第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．计算结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积的乘方，同底数幂的乘法法则变形，再进行计算，即可解答． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握同底数幂相乘和幂的乘方是解答本题的关键． 3．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为a×10n的形式． 【详解】解：路程=． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 4．在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是得出正确答案的前提．根据同底数幂的乘法计算法则进行计算即可． 【详解】解：， “□”所表示的代数式为， 故选：A 5．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选A． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方等运算法则依次判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，不能合并，故本选项不符合题意． 故选：A． 7．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 8．下列计算中，（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．只有（1）与（2）正确 B．只有（1）与（3）正确 C．只有（1）与（4）正确 D．只有（2）与（3）正确 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法和幂的运算性质，注意各自的运算法则的不同．分别根据单项式的乘法、单项式与多项式的乘法及同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘法法则进行逐一计算． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3），故（3）错误； （4），故（4）正确； （5），故（5）错误； 所以（1）（4）两项正确． 故选：C 9．如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形，表示出花园的长和宽，再计算即可． 【详解】由题意可得，花园的长为，宽为， ∴花园的面积为， 故选：D． 10．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项不符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 11．下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据整式的混合运算法则，逐个进行计算，即可得出结论． 【详解】解：（1），故（1）正确，符合题意； （2），故（2）不正确，不符合题意； （3），故（3）不正确，不符合题意； （4），故（4）不正确，不符合题意； 综上：正确的有（1），共1个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握单项式乘以（除以）单项式，多项式乘以多项式，多项式除以单项式的运算法则． 12．关于x的多项式，，（m，n为常数），下列说法正确的个数有（    ） ①若中不含与x项，则，； ②当时，； ③当，时，的最小值为3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题、完全平方式、不等式公式等，解题的关键是灵活利用公式作恰当的变形． ①计算的结果，令含x的项的系数为0，进行求解即可； ②将m、n的值代入，将变形整理为平方式与常数之和，即可得到正确答案； ③将m、n的值代入，利用不等式即可判断最小值． 【详解】∵ ∵不含项和x项， ∴  解得：，，故①正确； 当时， ，故②错误； 当，时，，故③正确． 综合以上情形，正确的选项有①③，故说法正确的个数有2个， 故选：C． 13．小红是一名密码翻译爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，贺，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱贺州 B．美我贺州 C．贺州游 D．我爱美 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将原式因式分解得出结论即可． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码信息为：我爱贺州， 故选：A． 14．如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何图形验证平方差公式，分别表示出图①和图②中阴影面积，即可解答． 【详解】解：图①中阴影面积为， 图②中阴影面积为， 根据根据两部分阴影面积相等可以得到． 故选：B 15．设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案． 【详解】解：∵， 则，故正确； 则， ；故错误； 则， ，故正确； 则， ，故错误， 故正确的为． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．已知，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算，由条件可得，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故答案为：8 17．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式与公式法综合运用分解因式． 先提公因式x，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 18．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形，利用完全平方公式的变形求出的值，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 故答案为：16． 19．学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现： ； ； ； ． 请你利用发现的规律计算： ． 【答案】/ 【分析】根据题干给出的规律，构造，利用规律解题即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式规律探究．解题的关键是构造． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算， （1）根据同底数幂的乘方将原式化为，再根据有理数的乘方进行运算即可； （2）先去括号，再进行合并同类项即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 21．（6分）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值； 【答案】（1），；（2）72 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的乘法， （1）先根据整式乘法法则算乘法，再合并同类项，再求出答案即可． （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值； 【详解】解：（1） ， 当时，原式． （2）∵，， ∴原式． 22．（7分）（1）化简． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． （1）根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将式子展开，再合并同类项，然后再算除法，最后代入值计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， ， 当，时，原式． 23．（7分）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘以多项式的应用，利用面积的计算列出代数式是解决问题的关键． （1）根据图形表示出绿地面积即可； （2）将的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题图可知，绿地面积 （2）当时，． 24．（8分）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 【答案】(1)96 (2)21 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：当时． ． 25．（8分）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查正方形的面积公式、平行四边形的面积公式、乘法公式等知识，正确理解图②与图①中的阴影部分面积之间的相等关系是解题的关键； （1）观察图形可知，图①中的阴影部分是边长为的正方形减去边长为的正方形，而图②中的阴影部分是底边长为，高为的平行四边形，所以，； （2）由，得． 【详解】（1）解：，， 理由：图①中的阴影部分是边长为的正方形减去边长为的正方形， ； 图②中的阴影部分是平行四边形，它的底边长为，而它的高为， ． （2）解：图②与图①中的阴影部分的面积相等， ， ． 26．（8分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底，； (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【详解】（1）解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． （2）解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． （3）解：设， ． 27．（12分）我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A．        B． C．        D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）依次为B，D，C，A；（2）①；②结论成立，理由见解析 【分析】本题主要考查整式运算与几何图形面积的计算， （1）根据图示，几何图形面积的计算方法即可求解； （2）①根据题意可得，四边形是正方形，设，则，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解；②设空白部分长方形的宽为a，长为b，可得，，，，再根据几何图形面积的计算方法分别求出，即可求解． 【详解】解：（1）图1，，故选B； 图2，，故选D； 图3，，故选C； 图4，，故选A； 依次为B，D，C，A； （2）①已知，，，是等腰直角三角形，当是边的中点， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴设，则， ， ， ． 故答案为：； ②结论成立，理由如下， 设空白部分长方形的宽为a，长为b， ，，，是等腰直角三角形， ，，，， ． ． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 整式的乘法与因式分解（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．计算结果是（　　） A．1 B． C． D． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 4．在等式中，“□”所表示的代数式为（    ） A． B． C． D． 5．设，，则（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列计算中，（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．只有（1）与（2）正确 B．只有（1）与（3）正确 C．只有（1）与（4）正确 D．只有（2）与（3）正确 9．如图，在长，宽的长方形空地上规划一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分），则花园的面积为（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 11．下列计算中，正确的个数有（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．关于x的多项式，，（m，n为常数），下列说法正确的个数有（    ） ①若中不含与x项，则，； ②当时，； ③当，时，的最小值为3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．小红是一名密码翻译爱好者，在她的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，贺，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱贺州 B．美我贺州 C．贺州游 D．我爱美 14．如图①，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将阴影部分沿虚线剪开，将其拼接成如图②所示的长方形，则根据两部分阴影面积相等可以验证的数学公式为（    ） A． B． C． D． 15．设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断： ； ； ； ． 其中所有正确推断的序号是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．已知，则的值是 ． 17．因式分解： ． 18．图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 19．学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现： ； ； ； ． 请你利用发现的规律计算： ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）计算： (1)； (2)． 21．（6分）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值； 22．（7分）（1）化简． （2）先化简，再求值：，其中，． 23．（7分）如图为某公园绿地平面图（长度单位：m）． (1)计算绿地面积S（用含a的式子表示） (2)当时，求绿地面积S． 24．（8分）定义一种幂的新运算：．如：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值． 25．（8分）从边长为a的正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形，再将其剪成四个相同的等腰梯形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②） (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含的代数式表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 26．（8分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 27．（12分）我们可以利用几何图形来论证代数结论，请完成以下各题． （1）观察下列图形，找出可以用几何图形来推出的代数公式（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的代号）； A．        B． C．        D． 图1对应公式________，图2对应公式________，图3对应公式________，图4对应公式________； （2）如图5，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为_________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$