2.4.1 圆的标准方程课件- 2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.4圆的方程 第二章 直线和圆的方程 课时1 圆的标准方程 新知探究 探究一：圆的标准方程 情境设置 如图,在平面直角坐标系中,的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点,就是以下点的集合 根据两点间的距离公式,点的坐标满足的条件可以表示为 两边平方,得 (1) 由上述过程可知,若点在上,点的坐标就满足方程(1);反过来,若点的坐标满足方程(1),就说明点与圆心间的距离为,点就在上.这时,我们把方程(1)称为圆心为,半径为的圆的标准方程. 2 新知生成 知识点一 圆的标准方程 1.圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的基本要素是圆心和半径. 3.圆的标准方程：圆心为，半径为的圆的标准方程是 . 特别提醒：(1)由圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径. (2)当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为的圆. 3 一、圆的标准方程 课本P83 的三个顶点分别是,,求的外接圆的标准方程. 【解析】(法一：待定系数法)设所求的方程是 因为三点都在圆上,所以它们的坐标都满足方程(1). 于是，即 观察上面的式子,我们发现,三式两两相减,可以消去,得到关于的二元一次方程组 解此方程组,得 代人,得. 所以,的外接圆的标准方程是 (法二：数形结合) 4 一、圆的标准方程 课本P84 已知圆心为的圆经过两点,且圆心在直线上,求此圆的标准方程. 【解析】解法1:设圆心的坐标为.因为圆心在直线上,所以 因为是圆上两点,所以. 根据两点间距离公式,有 即 由(1)(2)可得.所以圆心的坐标是. 圆的半径 所以,所求圆的标准方程是 5 一、圆的标准方程 课本P84 已知圆心为的圆经过两点,且圆心在直线上,求此圆的标准方程. 【解析】解法2:设线段的中点为.由两点的坐标为,(2,,可得点的坐标为,直线的斜率为. 因此,线段的垂直平分线的方程是,即 由垂径定理可知,圆心也在线段的垂直平分线上,所以它的坐标是方程组 的解.解这个方程组,得 所以圆心的坐标是. 圆的半径 所以,所求圆的标准方程是 6 反思感悟 方法总结 求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解. 7 新知运用 跟踪训练1 已知的三个顶点分别是点,求的外接圆的标准方程. 8 新知探究 探究二：点与圆的位置关系 情境设置 如何判断点与圆的位置关系？ 9 新知生成 知识点二 点与圆的位置关系 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 10 二、点与圆的位置关系 例题2 若点在圆的内部，则实数的取值范围是( ) . A. B. C. D. 【解析】因为点在圆 ， 解得 .故选D． D 11 反思感悟 方法总结 (1)判断点与圆的位置关系的方法： ①只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可； ②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并做出判断. (2)若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数的取值范围. 12 新知运用 跟踪训练2 已知在圆的外部，则 的取值范围为 ____________________. 【解析】 由题意知，，则，即或 . 13 新知探究 探究三：与圆有关的最值问题 情境设置 若点是圆上的任意一点，如何求点到直线的距离的最大值和最小值？ 14 新知生成 知识点三 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题. (2)形式的最值问题，可转化为动直线 截距的最值问题. (3) 形式的最值问题，可转化为动点到定点 的距 离的平方的最值问题. 15 三、与圆有关的最值问题 例题3 已知和满足，试求 的最值. 【解析】由题意知表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点𝑂(0,0) 到圆心𝐶(−1,0)的距离𝑑=1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，最小距离 为.因此的最大值和最小值分别为和 . 16 反思感悟 方法总结 对于与圆有关的最值问题，常借助所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观想象的数学素养. 17 新知运用 跟踪训练3 (多选题)已知实数，满足方程，若的最 小值为，则的值可能是( ) . A.2 B.3 C. D. AD 【解析】圆的圆心为 ，半径为1，代数式 的几何意义为圆上的点 到原点的距离的平方， 如图，当点为射线与圆C的交点时， 取得最小值， 即，故 ， 解得.故选 . 18 随堂检测 1. 经过坐标原点，且圆心坐标为(−1,1) 的圆的标准方程是( ) . A. B. C. D. 2. 已知点与圆，则点 ( ) . A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 3.圆心为直线𝑥−𝑦+2=0与直线2𝑥+𝑦−8=0 的交点，且过原点的圆的标准方程是 _______________________. C C 19 随堂检测 4. △𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标分别为𝐴(1,0)，𝐵(3,0)，𝐶(3,4)，求△𝐴𝐵𝐶 的外接圆的方程. 【解析】易知是直角三角形，且 ， 所以圆心是斜边的中点 ，半径是斜边长的一半， 即，所以外接圆的方程为 . 20 课堂小结 1.知识清单： (1)圆的标准方程； (2)点与圆的位置关系； (3)与圆有关的最值问题. 21 $$