巩固训练 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，，平分，是边上的高，求的度数． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 3．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，中，，的外角平分线交的延长线于点D，若，求的度数． 压轴题型三　与三角形角度有关的探究题 例3. （24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． (1)若． ①如图1，当点F与点A重合时，_______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； (2)设，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x、y的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明 易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　忽视组成三角形的条件 1 易错题型二　非三角形问题用三角形内角和定理解决 4 易错题型三　不能正确判断语句是不是命题 7 压轴题型一　三角形的三边关系 13 压轴题型二　三角形中角的计算 15 压轴题型三　与三角形角度有关的探究题 17 02 易错题型 易错题型一　忽视组成三角形的条件 例1． （23-24八年级上·陕西西安·开学考试）下列长度的三条线段：①3，4，8；②5，6，11，③5，6，10，④5，5，10，能组成三角形的是 ．（只填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得． 【详解】解：①，不能组成三角形； ②，不能组成三角形； ③，能组成三角形； ④，不能组成三角形； 故答案为：③ 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南新乡·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵ ∴符合题意的只有②③④． 故答案为：②③④． 2．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形． 【详解】解：若3为腰长，7为底边长， ∵， ∴三角形不存在， 若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边， ∴这个三角形的周长， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东泰安·阶段练习）等腰三角形的两边长分别是2和4，则这个三角形的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，恰当分类并判定能否构成三角形是解题的关键． 分两种情况：腰长为2或腰长为4，先判定能否构成三角形，再求周长． 【详解】解：分两种情况： ①腰长为2，底边长为4时，∵，∴不能构成三角形； ②腰长为4，底边长为2时，∵，∴能构成三角形，这个三角形的周长是． 故答案为：10． 易错题型二　非三角形问题用三角形内角和定理解决 例2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图．，于N，， ． 【答案】28 【分析】本题考查垂线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，根据垂线的定义得到，利用三角形外角的性质求出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：28． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理得到，然后根据三角形内角和定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，设交于F，交于， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 易错题型三　不能正确判断语句是不是命题 例3. （24-25八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题 【分析】本题考查了判断是否是命题．根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子，据此逐一分析即可求解． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 巩固训练 1．（2021七年级下·全国·专题练习）判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的? ①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角． 【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题 【分析】根据命题的定义对各个选项进行分析判断即可 【详解】解：①画直线AB，不是判断真假的语句，故不是命题； ②两线直线相交有几个交点？不是判断真假的语句，故不是命题； ③若a∥b，b∥c，则a∥c，是判断真假的语句，是命题，是真命题； ④直角都相等，是判断真假的语句，是命题，是真命题； ⑤相等的角都是直角，是判断真假的语句，是命题，是假命题； ⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角，是判断真假的语句，是命题，是真命题； 所以①②不是命题；在③④⑤⑥四个命题中，③④⑥是真命题，⑤是假命题． 【点睛】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，要求对命题的定义有很好的掌握． 2．（2021七年级下·全国·专题练习）给出下列语句，先判断是否为命题，如果是命题请指明其题设和结论． （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）直角都相等； （3）画直线AB； （4）凡内错角都相等． 【答案】（3）不是命题，（1）、（2）、（4）是命题，题设和结论见解析． 【分析】根据命题的定义：一般地，在数学中把用语言，符号或式子表示的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中已知的事项叫做题设，由已知事项推出的事项叫做结论，进行求解即可． 【详解】解：（1）是命题，题设：两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，结论：这两条直线平行； （2）是命题：题设：两个角都是直角，结论：这两个角相等； （3）不是命题； （4）是命题，题设：两个角都是内错角，结论：这两个角相等； 【点睛】本题主要考查了命题，以及命题的题设与结论，解题的关键在于能够熟知命题的定义． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)将27开立方． (2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？ (3)锐角小于直角． (4)（a为实数）． 【答案】(1)不是命题 (2)不是命题 (3)是命题 (4)是命题 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可． 【详解】（1）解：将27开立方不是命题； （2）解：任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题； （3）解：锐角小于直角是命题； （4）解：（a为实数）是命题． 【点睛】本题主要考查了命题的定义， 一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 03 压轴题型 压轴题型一　三角形的三边关系 例1. （2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，根据大边对大角可得到，，进而可推出，从而可得到，同理可得，从而求证，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（22-23八年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，，是的三边长，、满足，且边长的值为偶数，则的周长为多少？ 【答案】的周长为或 【分析】本题考查了绝对值，偶次幂的非负性，三角形三边数量关系，根据题意，，求出的值，根据三角形三边数量关系，确定的值，分类讨论，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， 解得，， ∴，即， ∵的值为偶数， ∴或， 当时，三角形三边长分别为：， ∴的周长为：； 当时，三角形三边长分别为：， ∴的周长为：； 综上所述，的周长为或． 2．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）已知：在中，，，长是正整数，当的周长最大时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理； 先根据三角形三边关系定理求出的取值范围，再结合已知得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，即， 又∵长是正整数，且的周长最大， ∴． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】(1)8 (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ∵的周长为10， ， ， ， ∴的周长． 压轴题型二　三角形中角的计算 例2. （24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图所示，在中，已知是角平分线，，，点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义可得，由得继而利用三角形内角和定理即可求得度数，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在中，，平分，是边上的高，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的有关计算，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得出，再由直角三角形两锐角互余可得出，最后再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）根据题意得到，由，利用三角形内角和定理即可解答； （3）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：的面积为6，是边的中线， 的面积为； （2）解：是的高， ， ， ； （3）解：，， ， 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高，角平分线的性质．熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）如图，中，，的外角平分线交的延长线于点D，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为．也考查了角平分线定义以及三角形外角的性质．设，由，根据角平分线定义得到，再根据三角形外角的性质得到，再由，然后根据三角形的内角和定理即可得到． 【详解】解：设， ， ， 而平分， ， 而， ， ， 在中， ， 即， ． 即． 压轴题型三　与三角形角度有关的探究题 例3. （24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在 中，，D，E分别是边，上的点（点D不与点A，C重合，点E不与点A，B重合），P是平面内一动点（点P不与点D，B在同一直线上）．设 ，，． 【类比思考】 （1）如图②，若点 P 在 的外部，则 之间有何关系? 写出你的结论，并说明理由． 【拓展探究】 （2）当点P 在边的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并直接写出对应的之间的关系式． 【答案】（1），理由见解析；（2）图见解析，或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等，灵活运用定理进行计算是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质，，求出，，之间的关系； （2）画出符合条件的图形，根据图形和（1）的结论解答即可． 【详解】解：（1）结论：，理由如下： 如图1所示： 根据三角形外角的性质可知， ，， ∵， ∴． （2）如图2， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴． 如图3， 由外角的性质得： ，， ∵， ∴， 即． 综上所述，或． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；②，证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． （1）根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明结论； （2）①根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．②根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 【详解】（1）证明：∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ． ∴． （2）解：①如图2：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴． ②如图3：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． ∴． 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． (1)若． ①如图1，当点F与点A重合时，_______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； (2)设，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x、y的式子表示） 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，，由角平分线定义得，从而可求出； （2）①同（1）可得，根据三角形外角的性质得，在中，由勾股定理可得结论； ②根据三角形内角和定理得出，，由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理可求出． 【详解】（1）解：①∵，且， ∴ ∵平分， ∴ 在中， ∴ ∴， 故答案为：； ②由（1）知， ∵是的外角，且， ∴ ∴， 在中， ∴， （2）解：∵，且， ∴ ∵平分， ∴ ∴， 在中， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$