专题11 相似三角形重要模型之半角模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题11 相似三角形重要模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 63 模型1.半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．(1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：； ②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长； (2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）．    例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点． ①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长． ②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 例6．（2024·海南三亚·一模）如图1，在正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 例7．（2024·陕西宝鸡·二模）问题提出（1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究（2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决（3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 1．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，,,，如果，则的长是(    )． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）是两个全等的等腰直角三角形，，现将两条直角边重合，把绕点A逆时针旋转α角（）到如图所示的位置时，分别与相交于点F、G，则图中相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D． 3．（23-24九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 4．（23-24九年级下·广东·期中）如图，边长为的正方形纸片ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处，连接CF；再把正方形ABCD沿着CO折叠，点F落在BD的点G处，连接CG交折痕DE于点H，则△CEH的面积为（　　　） A． B． C． D． 5．（23-24 重庆 九年级期中）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，、分别交对角线于点、，若，则的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．16 6．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形在平面直角坐标体系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为 ．    8．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是 ． 9．（2023·浙江绍兴·校联考三模）矩形中，，，连接，E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N，若，，则的长为 ．      10．（2023·辽宁沈阳·九年级统考期末）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）①求证：AE2＝DE•BE；②求BE•CD的值； 【拓展探究】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，请直接写出的值． 11．（2024·广东深圳·九年级校考期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AB=4.若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合). (1)求证：△ABE∽△DCA；(2)若BE·CD=k（k为常数），求k的值；(3)在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么（2）中k的值是否发生了变化?为什么? 12．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知中，，，点在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 13．（2024·江西赣州·统考模拟预测）【问题背景】如图1，在中，，点E在上，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． (1)【问题发现】如图2，小芳发现，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答．根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为 ；（直接写出答案） (2)【类比探究】如图3，在四边形中，于点E，若的长为6，试求出四边形的面积． (3)如图4，在正方形中，点E，F分别在正方形的边上，，连接，猜想之间满足的数量关系，并说明理由． (4)【拓展应用】如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上，，连接，则的长为 （直接写出答案）． 14．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______． 15．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．                 图3 16．（2024·内蒙古斯·二模）【问题发现】 （1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 数学课上，同学们将两块大小不一的等腰直角三角板叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动一个三角板，可以得到如图1，图2所示的两种情况，据此得到如图3，图4所示的两个图形． （1）小明发现：图3中存在全等三角形，进而发现，且； （2）小强发现：图4中存在相似三角形，进而发现． 请你直接写出小强发现的所有的相似三角形．__________．（对应顶点要写在对应的位置） 【类比分析】小红发现，图3中的两个全等三角形可以看做是将一个三角形绕着顶点A逆时针旋转得到的，她在图4中进行了类似的操作，进而发现了，，之间的数量关系． 请你先进行小红的操作，再探究，，之间的数量关系． 【学以致用】如图5，在等边中，点D，E在边上，，，，则的面积是__________．（直接写出答案） 18．（2024·福建厦门·三模）在正方形中，，，、分别在、上．（且不与正方形顶点重合）。(1)如图1，若，求证：； (2)如图2，射线和的延长线交于点，射线和的延长线交于点，连接，请问的面积是否发生变化；如果不变，请求出的面积；如果要变，请说明理由； (3)如图3，连接分别交、于点和点，连接，则，过点作交于点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 相似三角形重要模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 63 模型1.半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于．对于下列结论：①；②；③；④当时，面积的最小值为．其中正确的是（） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】①根据为正方形，得出再证明即可证明；②把绕点逆时针旋转，得．证明，证明，即证；③根据相似三角形面积比等于相似比即可求解；④由②得，设，因为，所以得出，所以，当且仅当时等号成立，此时，因此，当时，取最小值． 【详解】为正方形， ， 又故①正确； 把绕点A逆时针旋转，得到． ，∵，∴． 又，∴．∴，即故②正确； 由②得．过作，作． 则与的相似比就是．易证， 则可知，故③正确； 当时，设， 因为， 所以，所以．整理，得， 所以，即． 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 此时． 因此，当时，取最小值，为．故④正确．故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点综合性极强，难度较大． 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，，，且，，，，， ，，，，故选：B 例3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．    (1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：； ②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长； (2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②，；③；(2)或． 【分析】（1）①本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据两角相等的两个三角形相似证明；②本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，可证明；③本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质计算即可；（2）本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】（1）①证明：∵    ②，，∵，∴， ∵、都是等腰直角三角形，∴，， ∴，； ③在中，，，则，， ，，， ，，，即，解得：； （2）如图2，当点在线段上时，      由②可知：，，即，解得：， ； 如图3，当点在线段的延长线上时，， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长． 【详解】解：如图，作于，作于． 中，，．∴． 在中，．，．． ．．． ．．．． ，即．．由勾股定理得：． ．．故答案为： 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键． 例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点． ①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长． ②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或 【分析】（1）证，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可； （2）①连接，证，列出比例式，根据相似比即可求解；②分点H为AG中点和点N为EC中点两种情况，根据相似比，求出比值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ， ∵，∴△ABC是等边三角形，∴，， ，；，，，是等边三角形； （2）①连接，点是的中点，， ，，， 由（1）知，是等边三角形，，平分，， ，，即， ，， ②如图，当点H为AG中点时，即； ∵是的中点，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC, ∵，∴，即； 同理，如图所示，当点N为EC中点时， ON∥AE，； 连接FG，作FP⊥BC，交BC延长线与点P， ∵，，∴, ∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，， ∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG， 设EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，， ∵EN=CN=4，； 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关几何知识，构建几何模型证明相似或全等． 例6．（2024·海南三亚·一模）如图1，在正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②(2)(3)不发生变化， 【分析】（1）①由正方形可得，，，，再由可得，，从而得出为等腰直角三角形，可得，最后可得结论；②连接交于点，则，证明，后进行计算即可；（2）连接，证明，即可解决问题；（3）连接，由（2）知，可得，再证为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：正方形， ，，，， ，，， 为等腰直角三角形，，． 在和中，． ②如图，连接交于点，则， ，，由①知，，， 又，， 在和中，．  ， ，． （2）如图，连接，，，      又，，  ． （3）不发生变化，理由如下： 如图，连接， 由（2）知，，    又，为等腰直角三角形，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例7．（2024·陕西宝鸡·二模）问题提出（1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究（2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决（3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 【答案】（1），；（2）正方形的边长是12；（3）满足要求，理由见解析 【分析】（1）根据证明得，进而可证； （2）由勾股定理得，则，设正方形的边长为x，则，，得，求解即可；（3）延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于点E，连接，则四边形是正方形，得，设，则，证，得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形，，， 由旋转的性质得，，，，， ，即， ，，， 在和中，，，， ，．故答案为：，=． （2）在中，由勾股定理得，则， 设正方形的边长为x，则，， ，解得，即正方形的边长是12． （3）满足要求，理由如下：延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于点E，连接，如图所示， 则四边形是正方形，， 设，则，，， ，，， 由（1）得：，在中，由勾股定理得：， 解得，即的长是8，而，，满足要求． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 1．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，,,，如果，则的长是(    )． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由于△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，设DE=x，则AB=7+x，可以得出△ACE∽△CDE∽△BDC，根据相似三角形的性质，列出关于x方程，解出x，再计算BC的长． 详解：设DE=x，则AB=7+x． ∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠DCE=∠CAE=∠DBC=45° ∴△ACE∽△CDE∽△BDC，设CD=a，CE=b，则有以下等式：  x：b=b：3+x，x：a=a：4+x，x：a=b：AC，整理得：b2=x（x+3），a2=x（x+4），x•AC=ab， x2（x+3）（x+4）=a2b2=x2•AC2=，解得：x=5；∴AB=12，∴AC=BC=6．故选C． 点睛：本题主要考查了三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质，以及列方程求解的能力． 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）是两个全等的等腰直角三角形，，现将两条直角边重合，把绕点A逆时针旋转α角（）到如图所示的位置时，分别与相交于点F、G，则图中相似三角形共有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D． 【答案】D 【分析】根据题可得，，再由三角形外角的性质可得，从而得到，即可． 【详解】解：∵是两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∵，，∴， ∴，∴． 综上所述：图中相似的三角形共有4对．故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（23-24九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得； 通过证明，可得； 通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论； 通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，     四边形是正方形，，， 又，，，，， ，， 又，，，，故正确； ，，，， 又，，，，故正确； ．，，，，， ，，， ，，，，故正确； ，，，，，， 又，，， ，，故正确，故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 4．（23-24九年级下·广东·期中）如图，边长为的正方形纸片ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处，连接CF；再把正方形ABCD沿着CO折叠，点F落在BD的点G处，连接CG交折痕DE于点H，则△CEH的面积为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先由折叠得DF=CD=，再求出OF=-1，再由折叠得∠FCO=∠EDF=∠CDE，∠FOC=∠CED=90°可证△COF∽△DEC，得到比例式，可得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵沿直线DE折叠，点C落在对角线BD上的点F处，∴△FDE≌△CDE∴DF=CD= ∵△ODC为等腰直角三角形，∴OD=OC=1∴OF=-1 由2次折叠可得，∠FOC=∠CED=90°，∠CDE=∠FDE，如图可知，∠1=∠2 易得∠FCO=∠EDF=∠CDE， ∴△COF∽△DEC∴ ∵，，CF=2CE∴∴ ∴, ∵△CFH中，∠CEH=90°，∠ECH=45°∴CE=EH ∴ 故选：A． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解答此题的关键． 5．（23-24 重庆 九年级期中）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，、分别交对角线于点、，若，则的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质、旋转的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得． 【详解】四边形ABCD是正方形，， 由旋转的性质得：，，即， 在和中，，， ，即，，故选：D． 【点拨】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由SAS证明△BEC≌△AFC，①正确；由全等三角形的形状得CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，再由∠BCE＋∠ECA＝∠BCA＝60°，得∠ACF＋∠ECA＝60°，得△CEF是等边三角形，②正确；由∠AGE＝∠CAF＋∠AFG＝60°＋∠AFG，∠AFC＝∠CFG＋∠AFG＝60°＋∠AFG，得∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点E作EM∥BC交AC下点M点，易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE，由AF∥EM，则△AFG∽△MEG，得④错误． 【详解】解：①∵四边形是菱形，∴，． ∵，∴， ∴和都是等边三角形，∴，． ∵，∴，故①正确． ②∵，∴，． ∵，∴，∴是等边三角形，故②正确． ③∵，， ∴，故③正确．④过点作交于点， ∴，，∴是等边三角形，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴﹐故④错误，正确个数为3．故选B． 【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，长方形在平面直角坐标体系中，点、分别在轴、轴的正半轴上，，．若、上分别有点、，满足，，点则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】延长，交于，作于，设，由勾股定理表示出的长，由相似三角形的性质求出、，利用三角形相似和由勾股定理求出、的长，即可点的坐标． 【详解】解：延长，交于，作于，设，    ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∴∴， ∴，∴，∴ ∵，，∴， ∴∴，∴， ∴，∴， ∴点E的坐标是 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是作辅助线构造相似三角形． 8．（2023·上海宝山·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC ，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且，那么的值是 ． 【答案】． 【分析】由已知可得，从而可知，， 设AB=3x，则BE=2x，再利用勾股定理和等腰三角形性质用x表示DE和BC，从而解答 【详解】解：∵∠BAE=∠DAE+∠BAD，∠ADE=∠B+∠BAD， 又∵∠DAE=∠B=30°，∴∠BAE=∠ADE，∴，∴，， 过A点作AH⊥BC，垂足为H，设AB=3x，则BE=2x， ∵∠B=30°，∴，，∴， 在中，， 又∵，∴，∴， ∵AB=AC，AH⊥BC，∴，∴， 故答案为： . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用三角形相似得到AB与BE的关系是解题的关键． 9．（2023·浙江绍兴·校联考三模）矩形中，，，连接，E，F分别在边，上，连接，分别交于点M，N，若，，则的长为 ．      【答案】 【分析】根据矩形的性质，由勾股定理得出，延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，得正方形，延长交于H，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点P重合，得到，由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出，证出，设，则，利用勾股定理列出方程求出，然后由，得，所以 ，即可求出的长． 【详解】解：在矩形中， ∵，，， ∴， 如图，延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，得正方形， 延长交于H，连接， 将绕点A顺时针旋转，点D与点P重合，得到，    ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：， ∴，，，， ∴， 即， ，，三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴（， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． 10．（2023·辽宁沈阳·九年级统考期末）【教材呈现】 （1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）①求证：AE2＝DE•BE；②求BE•CD的值； 【拓展探究】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，请直接写出的值． 【答案】（1）①证明见解析；②18；（2） 【分析】（1）①只需要证明△ABE∽△DAE，得到，即可推出； ②先证明∠AEB=∠DAC，则可证△AEB∽△DAC，推出，然后利用勾股定理求出，即可得到； （2）设，，先证明△ADE∽△BDA，推出，设，，得到，求出，，则在直角△ACD中，，则，即可推出，由此求解即可． 【详解】解：（1）①∵△ABC和△AGF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠G=90°，∴∠B=∠C=∠GAF=45°， 又∵∠AED=∠NEA，∴△ABE∽△DAE，∴，∴； ②∵∠DAC=∠DAE+∠CAE，∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=∠DAE=45°，∴∠AEB=∠DAC， 又∵∠B=∠C，∴△AEB∽△DAC，∴，∴， ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，∴，即， ∴，∴； （2）∵，∴可设，， ∵∠B=∠DAE=30°，∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA， ∴，∴，可设，，∴， ∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴，∴， ∴ 在直角△ACD中，， ∴，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 11．（2024·广东深圳·九年级校考期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，AB=4.若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合). (1)求证：△ABE∽△DCA；(2)若BE·CD=k（k为常数），求k的值； (3)在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么（2）中k的值是否发生了变化?为什么? 【答案】（1）见解析；（2）k=16；（3）不变，理由见详解. 【分析】（1）由于∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，那么∠BAE=∠CDA，而∠B=∠C=45°，易证△ABE∽△DCA；（2）由（1）知△ABE∽△DCA，可得，利用AB=CA=4，可求k的值； （3）不变．由于∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，易得∠BEA=∠CAD，而∠ABE=∠DCA=45°，可证△EBA∽△ACD，利用比例线段可求BE•CD=AB•AC，而根据题意知AB=CA=4，从而可求k的值，可得不变的结论． 【详解】解：（1）∵三角形ABC和三角形AFG是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠FAG=∠ACB=45°，∠B=∠C=45°， ∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+∠B =∠BAD+45°，∴∠BAE=∠CDA，∴△ABE∽△DCA， （2）由（1）可知△ABE∽△DCA，∴，∴ 又∵三角形ABC是等腰直角三角形，AB=4，∴AB=CA=4，∴，即， （3）不变．∵∠BEA=∠EAC+∠C =∠EAC+45°，∠CAD=∠FAG +∠EAC=45°+∠EAC∴∠BEA=∠CAD， 又∵∠ABE=∠DCA=45°，∴△EBA∽△ACD，∴，∴， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质．解题的关键是利用三角形外角的性质，证明∠BAE=∠CDA，∠BEA=∠CAD． 12．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知中，，，点在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求出，再利用“两边对应成比例，夹角相等”判断，最后利用相似三角形的性质得结论； （2）先利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出的长，进而得到，再利用相似三角形的性质求出，最后利用线段的和差关系得结论． 【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴； （2）解：∵，∴，， ∵，∴，∴，， ∵，，，∴， ∵，∴，∴，即，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查相似三角形，掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理及相似三角形的性质和判定是解决本题的关键． 13．（2024·江西赣州·统考模拟预测）【问题背景】如图1，在中，，点E在上，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． (1)【问题发现】如图2，小芳发现，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答．根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为 ；（直接写出答案） (2)【类比探究】如图3，在四边形中，于点E，若的长为6，试求出四边形的面积． (3)如图4，在正方形中，点E，F分别在正方形的边上，，连接，猜想之间满足的数量关系，并说明理由． (4)【拓展应用】如图5，在矩形中，，点E、F分别在边上，，连接，则的长为 （直接写出答案）． 【答案】(1)30(2)36(3)，见解析(4) 【分析】（1）由旋转的性质得：，由正方形的性质得到，进而得到旋转后共线，证明，再根据阴影部分的面积进行求解即可；（2）如图3，将绕点D逆时针旋转90°到，则，，证明三点共线，再证明四边形是正方形，即可得到四边形的面积四边形的面积的面积正方形的面积；（3）如图4，将绕点A顺时针旋转90°得到，则，，，先证明点E、B、G在同一直线上，再证明，即可证明，得到，则； （4）如图5，延长至G，至H，使，连接，则四边形是正方形，则，，利用勾股定理求出，则，证明，求出，则，设，则，由（3）可知：，在中，根据勾股定理得，，解得，则，在中，根据勾股定理得：． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ∵四边形是正方形，∴， ∴旋转后共线，∴阴影部分的面积， ∵，∴， ∴，∴图1中阴影部分的面积为30，故答案为：30； （2）解：如图3，将绕点D逆时针旋转90°到， ∴，， ∵，∴，∴，∴三点共线， ∵，∴四边形是矩形，∴，∴四边形是正方形， ∵的长为6，∴正方形的面积为36， ∴四边形的面积四边形的面积的面积正方形的面积， ∴四边形的面积为36； （3）解：，理由如下：如图4，将绕点A顺时针旋转90°得到， ∴，，， ∵，∴，∴点E、B、G在同一直线上， ∵，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （4）解：如图5，延长至G，至H，使，连接，则四边形是正方形， 在矩形中，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴，∴，设，则， ∵，由（3）可知：， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得，∴， 在中，根据勾股定理得：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质等等，正确理解题意，利用旋转的性质作出辅助线是解题的关键． 14．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______． 【答案】（1）成立；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可；（2）根据正方形性质得出即可；（3）如图3，在上取一点，使，过作于，根据四边形为菱形，且，证出，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可． 【详解】解：（1）结论成立 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴ ∵，，∴ 又∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：成立 （2）证明：如图2，∵四边形是正方形， ∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴； （3）线段的长为 理由：如图3，在上取一点，使，过作于， 又∵四边形为菱形，且， ∴，∴ ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，， ∴2AN=，2AN=AD，∴， ∵，∴，∴， ∵菱形的边长为，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴线段的长为．故答案为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键． 15．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．                 图3 【答案】（1）选小东发现的结论，证明见解析、（2）证明见解析、（3） 【分析】（1）先证明，由三角形的外角的性质结合角的和差运算可得，同理可证明； （2）作于F，则，证明．可得．设，，求解，证明，求解．从而可得结论； （3）作交延长线于G，则，证明．可得，，求解，证明，可得，从而可得答案． 【详解】证明：（1）选小东发现的结论．理由如下： ∵，，∴． ∵，，∴． 选小红发现结论，同理可得：． （2）作于F，则． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． 设，，在中，根据勾股定理．∴． 在中，根据勾股定理． ∵，，∴． ∴．∴．∴． ∴．∴．∴． （3）作交延长线于G，则． ∵，∴．∴． ∴．∴， 在中，∵，∴． 在中，根据勾股定理得． ∵，，∴是正三角形．∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴， ∴．∴．∴．∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．（2024·内蒙古斯·二模）【问题发现】 （1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 【答案】（1）BP=CE，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明△ABC是等边三角形，得到AP=AE，∠PAE=60°，然后证明△ABP≌ACE即可得到答案；（2）连接AC，只需要证明△BAP∽△CAE即可得到，由此求解即可； （3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G，证明△AFP≌△PGE，PG=AF=2，EG=FP，然后利用勾股定理求出GE的长即可得到答案． 【详解】解：（1）BP=CE，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC， 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=60°， 又∵△PAE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC， ∴∠BAP=∠EAC，∴△ABP≌ACE（SAS）∴BP=CE； （2），理由如下：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠ACE=∠BAC=45°， ∴，∴， ∵△APE为等腰直角三角形，∠APE=90°，∴∠PAE=45°， ∴∠BAP+∠PAC=∠EAC+∠PAC，∴∠BAP=∠CAE，∴△BAP∽△CAE， ∴，∴； （3）连接AC交BD于F，过点E作EG⊥BD于G， ∵四边形ABCD是正方形，，∴，∠ABD=∠BAC=45°，∠AFB=∠AFD=90°， ∴∴∠FAP+∠AFP=90°， 又∵△APE是等腰直角三角形，∴AP=EP，∠APE=90°，∴∠APF+∠EPG=90°，∴∠FAP=∠EPF， 又∵∠AFP=∠EGP=90°，∴△AFP≌△PGE（AAS），∴PG=AF=2，EG=FP， 设FP=GE=x，则BG=BF+FP+PG=4+x， ∵，∴，解得（负值舍去）， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 17．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】 数学课上，同学们将两块大小不一的等腰直角三角板叠放在一起，使得其中的一个顶点重合，然后绕着这个顶点转动一个三角板，可以得到如图1，图2所示的两种情况，据此得到如图3，图4所示的两个图形． （1）小明发现：图3中存在全等三角形，进而发现，且； （2）小强发现：图4中存在相似三角形，进而发现． 请你直接写出小强发现的所有的相似三角形．__________．（对应顶点要写在对应的位置） 【类比分析】小红发现，图3中的两个全等三角形可以看做是将一个三角形绕着顶点A逆时针旋转得到的，她在图4中进行了类似的操作，进而发现了，，之间的数量关系． 请你先进行小红的操作，再探究，，之间的数量关系． 【学以致用】如图5，在等边中，点D，E在边上，，，，则的面积是__________．（直接写出答案） 【答案】【问题初探】，；【类比分析】；【学以致用】 【分析】【问题初探】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，；结合题意推得，；根据三个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例可推得，，即可求得；即可得出答案．【类比分析】先根据题意推得；根据两边及其夹角对应相等的两个三角形是全等三角形可证明，判断得出可以看做将绕着顶点A逆时针旋转得到的；即可推得将绕点逆时针旋转得到，连接；根据旋转前和旋转后的图形是全等图形可得，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，；根据等腰直角三角形的旋转可推得；根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平分即可推得． 【学以致用】将和分别绕点逆时针旋转得到和，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，根据等边三角形的三个角都是，三条边都相等可得，；根据旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，，，根据直角三角形两锐角互余可得，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半和勾股定理可分别求出、、的值，根据全等三角形的判定和性质可求得； 根据等边三角形三线合一可得，结合勾股定理求出的值，即可根据三角形的面积公式求解． 【详解】【问题初探】解：由题可得，，， ∵，，，， ∴，；∵，，， ∴，∴；即； ∵，，，∴， ∴；即；则；故答案为：，． 【类比分析】解：如图：由题可得，，， ∵，，∴， ∵，，，∴， 故可以看做将绕着顶点A逆时针旋转得到的． 如图：将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，∵，∴，，； ∵，∵，， ∴，即； ∵，，，∴，∴， 在中，，，，∴． 【学以致用】解：将和分别绕点逆时针旋转得到和，连接，过点作交于点，过点作的延长线交于点，如图： ∵是等边三角形，∴，， ∵，， ∴，，，，， ，∴， 在中，，， ∴，；∴， 在中，，则； ∵，，∴， 又∵，∴； ∵，，，∴， ∴，故；则，； 在中，； 故的面积为．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质等；通过旋转和全等三角形的判定和性质推得，根据直角三角形的性质和勾股定理求出的值是解题的关键． 18．（2024·福建厦门·三模）在正方形中，，，、分别在、上．（且不与正方形顶点重合）。(1)如图1，若，求证：； (2)如图2，射线和的延长线交于点，射线和的延长线交于点，连接，请问的面积是否发生变化；如果不变，请求出的面积；如果要变，请说明理由； (3)如图3，连接分别交、于点和点，连接，则，过点作交于点，求证：． 【答案】(1)见解析；(2)的面积不变，理由见解析；(3)见解析． 【分析】（1）证明，即可；（2）连接，证明，得到，利用，即可得出结论；（3）连接，过作于，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得到，证明四边形是矩形，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴， ∴； （2）解：的面积不变，理由是：        连接，∵，∴， 在正方形中，∵，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 同理得：，∴，∴， ∴，∴； （3）证明：如图，连接，过作于， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$