专题02 代数式（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版2024）

专题02 代数式 【考点01 代数式的定义及书写】 【考点02 列代数式】 【考点03 代数式求值】 【考点04单项式的系数与次数】 【考点05 多项式的项与次数】 【考点06 规律探究】（与数有关/与式有关/与图形排列有关的律探索） 【考点07 同类项的定义】 【考点08 合并同类型】 【考点09 添括号与去括号】 【考点10 整式的加减】 【考点11 整式加减的应用】 【考点12 整式的化简求值】 【考点13整式加减中无关问题】 知识点1 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 知识点2：单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 知识点3：多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 知识点4：整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 知识点5：同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 知识点6：去括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 知识点7：整式的加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 【考点01 代数式的定义及书写】 例题1-1：下列各式中，符合整式书写规则的是（　　） A． B． C． D． 例题1-2：在中，代数式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】在式子，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列代数式的书写中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【考点02 列代数式】 例题2：某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 【变式2-1】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2-2】如图，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【考点03 代数式求值】 例题3-1：若，，则的值为（    ） A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 例题3-2：若代数式的值为6，则代数式的值是（    ） A． B．9 C．19 D． 【变式3-1】，，且，则的值是（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3-2】已知整式的值为，则的值为（    ） A． B．4 C．11 D．16 【变式3-3】若，则 ． 【考点04单项式的系数与次数】 例题4：单项式 的系数和次数分别是（　　） A．，2 B．1，3 C．3， D．，3 【变式4-1】单项式的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】单项式的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】单项式的系数为（    ） A． B．3 C． D．9 【变式4-4】单项式的系数是 ，次数是 ．多项式是 次 项式． 【考点05 多项式的项与次数】 例题5：对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．是三次三项式 B．常数项是6 C．一次项是 D．二次项系数是2 【变式5-1】多项式是 次 项式． 【考点06 规律探究】（与数有关/与式有关/与图形排列有关的律探索） 例题6-1：如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 例题6-2：用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形有（    ）个棋子． A． B． C． D． 【变式6-1】已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，……以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A．990 B．9900 C．985 D．9850 【变式6-3】下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示） 【考点07 同类项的定义】 例题7-1：下列各式中，是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 例题7-2：若代数式与可以合并同类项，则 ． 【变式7-1】下列单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-3】下列各项代数式相加能合并成一个单项式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式7-4】如果单项式y与的和是单项式，那么的值为 ． 【变式7-5】已知与是同类项，则的值为 ． 【考点08 合并同类型】 例题8：合并同类项： (1)； (2)． 【变式8-1】合并同类项 (1)； (2)． 【变式8-2】将下列各式合并同类项 (1)； (2)． 【变式8-3】合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点09 添括号与去括号】 例题9：下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】下列变形（去括号或添括号），不正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点10 整式的加减】 例题10：化简： (1)； (2)． 【变式10-1】计算： (1)； (2)． 【变式10-2】计算： (1)； (2)． 【变式10-3】计算 (1) (2) 【考点11 整式加减的应用】 例题11：如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【变式11-1】如图是某种窗户的形状（实线为窗框），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为．（结果用表示） (1)求窗户的面积； (2)求窗框的总长； (3)若，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用． 【变式11-2】某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【变式11-3】甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【考点12 整式的化简求值】 例题12：先化简，再求值：已知，且，求的值．其中，． 【变式12-1】先化简，后求值：，其中． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中，． 【变式12-3】先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中；． 【考点13整式加减中无关问题】 例题13：已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【变式13-1】已知． (1)当时，求的值． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【变式13-2】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求此时的值． 一、单选题 1．若和是同类项，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．单项式的次数是（　　） A．2 B．3 C． D．1 3．下列叙述正确的是（   ） A．是整式 B．是二次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 4．在式子，，，，中，整式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．观察，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．5 7．若关于x、y的多项式不含项，则k的值是（   ） A．3 B．0 C． D． 二、填空题 8．已知则 ． 9．定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则= ． 10．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 三、解答题 11．先化简，再求值：，其中， ． 12．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：________； ________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)探究并计算：． 13．已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 14．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求（1）中整式的值； (3)先化简，再求值：，其中． 15．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数式 【考点01 代数式的定义及书写】 【考点02 列代数式】 【考点03 代数式求值】 【考点04单项式的系数与次数】 【考点05 多项式的项与次数】 【考点06 规律探究】（与数有关/与式有关/与图形排列有关的律探索） 【考点07 同类项的定义】 【考点08 合并同类型】 【考点09 添括号与去括号】 【考点10 整式的加减】 【考点11 整式加减的应用】 【考点12 整式的化简求值】 【考点13整式加减中无关问题】 知识点1 代数式 1.定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意： ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 2.代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。 知识点2：单项式 1.单项式定义 （1）定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。 说明： 单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式. 2、 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫这个单项式的系数. 说明：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如的系数是3；的系数是；的系数是4.8； （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号 如的系数是；的系数是； （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是1或-1，不能认为是0，如的系数是-1；的系数是1； （4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。如2πxy的系数就是2. 3、单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 说明： （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。如单项式的次数是字母z，y，x的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母的指数是1而不是0； （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9而不是13次； （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数； 4、在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ”或者省略不写。 例如：可以写成或 5、在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数. 知识点3：多项式 1、定义： 几个单项式的和叫多项式. 2、多项式的项： 多项式中的每个单项式叫做多项式的项. 3、多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数. 4、多项式的项数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数. 5、常数项： 多项式里，不含字母的项叫做常数项. 知识点4：整式 （1）单项式和多项式统称为整式。 （2）单项式或多项式都是整式。 （3）整式不一定是单项式。 （4）整式不一定是多项式。 （5）分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 知识点5：同类项 1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 2.合并同类项： （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。 （2）合并同类项的法则： 　同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 （3）合并同类项步骤： 　 a．准确的找出同类项。 　b．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。 c．写出合并后的结果。 （4）在掌握合并同类项时注意： 　a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0. 　b.不要漏掉不能合并的项。 　c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。 说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。 知识点6：去括号 （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 ； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 知识点7：整式的加减 几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 【考点01 代数式的定义及书写】 例题1-1：下列各式中，符合整式书写规则的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的书写，根据数在字母前面，数与字母相乘用乘或省略×；遇到分数，写出真分数或假分数的形式；除法写成分数线的形式，熟记规范的要求是解题的关键． 【详解】A. ，书写规范，符合题意； B. ，不规范，不符合题意；     C. 应写成，不规范，不符合题意； D.  应写成或，不规范，不符合题意； 故选A． 例题1-2：在中，代数式的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可． 【详解】解：是代数式，不是代数式． 故选C． 【变式1-1】在式子，，，，中，代数式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据代数式的定义对每项分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：下列各式子：，， ，，中，代数式有：，，共3个； 故选：C． 【点睛】此题考查了代数式，掌握代数式的定义是本题的关键． 【变式1-2】下列代数式的书写中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规则．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、应该写成，故此选项不符合题意； B、应该写成，故此选项不符合题意； C、应该写成，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【考点02 列代数式】 例题2：某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 【答案】B 【分析】根据题目要求列出代数式化简计算即可． 【详解】依题意，该商品经过一次的升价，再经过两次的降价，目前的价格为： ． 故选：B． 【点睛】本题考查用字母表示数，较为简单；另外本题为选择题，在化简计算时可采用尾数判别法（即的结果应有三位小数且尾数是）可快速选出答案． 【变式2-1】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，假如现在要买，那么需要付费（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为，再根据质量×单价=支付费用即可求解． 【详解】解：苹果原价是每千克a元，现在按八折出售，那么现价为， ∴根据“质量×单价=支付费用”可知需要付费为（元）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了列代数，解题的关键在于能够准确求出现价． 【变式2-2】如图，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，根据正方形的面积减去圆的面积即为阴影部分面积，列式即可． 【详解】根据题意，得阴影面积为， 故选C． 【变式2-3】一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是 【答案】/ 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查用字母表示数，解答关键是明确十位上的数字表示几个十． 【考点03 代数式求值】 例题3-1：若，，则的值为（    ） A．或8 B．2或8 C．2或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义及有理数减法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据绝对值的意义求出值，根据有理数减法法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴当时，， 当时，， ∴的值为或8． 故选：A． 例题3-2：若代数式的值为6，则代数式的值是（    ） A． B．9 C．19 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值．观察题中的两个代数式，可以把看成一个整体，求得的值后，代入所求代数式求值即可得解． 【详解】解：代数式的值是6， ， ． 故选：C． 【变式3-1】，，且，则的值是（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意，利用绝对值的代数意义求出、的值即可求解． 【详解】 ，，且， 或， 或， 故选：A． 【变式3-2】已知整式的值为，则的值为（    ） A． B．4 C．11 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．由题意可得，将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意可得， 则． 故选：D． 【变式3-3】若，则 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了代数式求值，考查了整体思想，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，整体代入到代数式中求值即可得出答案． 【详解】解：， ， 原式 ． 故答案为： 【考点04单项式的系数与次数】 例题4：单项式 的系数和次数分别是（　　） A．，2 B．1，3 C．3， D．，3 【答案】D 【分析】此题重点考查对单项式系数和次数的认识，把握单项式的构成是解题的关键，根据单项式的构成可以直接找到答案． 【详解】解：单项式 的系数是，次数包括x和y的指数和，总共为3， 故选D． 【变式4-1】单项式的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是单项式，根据单项式系数及次数的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是． 故选：C． 【变式4-2】单项式的系数和次数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键．根据单项式系数及次数的定义进行解答即可． 【详解】解：∵单项式的数字因数是，所有字母指数的和为， ∴此单项式的系数是，次数是5． 故选：B． 【变式4-3】单项式的系数为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式系数的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：单项式的系数为， 故选：D． 【变式4-4】单项式的系数是 ，次数是 ．多项式是 次 项式． 【答案】 四 三 【分析】本题考查了单项式系数，次数的定义及多项式的次数、项数．确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．多项式中最高次项的次数是多项式的次数，根据定义作答即可． 【详解】解：单项式的系数是，次数是，多项式是四次三项式． 故答案为：，，四，三； 【考点05 多项式的项与次数】 例题5：对于多项式，下列说法正确的是（    ） A．是三次三项式 B．常数项是6 C．一次项是 D．二次项系数是2 【答案】C 【分析】此题考查了多项式，熟练掌握多项式项数、次数、常数项，各项的次数和系数是解题的关键．分别判断多项式的项数、次数、常数项，各项的次数和系数后，即可得到答案． 【详解】解：对于多项式， A、它是二次三项式，故选项错误； B、它的常数项是，故选项错误； C、它的一次项是，故选项正确； D、它的二次项系数是1，故选项错误； 故选：C． 【变式5-1】多项式是 次 项式． 【答案】 五 四 【分析】本题考查了多项式的定义，解题的关键是熟练的掌握多项式的定义．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据这个定义即可判定． 【详解】解：多项式是五次四项式， 故答案为五，四． 【考点06 规律探究】（与数有关/与式有关/与图形排列有关的律探索） 例题6-1：如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类规律，认真观察、找出规律是解题的关键． 先通过找规律找出第6、7、8行的从左到右第一个数，然后计算出第7、8行从左到右的第二个数，再计算第8行从左到右的第三个数即可． 【详解】解：通过已知可得到第6、7、8行的从左到右第一个数分别为 ∴第7、8行的从左到右第二个数分别为：， ∴第8行从左到右的第三个数为： 故选：B ． 例题6-2：用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形有（    ）个棋子． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多3个棋子，进而列出代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，后一个图形比前一个图形多3个棋子， ∴第n个图形有个棋子； 故选C． 【变式6-1】已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，……以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数，归纳出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键． 根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于；n是偶数时，结果等于，然后把n的值代入即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， …， 所以，n是奇数时，结果等于；n是偶数时，结果等于， ∴． 故选B． 【变式6-2】如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c为（　　） A．990 B．9900 C．985 D．9850 【答案】D 【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的a，进一步求得b，则可求得c． 【详解】解：观察网格图中的数字可以发现： ， ， ， 故选：D． 【变式6-3】下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：． 【变式6-4】如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示） 【答案】 【分析】先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．本题考查了整式与图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【详解】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 则用2024个这样的图形拼出来的图形的总长度为， 故答案为：． 【考点07 同类项的定义】 例题7-1：下列各式中，是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同类项定义逐项判定即可． 【详解】解：选项A中，与含有不同字母，不是同类项，故不符合题意； 选项B中，所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故符号题意； 选项C中，不含字母，含有字母，不是同类项，故不符合题意； 选项D中，与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项，故不符合题意； 故选：B 例题7-2：若代数式与可以合并同类项，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同类项的定义、代数式求值等知识点，掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键． 根据题意可得单项式与是同类项，根据同类项定义可得、，再求得m的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：、，即， 所以． 故答案为6． 【变式7-1】下列单项式中，与是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义．所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得答案． 【详解】解：根据同类项的定义可知与是同类项的是， 故选：D． 【变式7-2】下列各组中的两项，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式，叫做同类项”，进行判断即可． 【详解】解：A、相同字母的指数不同，不符合题意； B、是同类项，符合题意； C、相同字母的指数不同，不符合题意； D、所含字母不相同，不符合题意； 故选B． 【变式7-3】下列各项代数式相加能合并成一个单项式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项运算，涉及同类项定义，熟记同类项定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，相加不能合并成一个单项式，故此选项不符合题意； B、与是同类项，，能合并成一个单项式，故此选项符合题意； C．与不是同类项，相加不能合并成一个单项式，故此选项不符合题意； D．与不是同类项，相加不能合并成一个单项式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-4】如果单项式y与的和是单项式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：单项式与的和是单项式， 与是同类项， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式7-5】已知与是同类项，则的值为 ． 【答案】或5/5或 【分析】本题考查同类项，掌握“所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项”是正确解答的关键．根据同类项的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， 解得：，， ∴或． 故答案为：或5． 【考点08 合并同类型】 例题8：合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，先确定同类项，再合并同类项即可． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式8-1】合并同类项 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是合并同类项，掌握合并同类项的运算法则是解本题的关键； （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式8-2】将下列各式合并同类项 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，去括号，熟练掌握合并同类项法则是解题关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式8-3】合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项； （1）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解； （2）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解； （3）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解； （4）根据合并同类项的运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4） 【考点09 添括号与去括号】 例题9：下列各式从左到右的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查去括号与添括号法则，利用去括号与添括号的法则逐一分析得出答案即可． 【详解】解：A． ，原变形错误，故本选项不符合题意； B． ，原变形错误，故本选项不符合题意； C． ，原变形错误，故本选项不符合题意； D． ，原变形正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式9-1】去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号，根据括号前是正号去掉括号所有项都不变化，括号前是负号去掉括号所有项都要变号，逐项判断即可． 【详解】解：由题意可得， ，故A错误，不符合题意， ，故B正确，符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D错误，不符合题意， 故选B． 【变式9-2】下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号和添括号，掌握去括号和添括号法则是解题关键．根据去括号和添括号法则逐项计算，判断即可． 【详解】解：，故A选项变形错误，不符合题意； ，故B选项变形错误，不符合题意； ，故C选项变形错误，不符合题意； ，故D选项变形正确，符合题意． 故选D． 【变式9-3】下列变形（去括号或添括号），不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号和添括号的方法，掌握去括号法则是解题的关键． 根据去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．进行分析即可． 【详解】解：A．,正确，故A不符合题意； B．，正确，故B不符合题意； C．,原结论错误，故C符合题意； D．，正确，故D不符合题意； 故选：C． 【考点10 整式的加减】 例题10：化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减运算，掌握整式加减运算的一般步骤是解题的关键； （1）根据合并同类项法则计算即可求解； （2）根据去括号，合并同类项即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式10-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式10-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算： （1）根据整式的加减混合运算法则进行去括号，合并同类项即可得解； （2）根据整式的加减混合运算法则进行去括号，合并同类项即可得解． 熟练掌握整式加减的运算法则，去括号法则等方法是解决本题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式10-3】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算，涉及去括号、合并同类项等知识，熟练掌握整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）找出同类项，利用整式加减运算法则合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再找出同类项，利用整式加减运算法则合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点11 整式加减的应用】 例题11：如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1) (2)17600元 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键． （1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可； （2）把a的值代入计算即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得： （）； 答：花圃的面积是． （2）解：当时，花圃面积为（）， 修建花圃所需费用：（元）． 答：修建花圃所需费用是17600元． 【变式11-1】如图是某种窗户的形状（实线为窗框），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长为．（结果用表示） (1)求窗户的面积； (2)求窗框的总长； (3)若，窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作这种窗户需要的费用． 【答案】(1) (2) (3)制作这种窗户需要的费用是元 【分析】本题考查了列代数式表示实际问题，解题的关键是分清数量关系，抓住关键词语，正确的列出代数式． （1）窗户的面积个小正方形的面积半圆的面积； （2）窗框用料的总长度为所有小正方形的边长之和半个圆的弧长条半径； （3）总费用为：玻璃的费用窗框的费用． 【详解】（1）解：窗户的面积， ； （2）窗框的总长， ， ； （3） （元）． 制作这种窗户需要的费用是元． 【变式11-2】某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超过50人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1500元后，每人收费240元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折（九折即原价的） (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时， 用方案一共收费 元； 用方案二共收费 元； (2)当参加旅游的总人数是80人时，采用哪种方案省钱？说说你的理由． 【答案】(1)； (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值： （1）方案一的收费为：元，方案二收费为：元； （2）把代入两个代数式，进而比较即可． 【详解】（1）解：方案一的收费为：元， 方案二收费为：元； 故答案为：；． （2）解：把代入（元）， 把代入（元）， ∵， ∴方案二省钱． 【变式11-3】甲、乙两商场分别出售A型、B型两种电暖气，零售价及运费如下表所示： 商场 A型电暖气 B型电暖气 运费 A电暖气 B电暖气 甲 200元/台 300元/台 10元/台 10元/台 乙 220元/台 290元/台 免运费 12元/台 某公司计划在甲商场或乙商场选择一家采购两种电暖气共100台，其中A型电暖气需要买x台． (1)请用含x的代数式分别表示在两家商场购买电暖气所需要的总费用（总费用=购买价+运费）； (2)若需购买A型电暖气40台，在哪个商场购买划算？若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案吗？请你设计一种方案． 【答案】(1)在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元，在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元 (2)在乙商场购买划算；更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费 【分析】本题考查列代数式及其求值、整式的加减运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台，根据总费用=购买价+运费列出对应代数式即可求解； （2）将代入（1）代数式中求解，结合表中数据，进而比较大小可作出结论． 【详解】（1）解：设A型电暖气需要买x台，则B型电暖气需要买台， 根据题意，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为元； 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为元； （2）解：当时，在甲商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 在乙商场购买电暖气所需要的总费用为（元）， 根据表格数据，甲商场中的A型电暖气费用低，乙商场中的B型电暖气费用低，则同时在两家商场自由选择的较低费用为（元）， ∵， ∴需购买A型电暖气40台，在乙商场购买划算，若可以同时在两家商场自由选择，还有更优惠的方案为：在甲商场中购买40台A型电暖气，在乙商场中购买60台B型电暖气费． 【考点12 整式的化简求值】 例题12：先化简，再求值：已知，且，求的值．其中，． 【答案】； 【分析】此题考查了整式的混合运算，主要考查了整式的加减法、去括号、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．先去括号，再合并同类项，将原整式化简，然后再将a，b的值代入求解即可． 【详解】解：，， ， 当，时， 原式 ． 【变式12-1】先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减﹣化简求值，非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先根据整式的加减运算法则化简，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴原式 ， ． 【变式12-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，先根据整式的加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式12-3】先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中；． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握合并同类项法则及有理数混合运算； （1）去括号，然后合并同类项化简，再代入求值即可； （2）去括号，然后合并同类项化简，再代入求值即可 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）原式 ， 当， 时，原式 【考点13整式加减中无关问题】 例题13：已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减、整式的加减—化简求值、整式的加减中的无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出式子，先去括号，再合并同类项即可得出答案； （2）把，代入（1）中化简后的式子计算即可得出答案； （3）根据题意得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时，原式； （3）解：， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：． 【变式13-1】已知． (1)当时，求的值． (2)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1)11 (2)2 【分析】本题考查整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则，正确的计算是解题的关键． （1）先进行加减运算，再代值计算即可； （2）将（1）中的结果合并后，令含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1） 解： ； 当时，原式； （2） 因为的值与的取值无关， 所以， 所以． 【变式13-2】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求此时的值． 【答案】(1)13 (2)3 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，非负性，整式加减中的无关型问题， （1）根据非负性求出的值，利用整式加减的法则，化简后，再代值计算即可； （2）根据（1）中化简的结果，使含的项的系数为0，求值即可． 掌握整式加减运算的法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】（1）解： ； 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以 因为与的取值无关， 所以， 得， 此时的值为3． 一、单选题 1．若和是同类项，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查同类项，关键是掌握同类项的定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，由此即可得到答案． 【详解】解：和是同类项， ， 解得． 故选：B． 2．单项式的次数是（　　） A．2 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了单项式的次数的定义，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．由于单项式的次数是其所含字母的指数和，由此即可求出单项式的次数． 【详解】解：单项式的次数是3． 故选：B． 3．下列叙述正确的是（   ） A．是整式 B．是二次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式的基本概念，在单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；在多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数；掌握单项式与多项式的基本概念是解题的关键．根据单项式与多项式的基本概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是整式，原说法错误，不符合题意； B、是三次四项式，原说法错误，不符合题意； C、，各项系数分别为和，原说法错误，不符合题意； D、的常数项是， 故选：D． 4．在式子，，，，中，整式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，熟练掌握整式的概念是解答本题的关键．单项式和多项式统称为整式，不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．据此求解即可． 【详解】解：，，，时整式； 的分母含字母，不是整式． 故选C． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 6．观察，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可以发现，这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，个位数字为1，3，7，5依次出现，再由，可得的个位数字与的个数数字相同，即为5． 【详解】解：：， ， ， ， ， ， ……， 以此类推，这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，个位数字为1，3，7，5依次出现， ∵， ∴的个位数字是5． 故选：D． 7．若关于x、y的多项式不含项，则k的值是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．根据不含项即含项的系数为0，据此求解即可 【详解】解：依题意， ∵该多项式不含项， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 8．已知则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．定义：a 是不为 1 的有理数 我们把称为a 的差倒数，如：2 的差倒数是，1 的差倒数是，已知 是 的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2017除以3，根据余数的情况确定出与相同的数即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …， ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴． 故答案为． 10．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则： 若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可． 【详解】解：本题提供的“运算”，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数），需再进行②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），， 即第1次运算结果为152，， 第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，， 可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152， 则6次一循环， ， 则第2024次“运算”的结果是19． 故答案为：19． 三、解答题 11．先化简，再求值：，其中， ． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ， 当， 时， 原式． 12．观察下列等式，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：________； ________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)探究并计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键； （1）观察已知等式可知相邻两个正整数乘积的倒数等于较小的数的倒数减去较大数的倒数，据此规律求解即可； （2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果； （3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1）解：， ， ， ……, 以此类推可知，， ∴ 故答案为：；； （2）解：①原式； ②原式； （3）解：原式 ． 13．已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再把整体代入求解即可； （2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使的值与a的取值无关，则令含有a的项的系数为0即可就出b的值，再带入即可求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解；由（1）可得， ∵的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴。 14．我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)已知，求（1）中整式的值； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，4 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想的运用是解答本题的关键． （1）把看成一个整体合并同类项即可； （2）把代入（1）化简的结果计算即可； （3）把看成一个整体合并同类项化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， 原式； （3）解： ， 当时， 原式． 15．某种窗户的形状如图所示（图中长度单位：米），其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长为米． (1)计算窗户的面积和窗框的总长． (2)当时，若在窗户上安装玻璃，玻璃每平方米元，窗框每米元，窗框的厚度不计，求制作一个这种窗户需要的材料费是多少元． (3)在（2）的条件下，某公司计划在甲工厂或乙工厂采购个这种窗户，下表是甲、乙两个工厂制作这种窗户的收费价目表．通过计算说明去哪家工厂采购更省钱．（安装费=材料费+运输费+人工费） 工厂 材料费 运输费 人工费 玻璃 窗框 甲 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 乙 元/ 元/ 元/个窗户 元/ 【答案】(1)窗户面积为平方米，窗框的总长为米 (2)制作一个这种窗户需要的材料费是元 (3)去甲家工厂采购更省钱． 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积；窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径，代入数值即可． （2）制作一个这种窗户需要的材料费：玻璃钱+窗框钱，即，将代入上式，化简即可． （3）分别计算甲、乙两个工厂采购个这种窗户的花销：安装费=材料费+运输费+人工费，代入数值可得出具体数值，再根据每个工厂采购每一个窗户的花销都相同，故对比一个窗户的花销谁省钱，即可得出采购个这种窗户的花销谁省钱。 【详解】（1）解：由题意可得窗户面积为：个小正方形的面积加半圆的面积，下部小正方形的边长和半圆的半径为米， ∴窗户面积为：（平方米）， 由题意可得窗框的总长度为：所有小正方形的边长之和+半个圆的弧长+三个半圆的半径， ∴窗框的总长为：（米）． 故窗户面积为平方米，窗框的总长为米 （2）解：∵玻璃每平方米元，窗框每米元，窗户面积为平方米，窗框的总长为米， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是：（元）， 将代入上式，可得， ∴制作一个这种窗户需要的材料费是元． （3）解：由上可得一个窗户面积为：（平方米） 在甲工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在甲工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， 在乙工厂采购时，，，运输费为元/个窗户，人工费为元/ 故在乙工厂采购个这种窗户的总花销为：（元）， ∵，在每个工厂采购每一个窗户的价格都相同， ∴在甲工厂采购个这种窗户省钱， ∴去甲家工厂采购更省钱． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$