2.2.3 直线的一般式方程课件- 2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

2.2直线的方程 第二章 直线和圆的方程 课时3 直线的一般式方程 复习：四种直线方程 若点， 形式 条件 直线方程 应用范围 点斜式 直线过点, 且斜率为 不含与x轴垂直的直线 斜截式 在轴上的截距为, 且斜率为 不含与x轴垂直的直线 两点式 过点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (其中x1 ≠ x2, y1 ≠ y2) 不含与x, y轴垂直的直线 截距式 过点P1(a,0), P2(0,b) (其中a≠0, b≠0) 不含过原点和与x, y轴垂直的直线 注：在使用点斜式和斜截式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解. 2 新知探究 探究一：直线的一般式方程 情境设置 问题1：观察下列直线方程： 直线，直线 ， 直线，直线 ． 上述形式的直线方程能化成二元一次方程(，不同时为零)的形式吗？ 3 新知探究 探究一：直线的一般式方程 情境设置 问题2：观察下列直线方程： 在方程（，不同时为零）中，，，为何值时，方程表 示的直线: ①与轴重合？ ②与 轴重合？ ③只与 轴相交？ ④只与 轴相交？ 4 新知生成 知识点一 直线的一般式方程 1.定义：关于𝑥，𝑦的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于𝑥，𝑦 的二元一次方 程（其中， 不同时为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式. 2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示. 3.系数的几何意义： ①当时，斜率，在轴上的截距为 ； ②当，时，斜率不存在，在轴上的截距为 . 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 5 一、直线的一般式方程 例题1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式. (1)斜率是，且经过点𝐴(8,−2) ； (2)经过点𝐵(4,2)，且平行于𝑥 轴； (3)在𝑥轴和𝑦轴上的截距分别是， ； (4) 经过点和点 . 【解析】(1)由点斜式得 ，即 . (2)由斜截式得，即 . (3)由截距式得，即 . (4)由两点式得，即 . 6 反思感悟 方法总结 (1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. (2)在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件. 7 新知运用 跟踪训练1 已知的三个顶点分别为，， ． (1)求𝐴𝐵 边上的中线所在直线的一般式方程； (2)求𝐴𝐶 边上的高所在直线的一般式方程． (3)求𝐴𝐶 边的垂直平分线所在直线的一般式方程． 【解析】(1) 的中点坐标为，则中线所在直线的斜率为 ，则由点斜式方程得，即 . (2)直线的斜率为，则边上的高所在直线的斜率为 ，则由点斜式方程得，即 . 8 新知探究 探究二：由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 情境设置 已知直线，直线 ，根据要求回答下列问题. 【解析】且(或 ). 问题： 的充要条件是什么？ 9 新知生成 知识点二 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 直线，直线 . (1)且(或 ). (2) . 10 二、根据直线的平行、垂直求参数 例题2 (1) 已知直线与直线平行，求实数 𝑚 的值. (2) 当为何值时，直线与直线互相垂直？ 【解析】(1) 令，解得或 . 当时，， ， 显然与不重合， .同理当时，， ， 显然与不重合，， 实数的值为2或 . (2)，，解得 ， 将 代入方程，均满足题意. 故当或时， . 11 新知运用 跟踪训练2 已知直线与平行，则实数 𝑚 的值是( ) . A.−1或3 B.−3或1 C.−1 D.3 C 【解析】 由题意得，解得或 . 当时，两直线的方程都是 ，两直线重合，不符合题意； 当时，两直线的方程分别为和 ，两直线平行，符合题意. 12 三、根据直线的平行、垂直求方程 例题3 已知点𝑃(−4,2)和直线𝑙:3𝑥−𝑦−7=0 .求： (1)过点𝑃与直线𝑙 平行的直线方程； (2)过点𝑃与直线𝑙 垂直的直线方程. 【解析】(1) 设所求直线的方程为 ， ，解得 ，即所求直线方程为 . (2)设所求直线的方程为 ， ，解得 ，即所求直线的方程为 . 13 反思感悟 方法总结 与直线平行的直线方程可设为; 与直线垂直的直线方程可设为 . 14 新知运用 跟踪训练3 已知直线的方程为，分别求满足下列条件的直线的方程. (1) 与平行且过点 ； (2) 与垂直，且 与两坐标轴围成的三角形面积为4. 【解析】(1) 设的方程为 ，又直线 过点，故，解得，故直线的方程为 . (2)因为，所以直线的斜率 . 设的方程为，则直线与两坐标轴的交点坐标是，， ， 所以，解得 ， 所以直线的方程是或 . 15 四、直线过定点及应用 例题4 已知直线𝑙:5𝑎𝑥−5𝑦−𝑎+3=0 . (1)求证：不论𝑎为何值，直线𝑙 总经过第一象限. (2)为使直线不经过第二象限，求𝑎 的取值范围. 【解析】(1) 将直线的方程整理为 ， 直线的斜率为，且过定点,，而点,在第一象限内， 故不论为何值，总经过第一象限. (2) 如图所示，直线的斜率， 要使不经过第二象限，需直线的斜率, . 16 反思感悟 方法总结 直线过定点的求解策略： (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把𝑥,𝑦 看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得𝑥,𝑦 的值，即为直线过的定点. 17 新知运用 跟踪训练4 若点(𝑘,0)与(𝑏,0)的中点为(−3,0)，则直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏 必定经过点( ) . A. B. C. D. 【解析】由题意可得，则 ， 所以直线方程为， 所以直线经过点 . A 18 随堂检测 1.过点(0,1)且与直线2𝑥−𝑦+1=0 垂直的直线方程是( ) . A. B. C. D. 2. (多选题)下列结论正确的有( ) . A.直线𝑙:𝑥+𝑦+1=0在𝑥轴上的截距为−1 B.如果𝐴𝐵<0,𝐵𝐶<0，那么直线𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 不经过第三象限 C.过点(3,2)且在𝑥轴、𝑦轴上截距相等的直线方程为𝑥+𝑦−5=0 D.直线𝑘𝑥+𝑦−2𝑘−1=0必定经过点(2,1) 3.斜率为2，且经过点𝐴(1,3) 的直线的一般式方程为______________． B AD 19 随堂检测 4.已知直线，，求满足下列条件的实数的值. (1) ； (2) . 【解析】(1) ， 解得 . (2)由得，解得 . 20 课堂小结 1.知识清单： (1)直线的一般式方程； (2)直线的一般式方程研究直线的平行和垂直； (3)直线过定点及应用. 21 $$