专题10 相似三角形重要模型之对角互补模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题10 相似三角形重要模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.对角互补模型（相似模型） 1 18 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中 ，，，D是边上一点，且 (n 为正整数 ) ，E 是 边上的动点，过点D 作 的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论： 请写出证明过程． 【深入探究】（2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论 （直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（3）如图3，连接，设 的中点为M，若 ，求 点E 从 点A 运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含 n 的代数式表示)． 例2．（2023·广东深圳·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 例3．（2023年广东中考一模数学试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 例4．（23-24九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点.(1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 例6．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 例7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 3．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）在中，，D为的中点，分别交直线，于点E，F，且，连接，当时，的长为 ． 4．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在中，点、分别在、上，且．(1)求证：；(2)连接、，求证：． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题： （1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D． ①比较大小：PC______PD． (选择“>”或“<”或“=”填空）；②证明①中的结论． （2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求的长）． 6．（2023·江苏盐城·三模）【定义学习】过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”．    【性质探究】．(1)两条直线相交，那么下列命题正确的是_________（填序号①、②、③） ①不在这两条直线上的任意一点都可以画这两条直线的“点足三角形”；②如果存在“点足三角形”、那么它一定是钝角三角形；③两条直线所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数一定为或度． (2)如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接．求证：． 【迁移运用】(3)如图3，，点A在射线上，点B是射线上的点，且，．则是否存在一点O．使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时长；若不存在，请说明理由． 7．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为边所在直线上一点，连接，过点E作，交边所在直线于点G．(1)如图1，当点F、G分别在线段、上时，①求证：；②请猜想三条线段、、之间的数量关系，并证明．(2)已知，连接，若所在的直线交所在的直线于点P，请直接写出长， 8．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，分别交、边于点E、F，且． (1)当时（如图1），求证：；(2)当时（如图2）．求证：； (3)在（2）问的条件下，作的角平分线，交于点P，交的延长线于点Q（如图3），若，，求线段的长． 9．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． (1)如图1，若，且，则线段与有何数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，若，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 10．（23-24九年级上·湖北十堰·期末）已知，中，，D，E，F分别是边上的点，且， (1)如图1，，D是的中点，则①与的数量关系是 ；②之间的数量关系是 ； (2)如图2，，D是的中点，（1）中结论②是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，，当绕点D旋转时，的值是否改变？若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由． 11．（2024·浙江·一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，点D是边OB上一定点，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，使一直角边经过点D，另一直角与边OA交于点C.容易证得PC=PD（如图①）.（1）若另一直角边与边OA的反向延长线相交于点C(如图②)，试问PC与PD还会相等吗？若相等，请予以证明；若不相等，请说明理由； （2）已知OD=4，三角板在移动过程中，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C,E,且以P,D,E为顶点的三角形与OCD相似，试求线段OP的长． 12．（23-24九年级下·成都·期中）已知在中，，，点在上，且．  当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由； 当， ①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明． ②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明） 13．（23-24·河南南阳·一模）（1）问题发现：如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时，  =　 　（用含a，b的代数式表示）． （2）拓展探究：在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决：如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是　 　（用含n，a的代数式表示） 14．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 15．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，与相交于点E，与相交于点F，连接，在正方形绕点O旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． 【迁移应用】（2）如图2，在中，，，点D是边的中点，E是射线上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，连接． （i）当点E在边上，点F在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出y与x的关系． 16．（2023·江苏·一模）（1）【探究发现】 如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是______． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，∠BOD＝120°，OD＝，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长． 17．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______；（2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 18．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似三角形重要模型之对角互补模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.对角互补模型（相似模型） 1 18 模型1.对角互补模型（相似模型） 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 3）对角互补相似3 条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。 结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE∼△DCF；②A、B、C、D四点共圆。 证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。 ∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°， ∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE∼△DCF； 例1．（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究，在中 ，，，D是边上一点，且 (n 为正整数 ) ，E 是 边上的动点，过点D 作 的垂线交直线于点F． 【初步感知】（1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论： 请写出证明过程． 【深入探究】（2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论 （直接写出结论，不必证明）． 【拓展运用】（3）如图3，连接，设 的中点为M，若 ，求 点E 从 点A 运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含 n 的代数式表示)． 【答案】（1）见解析；（2）①，证明见解析；②当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，；（3） 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答；（2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； ②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答； （3）根据题意可知点在线段的垂直平分线上运动，如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：（1）证明：如图，连接，    当时，，即， ，，，, ，，即， ，， 在与中，，， ，； （2）①，证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，       当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等腰直角三角形，且， ，则，根据（1）中的结论可得， ； 故线段，，之间的数量关系为； ②解：当点F在射线上时，如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，同①，可得， ，，，，同①可得，则， ， 即线段，，之间数量关系为； 当点F在延长线上时，如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接，    同（1）中原理，可证明，可得， ，，，，同①可得，则， 即线段，，之间数量关系为； 综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，； （3）连接，，，如图，的中点为，，， ∴点在线段的垂直平分线上运动，如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，    如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，  ，，则，，，， ，，，是的中点，， ，，， 根据（2）中的结论，， ，，， ， ， ．综上，点M运动的路径长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 例2．（2023·广东深圳·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)(3) 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；（3）通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 点是的中点，点是的中点，，， ，，，四边形是矩形； （2）如图2，过点作于，       ，，，，点是的中点，， ，，，，， 又，，，，； （3）如图③，连接，，过点作于， ，，， ，点，点，点，点四点共圆，， ，，， ，，，， ，， ，，，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 例3．（2023年广东中考一模数学试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可； （2）过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，构造相似三角形，对应边成比例求，然后根计算即可；（3）过点O作的垂线交于点H，用勾股定理求出，证、，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列出方程求出m，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，，， 由旋转可知：，， ，，； （2）解：如图2，过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，       ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ，， ，， ，， ，，，， ，； （3）解：如图，过点O作的垂线交于点H，设，则， 设，则， ，，， ，， ，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形， ，， ，，， ，，， ，，，， 设，则， ，，，， 与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ，， ，，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形、矩形、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键． 例4．（23-24九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【答案】(1)①见解析  ②(2) 【分析】①过点作，垂足分别为，由已知条件证明 即可证明；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出与的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可;当与相似时，点的位置有两种情况：①当点在射线上时，②当点在延长线上时，分别讨论求出满足题意的长即可. 【详解】（1）①证明:过点作，垂足分别为，         ∵是的平分线,∴ . 由,∴,∴, ∵,∴.∴.∴； ②，，，，            ，，，； （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时， ∵,,∴.∴.∴.在中, ； ②当点在延长线上时，∵,∴. ∵, ,,∴.同理， ∴，，，∴∴ ，，，，综上所述. 【点睛】本题考查了相似形的综合应用，掌握角平分线的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、以及分类讨论思想是解题的关键. 例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°， ∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴， ∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴ 解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 综上所述，满足条件的AF的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 例6．（2023·上海普陀·九年级校考期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O． (1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB，然后由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果； （2）结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后得证结果． (1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°， ∵∠DAE=45°，∴ ∴ ∴∠DAC=∠EAB， ∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB， ∴，即，∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB． (2)证明：∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°， ∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°， ∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE， 又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO•CA． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似． 例7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3) 【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，根据等边三角形的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到；②分类讨论，根据①的方法证明即可； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，， 又∵，∴，， ∴，∴， ∴，即，    在中，，∴，∴； ②证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等边三角形，， ，根据（1）中的结论可得，； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，，，， 同①可得，， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则，∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵，∴，∴， ∵分别为的中点，∴则 ∴，则 又∵∴∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点， ∴∵是等边三角形，∴， ∴，∴，过点作于点，则， ∴，∴， 即线段扫过的图形的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 1．（2023·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，证明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC证得△AQP∽△ABC，得到，设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，∴AC= ， 过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，则∠PQB=∠PHB=∠B=90°， ∴四边形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC， ∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF， ∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ， ∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴， 设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线是解答的关键． 2．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则= . 【答案】 【分析】过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，由DG∥BC，得∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF＝120°，得∠GDF＝∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE＝DG：DC，即CE：DC＝FG：DG＝FG：AG，设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x，即可得到CE：CD的比值． 【详解】解：过D作DG∥BC交AB于G，如图， ∵D是AC的中点，∴DG为△ABC的中位线， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠DCE＝120°， 又∵DG∥BC，∴∠FGD＝120°，∠GDC＝120°，△AGD为等边三角形， ∵∠EDF＝120°，∴∠GDF＝∠CDE，∴△GDF∽△CDE， ∴FG：CE＝DG：CD，即CE：CD＝FG：DG，而DG＝AG＝BG，AF＝2BF， 设BF＝x，AF＝2x，则AB＝3x，AG＝1.5x，FG＝1.5x−x＝0.5x， ∴CE：CD＝FG：DG＝FG：AG＝0.5x：1.5x＝1：3．故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用各性质进行推理计算是解题关键． 3．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）在中，，D为的中点，分别交直线，于点E，F，且，连接，当时，的长为 ． 【答案】 【分析】过点E作于点G，连接，根据勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，，进而求出，根据勾股定理求出，由，证得点D、E、B、F四点共圆，因此，根据直角三角形斜边上的中线的性质与等边对等角得到，即可证明，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点E作于点G，连接 ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∵点D是的中点，∴， ∴， ∴在中，， ∵，∴点D、E、B、F四点共圆，∴， ∵点D是的中点，，∴，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，即，∴．故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等边对等角，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识，证明四点共圆是解题的关键． 4．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）如图，在中，点、分别在、上，且．(1)求证：；(2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据，证明，即可判定； （2）由，得到，推出，结合，证得． 【详解】（1）证明：∵，，∴， 又∵，∴； （2）∵，∴，∴，∵，∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题： （1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D． ①比较大小：PC______PD． (选择“>”或“<”或“=”填空）；②证明①中的结论． （2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求的长）． 【答案】（1）①PC=PD；②证明见解析；（2）OP=1或OP=． 【分析】（1）过P作PH⊥OA，PN⊥OB，根据三角形内角和的度数求出∠HPC=∠NPD，再根据角平分线的性质得出PH=PN，最后根据全等三角形的判定得出△PCH≌△PDN，即可得出答案． （2）分两种情况进行讨论：①若PD与边OB相交，根据三角形相似得出∠PEC=∠DCO，再根据DO⊥OC，OC=1，得出OP为Rt△CPE斜边上的中线，即可求出OP的长；②若PD与边OB的反向延长线相交，过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，根据三角形相似得出∠PCE=∠OCD，再根据∠PCO+∠PEC=90°，∠PDO+∠OED=90°，得出∠PDO=∠PCO，在Rt△PHC和Rt△PND中，根据全等三角形的判定得出Rt△PHC≌Rt△PND，再根据全等三角形的性质得出∠PCO和∠ODP的度数，从而得出OP=OD，设OP=x，根据HC=DN，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）①PC=PD；故答案为：= ②过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°，∴∠HPC+∠CPN=90° ∵∠CPN+∠NPD=90°∴∠HPC=∠NPD∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN 又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN， ∴PC=PD (2)①若PD与边OB相交 ∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE＝∠DOC=90°∴由△PCE与△OCD相似可得∠PEC=∠DCO ∴DE=CD，而DO⊥OC，∴OE=OC=1 ∴OP为Rt△CPE斜边上的中线∴OP=EC=OC=1 ②若PD与边OB的反向延长线相交， 过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N， 则PH=PN ∵△PCE与△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE＝∠DOC=90°∴∠PCE=∠OCD 又∵∠PCO＋∠PEC=90°，∠PDO +∠OED =90°且∠PEC＝∠OED， ∴∠PDO=∠PCO而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND（AAS） ∴HC=ND，PC=PD， ∴∠PCD= ∠PDC =45°，∴∠PCO=∠DCO=∠PDO =22.5° 又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°∴∠ODP=∠OPD=22.5°∴OP=OD 设OP=x，则HC=OC－OH= ，而DN=DO＋ON=OP+ON= ， ∴， ∴，即OP=， 综上所述，满足条件的OP=1或OP=． 【点睛】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、中线的性质、三角形内角和等知识点，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形． 6．（2023·江苏盐城·三模）【定义学习】过平面内一定点作两条直线（不平行）的垂线，那么这个定点与两个垂足构成的三角形称为“点足三角形”，在“点足三角形”中，以这个定点为顶点的角称为“垂角”． 如图1，，，垂足分别为A、B，则为“点足三角形”，为“垂角”．    【性质探究】．(1)两条直线相交，那么下列命题正确的是_________（填序号①、②、③） ①不在这两条直线上的任意一点都可以画这两条直线的“点足三角形”；②如果存在“点足三角形”、那么它一定是钝角三角形；③两条直线所夹锐角为度，则过平面内一点所画出的“点足三角形”的“垂角”度数一定为或度． (2)如图2，点O为平面内一点，，，垂足分别为A、B，将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，连接．求证：． 【迁移运用】(3)如图3，，点A在射线上，点B是射线上的点，且，．则是否存在一点O．使得“点足三角形”的面积为，若存在，求出此时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③(2)见解析(3)或 【分析】（1）根据“点足三角形”的定义，推得当定点不在这两条直线上，则都存在这个定点与两个垂足构成的三角形，即①正确；分类讨论定点的位置，当两直线夹角为锐角时，根据角的和与差可推得定点在两直线的同侧，且在直线的下方时，存在点足三角形为钝角三角形，根据角的和与差可推得定点在两直线的同侧，直线的上方时，存在点足三角形为钝角三角形，根据垂直的性质和四边形内角和可推得当该定点在直线的下方，直线的上方时，存在点足三角形为钝角三角形，当两直线夹角为直角时，根据四边形内角和可推得，存在点足三角形为直角三角形，故②错误；当两条直线所夹锐角为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点在两直线的同侧，且在直线的下方时，点足三角形垂角度数为度，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得当定点在两直线的同侧，且在直线的上方时，点足三角形垂角度数为度，根据垂直的性质和四边形内角和可推得当定点在直线的下方，直线的上方时，点足三角形垂角度数为度，③正确． （2）根据旋转的性质可得，根据余弦的定义可推，根据相似三角形的判定可得；（3）分类讨论：当定点在两直线的同侧，且在的下方时，令与交于点，过点作于点，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得，，根据正切的定义可推得，根据勾股定理可得，根据正切的定义可推得，设，则，根据勾股定理可求得，推得，，根据正切的定义可推得，设，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，推得，，即可求得； 当定点在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点，过点作于点，根据对顶角相等和等角的余角相等可推得，，根据正切的定义可推得，，，，，设，则，，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法求得，即可求得，根据正切的定义推得，设，则，根据勾股定理可求得； 当定点在直线的下方，直线的上方时，过点作于点，延长交于点，根据等角的补角相等可推得，根据正切的定义推得，根据勾股定理可求得，根据正切的定义推得，设，根据正切的定义推得，根据勾股定理求得，，根据三角形的面积公式和割补法计算面积的方法得到方程式，进行求解即可． 【详解】（1）①根据“点足三角形”的定义可得，当该定点为其中一条直线上的一点时，则不存在该定点与这条直线的垂线，故这个定点与两个垂足构成的三角形不存在，即当定点不在这两条直线上，则都存在这个定点与两个垂足构成的三角形，即①正确； ②当两直线夹角为锐角时，该定点在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点，与交于点，如图：则，即为钝角，故存在点足三角形为钝角三角形；同理，当该定点在两直线的同侧，且在直线的上方时，为钝角，故存在点足三角形为钝角三角形；       当该定点在直线的下方，直线的上方时，如图： ∵在四边形中，，，∴， ∵两直线夹角为锐角，即为锐角，故为钝角，存在点足三角形为钝角三角形； 当两直线夹角为直角时，如图：            ∵在四边形中，，，∴， ∵两直线夹角为直角，即为直角，故为直角，存在点足三角形为直角三角形；故②错误； ③当两条直线所夹锐角为度，即， 当该定点在两直线的同侧，且在直线的下方时，令两直线交点为点，与交于点，如图： ∵，，垂足分别为A、B，且，∴， 即点足三角形垂角度数为度； 当该定点在两直线的同侧，且在直线的上方时，如图： ∵，，垂足分别为A、B，且， ∴，即点足三角形垂角度数为度； 当该定点在直线的下方，直线的上方时，如图： ∵在四边形中，，，∴， ∴度，即点足三角形垂角度数为度； 故③正确．故答案为：①③． （2）∵将“垂角”绕着点O旋转一个角度，分别与，，相交于C、D，∴， ∵，，∴在中，， 在中，，∴，即， 又∵，∴． （3）当定点在两直线的同侧，且在的下方时，令与交于点，过点作于点，如图：∵，，且，∴，       又∵，，，∴， 在中，，，∴，∴， 在中，， 即， 设，则，且，在中，， 即，解得：，故，， 在中，， 即，设，则， ∵， 即，解得：（舍去），，故，， ∴； 当定点在两直线的同侧，且在的上方时，令与交于点，过点作于点，如图： ∵，，且，∴， 又∵，，，∴， 在中，，即， 在中，， 即， 在中，，即， ， 且，整理得：， 设，则，， ∵， 即，解得：（舍去），，故，∴； 在中，，故设，则， 在中，，即， 解得：（舍去），∴； 当定点在直线的下方，直线的上方时，过点作于点，延长交于点，如图：    ∵在四边形中，，，∴，∴， 在中，，且，∴， 在中，， 在中，，即，设，则，， 在中，，即，在中，， 即，整理得：，故， ∵， 即：，整理得：， ，故无解；综上，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直的性质，四边形内角和，对顶角相等，等角的余角相等，旋转的性质，余弦的定义，相似三角形的判定，正切的定义，勾股定理，三角形的面积公式，割补法计算不规则图形的面积，等角的补角相等，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等，熟练掌握以上性质和运用分类讨论的方法求解是解题的关键． 7．（2022·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为边所在直线上一点，连接，过点E作，交边所在直线于点G．(1)如图1，当点F、G分别在线段、上时，①求证：；②请猜想三条线段、、之间的数量关系，并证明．(2)已知，连接，若所在的直线交所在的直线于点P，请直接写出长， 【答案】(1)①见解析，②(2) 或者 【分析】（1）①作 分别交BC于M，CD于N，则易证四边形EMCN为正方形，则可正 ，即可证得；②由①的结论，进行线段的等量代换即可求得．（2）由于，所以分F在线段CD上和F在DC延长线上两种情况分别画出图形，用三角形相似和锐角三角函数列方程求解即可． 【详解】（1）解：①作 分别交BC于M，CD于N， ， ， 是正方形， ， ， ， ，是正方形， ， ， 在三角形GEM和三角形FEN中， ，， ； ②由①得： ， ， ，， ， ， 在中， ，整理可得：； （2）∵ ，所以分F在线段CD上和F在DC延长线上两种情况： ①当F在CD 上时，作PH垂直BC于H，PK垂直于EM于K， ，由（1）得： ，∴四边形PKMH为矩形， 由（1）得EG=EF，EM=MC=CN=EN， ， ， ， ， ， ∵正方形ABCD， ， ， ， ， 设MH为x，则PH=HC=CM-MH=3-x， ， ， ，解得： ， ， 在 中 ； ②当F 在DC延长线上，如图所示：同理可得：CM=EM=EN=NC=3，GM=NF=NC+CF=5， 设PH为x， 则：CH=PH=MK=x，BM=BC-MC=1，GC=GM+MC=8， ， ，解得： ， ， 在 中 ．综上所述： 或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段的等量代换，动点问题以及锐角三角函数，做出辅助线，分情况讨论，并综合运用以上知识证明和列出方程是解题的关键． 8．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，点D为边的中点，分别交、边于点E、F，且． (1)当时（如图1），求证：；(2)当时（如图2）．求证：； (3)在（2）问的条件下，作的角平分线，交于点P，交的延长线于点Q（如图3），若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）连接，证明，得到，进而得到，根据等腰直角三角形的性质，和勾股定理，即可得证；（2）取的中点，连接，证明，得到，得到，即可得证；（3）证明，进而得到，再证明，求出的长，进而求出的长，进而求出的长，再证明，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，∵在中，，，点D为边的中点， ∴，，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，∴， ∴，∴， ∵，即：，∴； （2）证明：∵在中，，， ∴是等边三角形，∴，，取的中点，连接， ∵点D为边的中点，∴， ∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴； （3）解：如图：∵，，由（2）知：，， ∴，∴为等边三角形，∴， ∵，平分，∴， ∵，∴，∴， 又，∴，∴，∴， ∴，，， ∵，∴，∴，∴（负值已舍去）， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题．解题的关键是添加辅助线，证明三角形全等和相似． 9．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，在中，点为边的中点，以点为顶点的的两边分别与边，交于点，，且与互补． (1)如图1，若，且，则线段与有何数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，若，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若，探索线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)，证明见解析 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可得，，再证明，，可以利用定理证明，进而得到； （2）依然成立．如图2，过点作于，作于，连接，则，由于，点为中点，根据三角形的性质三线合一得到平分，于是得到，在四边形中，，得到，又由于与互补，证得，推出，即可得到结论；（3）结论．如图3，过点作于，作于，连接同（2）可证，通过，得到．由于点为的中点，得到，列等积式即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下：连接，如图1所示:    是等腰三角形，，是斜边的中点， ，，，，， ，，，， 在和中，，，； （2）解：依然成立． 证明如下：过点作于，作于，连接，如图2所示：       ，，点为中点，平分，， 在四边形中，，， 又与互补，，， 在与中，，，； （3）解：．证明如下：过点作于，作于，连接，如图3所示： 同（2）可证，又，，． 点为边的中点，，，， 又，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10．（23-24九年级上·湖北十堰·期末）已知，中，，D，E，F分别是边上的点，且， (1)如图1，，D是的中点，则①与的数量关系是 ；②之间的数量关系是 ； (2)如图2，，D是的中点，（1）中结论②是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，，当绕点D旋转时，的值是否改变？若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①；②(2)仍然成立，见解析(3)不变，其值为 【分析】（1）①连接，根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可；②根据，可得，从而得到，再由，即可； （2）延长至G点，使，连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再证明，可得，，从而得到，再由勾股定理，即可；（3）根据题意可得，，可证明△ADE∽△CDF，即可． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵，D是的中点，，∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴；故答案为： ②∵，∴，∵，∴， ∵，∴； （2）解：仍然成立．理由如下：延长至G点，使，连接， ∵，∴，∵D是的中点，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴； （3）解：不变，其值为 ∵，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴△ADE∽△CDF，∴， 又∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得全等三角形和相似三角形是解题的关键． 11．（2024·浙江·一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，点D是边OB上一定点，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，使一直角边经过点D，另一直角与边OA交于点C.容易证得PC=PD（如图①）.（1）若另一直角边与边OA的反向延长线相交于点C(如图②)，试问PC与PD还会相等吗？若相等，请予以证明；若不相等，请说明理由； （2）已知OD=4，三角板在移动过程中，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C,E,且以P,D,E为顶点的三角形与OCD相似，试求线段OP的长． 【答案】（1）PC=PD，证明见解析；（2）或4 【分析】（1）过P作，，，OM是∠AOB的平分线，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）①当C在射线OA上，E在BO的延长线上；②当C在AO的延长线上，E在射线OB上，根据相似三角形的性质即可得出结论； 【详解】（1）过P作，， ∴，∵OM是∠AOB的平分线，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴； （2）①当C在射线OA上，E在BO的延长线上， ∵与相似，若点E与点C对应，可得，矛盾， ∴，∴，∴，∴； ②当C在AO的延长线上，E在射线OB上， ∵与相似，若点E与点D对应，可得，矛盾， ∴，∴，∴，设， ∴，，∴， ∴，∴；∴OP的长度为或4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质明确地说就行的判定与性质，角平分线的性质，正确理解做辅助线是解题的关键． 12．（23-24九年级下·成都·期中）已知在中，，，点在上，且．  当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由； 当， ①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明． ②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明） 【答案】（1），理由见解析；①，理由见解析；②成立． 【分析】（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出，然后根据余切函数即可求得．（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF=PC，PE=PA，即可求得． 【详解】（1），理由：如图，作， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴ ∴的中点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，在中，，∴，即． ，如图 在中，过点于点 ∴四边形是矩形，∴∴， 又∵中，∴ ∴∵ ∴，即： ②如图，成立． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角函数的应用． 13．（23-24·河南南阳·一模）（1）问题发现：如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时，  =　 　（用含a，b的代数式表示）． （2）拓展探究：在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决：如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是　 　（用含n，a的代数式表示） 【答案】(1);(2)见解析;(3) 【详解】分析：（1）先判断出△PMC∽△ABC，得出，再判断出四边形CNPM是矩形，即可得出结论；（2）先过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；（3）先判定△PMC∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解，再计算其面积； 详解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC， ∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°， ∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD， ∴四边形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴，故答案为； （2）如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90° ∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN ∴由PG∥AB，PH∥AD可得，, ∵AB=a，BC=b∴，即,∴，故答案为 ； （3）∵PM⊥BC，AB⊥BC∴△PMC∽△ABC∴ 当AP=nPC时（n是正实数）， ∴PM=a ∴四边形PMCN的面积=，故答案为． 点睛：相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 14．（2024·河南安阳·模拟预测）综合与实践：综合实践课上，同学们以“旋转”为主题开展数学探究活动． 操作一：如图1，将直角三角板的直角顶点P放在四边形的对角线上，直角三角板绕点P旋转，其边分别交于点M，N． （1）当四边形是正方形时，线段的数量关系是_______；若，，则四边形的面积为_______． （2）①如图2，当四边形是矩形，时，判断线段的数量关系并说明理由； ②当四边形是矩形，时，请直接写出的值． 【答案】（1）；4（2）①，理由见解析②（3）或或或 【分析】（1）过点P作，垂足分别为G，H，则，证明四边形是正方形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解；（2）①如图，过点P作，垂足分别为L，K，则，证明，可得，再证明，可得，从而得到，即可；②解答方法同①；（3）分四种情况讨论，即可求解 ． 【详解】解：（1）如图，过点P作，垂足分别为G，H，则， ∴四边形是矩形，∵四边形是正方形，∴，， ∴，，∴，四边形是正方形，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，；∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴；故答案为：；4 （2）①，理由如下：如图，过点P作，垂足分别为L，K，则，∴四边形是矩形，∴，， ∴，∴，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴∵，∴； ②同理①得：，∵，∴； 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，涉及了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，勾股定理，利用类比思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 15．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长相等，与相交于点E，与相交于点F，连接，在正方形绕点O旋转的过程中，始终有，请证明这个结论． 【迁移应用】（2）如图2，在中，，，点D是边的中点，E是射线上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，连接． （i）当点E在边上，点F在边上时，试探究线段，，之间的数量关系．并证明你的结论； （ii）若，，设，，请直接写出y与x的关系． 【答案】（1）证明见解析：（2）（i），证明见解析；（ii）． 【分析】（1）证明，得出，利用中，则可得出答案；（2）（i）作矩形，证出，得出、、，在中，根据则可得出答案；（ii）分两种情况，利用（1）（i）结果和勾股定理进行变换可得出答案．本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：如图1，四边形、都是正方形， ，，，， ∴，∴，， ，连接，在中，，∴， （2）（i）如图2，结论：， 证明：作矩形，延长交于点G，连接，如图：点D是矩形的中心， 又点D是的中点，， 在矩形中，，，，， ∴，，， 又，∴，在矩形中，， 在中，，， （ii）解：当E，F分别在和上时，如图， 由（2）的结论可得，在中，由勾股定理得， ，设，则，， ∴，∴， ∵，∴ ②如图，点E，F分别在线段和的延长线上时，由（2）的结论可得， 在中，由勾股定理得，， 设，则，，∴，∴， ∵∴∴ 综上所述：y与x的关系为：． 16．（2023·江苏·一模）（1）【探究发现】 如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是______． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，∠BOD＝120°，OD＝，OB＝4，OA平分∠BOD，AB＝，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长． 【答案】（1）CE+CF＝BC；（2）结论不成立．CE+CF＝BC；理由见解析；（3）OC＝ 【分析】（1）如图1中，结论：CE+CF=BC．证明△BOE≌△COF（ASA），即可解决问题． （2）如图2中，结论不成立．CE+CF=BC．连接EF，在CO上截取CJ=CF，连接FJ．首先证明CE+CF=OC，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． （3）如图3中，由OB＞2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，设OH=x．构建方程求出x可得OA=1，再利用（2）中结论即可解决问题． 【详解】（1）如图1中，结论：CE+CF＝BC．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠OCF，∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC．故答案为CE+CF＝BC． （2）如图2中，结论不成立．CE+CF＝BC． 理由：连接EF，在CO上截取CJ＝CF，连接FJ． ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴∠BCO＝∠OCF＝60°， ∵∠EOF+∠ECF＝180°，∴O，E，C，F四点共圆，∴∠OFE＝∠OCE＝60°， ∵∠EOF＝60°，∴△EOF是等边三角形，∴OF＝FE，∠OFE＝60°， ∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°，∴△CFJ是等边三角形，∴FC＝FJ，∠JFC＝∠OFE＝60°， ∴∠OFJ＝∠CFE，∴△OFJ≌△EFC（SAS），∴OJ＝CE，∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC＝BC， （3）如图3中，由OB＞2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，设OH＝x． 在Rt△ABH中，BH＝，∵OB＝4，∴+x＝4，解得x＝或， ∴OH＝或，∴OA＝2OH＝1或3（舍弃），∵∠COD+∠CAD＝180°，∴A，C，O，D四点共圆， ∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝60°， ∵∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，由（2）可知：OC+OD＝OA，∴OC＝1﹣＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 17．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______；（2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 【拓展延伸】如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【分析】（1）直接根据正方形的面积求解面积即可；（2）在和中，利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论；（3）如图，过作于，过作于，证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长都等于6， ∴，，∴如图①摆放时，重叠部分的面积是； （2）没有变化，理由如下：如图，在正方形和正方形中， ，，，，， ，， 在和中，，，， ，，， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； （3）如图，过作于，过作于，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴四边形为正方形，∴， ∵，∴， ∴；∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，旋转的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 18．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形的边长为，的顶点在正方形两条对角线的交点处，．将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路： 浩浩：如图，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了，则，那么，这样，就实现了四边形的面积向面积的转化； 小航：如图，也是考虑到正方形对角线的特征，过点分别作于点，于点，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 ． （2）【类比探究】①如图2，矩形中，，，点是边的中点，．点在上，点在上，则四边形的面积为 ； ； ②如图3，若将（1）中的“正方形”改为“，边长为的菱形，其他条件不变，当”时，四边形的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由； ③如图4，在②的条件下，当点在对角线上运动，顶点与点的距离为，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1），；（2）①，；②是定值，定值为；③或 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题；②过作交于点，证是等边三角形和是等边三角形，得，，再证，得，则，然后证，即可解决问题；③连接交于点，分两种情况，、点在上时，、点在上时，由等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质分别解答即可； 【详解】解：（1）浩浩：四边形是正方形，边长为， ，，，，，， ，，，，，， ，； 小航：，，， ，四边形是矩形，，，， 四边形是正方形，边长为，，， ，，是的中位线，， 同理：，，，四边形是正方形， ，， ， ；故答案为：，； （2）①如图2，过点作于点， 则，四边形是矩形，， 四边形是矩形，，，， ，点是边的中点，，， 四边形是正方形，，，， ，，，，， ，，故答案为：，； ②当时，四边形的面积还是一个定值，理由如下： 如图3，过点作交于点，四边形是菱形，边长为，， ，，，，，，是等边三角形，，， ，， ，，， ，是等边三角形，， ，，， ，，， ，，，， 即当时，四边形的面积还是一个定值； ③连接交于点，分两种情况 a、点在上时，如图4，四边形是菱形，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ，过点作交于点， 同②得：都是等边三角形，，，， ，，，； b、点在上时，如图4﹣1，过点作交于点， 同理得：，是等边三角形，， ，； 综上所述，的长为或，故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$