2.3课时1 两条直线的交点坐标与两点间的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.3直线的交点坐标与距离公式 第二章 直线和圆的方程 课时1 直线的交点坐标与两点间的距离公式 新知探究 探究一：两条直线的交点坐标 情境设置 问题1：如何求上述两直线的交点坐标？ 问题2：两条直线相交的条件是什么？ 【解析】将两直线方程联立，求方程组的解即可． 【解析】设直线， 直线，则与 相交的条件是 或 . ②若两直线的斜率都存在，设 直线，直线，则与相交 . 2 新知生成 知识点一 两条直线的交点坐标 1.求两直线的交点坐标 设直线与直线的交点为，则点在 上，上，所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线 的方程，即点的坐标是方程组的解. 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 3 新知生成 知识点一 两条直线的交点坐标 2.判断两直线的位置关系 联立直线，的方程，方程组 4 一、两条直线的交点坐标 例题1 根据求过直线2𝑥−3𝑦−3=0和直线𝑥+𝑦+2=0的交点且与直线3𝑥+𝑦−1=0 平 行的直线方程. 【解析】(法一)解方程组得 ， .又所求直线与直线3𝑥+𝑦−1=0 平行， 所以所求直线的斜率为−3 .故所求直线的方程为 ，即 . (法二)设所求直线的方程为 ， 即 . ①因为所求直线与直线3𝑥+𝑦−1=0 平行， 所以解得 .代入①得 ，即 . 5 反思感悟 方法总结 (1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条 件写出直线方程. (2)也可设出过两条直线与（不包括 的方程）， 再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程. 6 新知运用 跟踪训练1 求经过直线， 的直线方程． 【解析】(法一)由得 所以直线与的交点坐标为 .设所求的直线方程为 ，把代入所求的直线方程，得 ，故所求的直线方程为 ． (法二)设过直线，交点的直线方程为 ， 即 .由题意可知，解得 ， 故所求的直线方程为，即 ． 7 新知探究 探究二：两点间的距离公式 情境设置 已知两点，如何求两点间的距离？ 【解析】 8 新知生成 知识点二 两点间的距离公式 已知，两点间的距离公式 . (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)当直线平行于轴时， . 当直线平行于轴时， . 当点，中有一个是原点时， . 9 二、两点间的距离公式 例题2 (1)已知点𝐴(−3,4)，𝐵(2,)，在𝑥轴上找一点𝑃，使|𝑃𝐴|=|𝑃𝐵|，并求|𝑃𝐴| 的值. (2) 已知点与点间的距离为，求实数 的值. 【解析】(1) 设点的坐标为 ，则有 ， . 由，得，解得 . 所以所求点的坐标为， ， 所以 . (2)由，得，即 ， 解得， ，故所求的值为9或 . 10 反思感悟 方法总结 已知两点的坐标， ，求两点间的距离，可直接运用两点间的 距离公式 . 若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题. 11 新知运用 跟踪训练2 等腰△𝐴𝐵𝐶的顶点是𝐴(3,0)，底边|𝐵𝐶|=4，𝐵𝐶边的中点为𝐷(5,4) ，则腰长 为_____. 【解析】 ，， 在中，由勾股定理得腰长 . 12 新知探究 探究三：坐标法在平面几何中的应用 情境设置 如何用几何方法证明平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷四条边的平方和等于两条对角线的平方和？ 【解析】建立平面直角坐标系后，用坐标表示有关量，然后用代 数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系. 如图所示，以顶点𝐴为坐标原点，𝐴𝐵边所在的直线为𝑥 轴，垂直 𝐴𝐵边所在的直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系，有𝐴(0,0) ，设 ，，由平行四边形的性质得点的坐标为 ， 因为，，， ， ， 所以 ，因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 13 三、坐标法在平面几何中的应用 例题3 在中，是边上任意一点(与， 不重合)，且.求证：为等腰三角形. 【解析】作，垂足为，以所在直线为轴，以所在直 线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 因为 ，所以由距离公式可得 ， 即 . 又，故，即 ， 所以 ， 即为等腰三角形. 14 反思感悟 方法总结 用解析法证明几何结论的注意事项： (1)用解析法证明几何结论时，首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标； (2)根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标； (3)在证明过程中要不失一般性. 15 新知运用 跟踪训练3 已知△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，斜边𝐵𝐶的中点为𝑀 ，建立适当的平面直角坐标 系，证明：. 【解析】的直角边， 所在的直线为坐标轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 设，两点的坐标分别为， . 因为斜边的中点为，所以点的坐标为，，即， .由两点间的距离公式，得 ， ， 即 . 16 随堂检测 1.已知直线与相交，则它们的交点坐标是( ) . A. B. C. D. 2. 直线与，分别相交，所得 交点的距离为( ) . A. B. C. D. 3.若直线𝑥+𝑦=0，𝑥−𝑦=0，𝑥+𝑎𝑦=3能围成三角形，则𝑎 的取值范围是( ) . A. B.， C. D.， B D A 17 随堂检测 4. 已知△𝐴𝐵𝐷和△𝐵𝐶𝐸是在直线𝐴𝐶 同侧的两个等边三角形，如图．试用坐标法证明： |𝐴𝐸|=|𝐶𝐷| ． 【解析】如图所示，以𝐵为坐标原点，取𝐴𝐶所在直线为𝑥 轴，建立平面直角坐标系． 设和的边长分别为和，则， ， ，，， ，于是由距离公式得 ， ， 所以 ． 18 课堂小结 1.知识清单： (1)两条直线的交点坐标； (2)两点间的距离公式； (3)坐标法在平面几何中的应用. 19 $$