2.3.3 点到直线的距离&2.3.4平行线间的距离公式课件- 2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.3直线的交点坐标与距离公式 第二章 直线和圆的方程 课时2 点到直线的距离、平行线间的距离公式 新知探究 探究一：两条直线的交点坐标 情境设置 如图，是直线外的一点，我们该如何求𝑃到直线𝑙的距离？ 2 新知生成 知识点一 点到直线的距离公式 点到直线的距离 . 当，或时，上述公式仍然成立. 点到几种特殊直线的距离： (1)点到轴的距离 ； (2)点到轴的距离 ； (3)点到直线的距离 ； (4)点到直线的距离 . 3 一、点到直线的距离公式 例题1 求点𝑃(3,−2) 到下列直线的距离： (1) ；(2)；( . 【解析】(1)直线化为一般式为 ，由点到直线的距离公式可 得 . (2)因为直线与轴垂直，所以点到它的距离 . (3)因为直线与轴垂直，所以点到它的距离 . 4 反思感悟 方法总结 点到直线的距离的求解方法： (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后套用点到直线的距离公式； (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合. 5 新知运用 跟踪训练1 已知点，向量，过点作以向量线，则点到直线的距离为( ) . A.0 B. C. D. 【解析】由题知点，向量，过点作以向量为方向向量的 直线𝑙 ，所以直线𝑙的斜率 ，所以直线的方程为，即 . 因为 ，所以 ，故选B. B 6 新知运用 跟踪训练2 已知直线与直线 . (1) 求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线 的方程； (2) 求点分别到直线与 的距离. 【解析】(1) 联立直线与的方程解得所以交点为 . 与直线 垂直， 则可设直线的方程为，代入点，可得 ，解得 ，所以直线的方程为 . (2)由已知可得，点到直线，即直线的距离 ， 点到直线的距离 . 7 新知探究 探究二：两条平行线间的距离 情境设置 已知两条平行直线,的方程，如何求与间的距离? 【解析】转换成点到直线的距离 8 新知生成 知识点二 两条平行直线的距离 (1)两条平行直线间的距离：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度.求两条平行直线的距离转化为求点到直线的距离. (2)公式：两条平行直线与之间的距离 . 9 二、两条平行线的距离公式 例题2 若直线3𝑥+𝑦−3=0和6𝑥+𝑚𝑦−1=0 平行，求它们之间的距离. 【解析】将直线化为 ，由两平行线间距离公式得 . 10 反思感悟 方法总结 由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路： (1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两条平行直线间的距离公式求解. 11 新知运用 跟踪训练2 (1)已知直线与之间的距离为，则的值为( ) . A.13 B.13或−7 C.7 D.7或−13 (2) 已知直线与互相平行，则它们之间的距离为( ) . A. B. C. D. 【解析】(1) 因为，且，之间的距离为，所以，解得 或 . (2) 因为，所以，解得，所以直线 ， 即，又直线 ， 所以它们之间的距离 . B B 12 新知生成 知识点三 距离公式的综合应用 距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题 ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． (2)求参数的问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (3)求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． 13 三、距离公式的综合应用 例题3 如图，公路，围成的是一块顶角为的角形土地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路，的距离分别为，，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域 建成一个工业园． (1)以𝐴为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，求出点𝑃 的坐标； (2) 在(1)的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为 ，求公路所在的直线方程． 【解析】(1)如图，以𝐴 为坐标原点，建立平面直角坐标系. ， 直线的方程是 .设点 ，由点到直线的距离为3，得 ．由点到直线的距离为，得， 解得 或 （舍去）， 点 ． (2) 显然，直线的斜率存在．设直线的方程为，，令，得 ．由解得 ． ，解得 ．故直线的方程为 ． 14 反思感悟 方法总结 解决距离的综合问题，要注意数形结合思想的运用；使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式． 15 新知运用 跟踪训练3 某工厂(看作一点)位于两高速公路(看作两条直线)与之间.已知到高速公路的距离是，到高速公路的距离是， .以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线𝑂𝐵 的方程； (2)现紧贴工厂𝑀修建一直线公路连接高速公路𝑂𝐴和𝑂𝐵，与𝑂𝐴的连接点为𝐶，与𝑂𝐵的连接点为𝐷，且𝑀恰为该路段𝐶𝐷的中点，求𝐶𝐷 的长度． 【解析】(1) 因为 ，所以直线的斜率 ，所以直线的方程为 . (2)设 ，由(1)知，直线的方程为 ，所以点到直线的距离为，解得或 （不合题意，舍去），所以 ．设，，又为的中点，点在直线 上， 所以解得 所以， ， 所以的长度为 ． 16 随堂检测 1.点(5,−3)到直线𝑥+2=0 的距离等于( ) . A.7 B.5 C.3 D.2 2.已知直线3𝑥+2𝑦−3=0和6𝑥+𝑚𝑦+1=0 互相平行，则它们之间的距离是( ) . A.4 B. C. D. 3. 已知直线和直线，直线与， 的距离分别为，，若，则直线的方程为_________________________________. A D 或 17 随堂检测 4. 已知点，，点在直线上，求取得最小值时点 的坐标． 【解析】设 ， 则 ，故当 时，取得最小值，此时有， ， 所以取得最小值时点的坐标为， ． 18 课堂小结 1.知识清单： (1)点到直线的距离公式； (2)两条平行线间的距离； (3)距离公式的综合应用. 19 $$