精品解析： 上海市徐汇区上海市西南模范中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年上海市徐汇区西南模范中学九年级（上）月考 数学试卷（9月份） 一、选择题（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 下列条件中，不能确定一个直角三角形的条件是（ ） A. 已知两条直角边 B. 已知两个锐角 C. 已知一边和一个锐角 D. 已知一条直角边和斜边 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质对每个选项注意论证得到选项． 【详解】解：A、已知两条直角边，可以确定一个直角三角形，不符合题意； B、已知两个锐角，若两个锐角的和不等于，则不能确定一个直角三角形，符合题意； C、已知一边和一个锐角，可以得到一直角，则能确定一个直角三角形，不符合题意； D、已知一条直角边和斜边，可以确定一个直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查的知识点是直角三角形的性质，解题的关键是根据其性质论证． 2. 如果的三边之比是，与它相似的的最短边为6，那么的其余两边长的和是（　　） A. 12 B. 19 C. 21 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，设的最长边为，另外一边为，根据性质可得，再进一步解答即可． 【详解】解：设的最长边为，另外一边为， ∵的三边之比是，与它相似的的最短边为6， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 3. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题． 【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c ∴，即，则A选项不成立，B选项成立 ，即，则C、D选项均不成立 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键． 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 有一个角相等的两个菱形必相似 B. 有一条边相等的两个矩形必相似 C. 有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D. 有一条边相等的两个等腰三角形必相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、相似多边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．利用相似多边形的判定、相似三角形的判定方法依次判断即可得解． 【详解】解：A．有一个角相等的两个菱形必相似，原说法正确，符合题意； B．有一条边相等的两个矩形不一定相似，原说法错误，不符合题意； C．有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原说法错误，不符合题意； D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似不一定相似，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，为对角线上的两点，连结并延长交于点E，连结并延长交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，找出相似三角形得出比例线段是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，根据平行线判定可得，，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】， 设， 在中，， ，， ，， ， ， ． 故选：B． 6. 如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①不能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠DAC， ∴无法证明△ABC是直角三角形； ②能， ∵AD⊥BC， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵∠B=∠DAC， ∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=∠B+∠BAD=90°； ∴△ABC是直角三角形； ③能， ∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°， ∴Rt△ABD∽Rt△CAD， ∴∠B=∠DAC， 由②得△ABC是直角三角形； ④能， ∵AB2=BD•BC， ∴， 又∠ABD=∠CBA， ∴△ABD∽△CBA， ∴△ABC一定是直角三角形． 综上，②③④都能判定△ABC是直角三角形，共有3个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是通过计算角相等和边成比例，判断出两个三角形是否相似，进而判断出是否为直角． 二、填空题（本大题共12题） 7. 已知，则_______________． 【答案】； 【解析】 【分析】由，即可设a=2k，b=3k，然后将其代入代数式，化简求解即可求得答案． 【详解】设a=2k，b=3k，则 . 故答案为. 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于根据题意设a=2k，b=3k求解. 8. 如果两个相似三角形的对应中线的比是，那么它们的周长比是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键．先根据相似三角形的对应中线的比为得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为， ∴其相似比等于， ∴它们的周长比是． 故答案为：． 9. 在比例尺为的地图上，相距的两地A、B的实际距离为_____千米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查比例线段，解题关键在于结合实际列出比例式． 设A、B两地间的实际距离为，根据比例线段得，求解即可． 【详解】解：设A、B两地间的实际距离为， 根据题意得， 解得， 所以A、B两地间的实际距离为． 故答案为： 10. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的定义，而是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段原线段的倍，计算即可． 【详解】解：∵线段，点M是黄金分割点，， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键．由可以得到，然后代入数据即可求出，故时，． 【详解】解：如图： ∵当 ∴时， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 12. 已知在中，，，点G为重心，那么______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出的长，再利用重心的性质即可求出的长． 【详解】解：根据题意可画图如下， ，，点G为重心， ， 故答案为：2 【点睛】此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，此题难度不大，属于基础题． 13. 在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与x轴正半轴的夹角，那么的余弦值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握． 过点作轴于点，先通过勾股定理求出，再利用余弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作轴于点 由题意得，， 则由勾股定理求得， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，于D．若，则的余切值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，先证明，可得，设，则，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即， ∴． 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 16. 如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点E、F在边BC上，且∠EAF=∠C，则BF·CE= ______． 【答案】16； 【解析】 【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式． 【详解】∵∠AFB=∠C+∠FAC=∠EAF+∠FAC=∠EAC， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C，即∠ABF=∠ECA， ∴△ABF∽△ECA， ∴， ∴BF⋅EC=AB⋅AC==16. 故答案为16. 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键在于利用性质转化等式. 17. 如图，四边形中，AD与BC交于点O，，，于点D．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作交于E，判断出，进而利用判断出，得出，，进而证明，再结合相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 18. 阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点Q，由点F是点A关于线段的“准射点”可得，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，连接，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】解：如图，设交于点Q， ∵点F是点A关于线段的“准射点”， ∴， ∴Q是的中点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴， ∴，， 连接，由矩形性质可得：，，， 则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴d的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义，矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，平行线分线段成比例定理，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共7题） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．将各角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 21. 如图，已知在中，，，点D在边BC上，，连接AD，． （1）求边AC的长； （2）求的值． 【答案】（1）6；（2）． 【解析】 【分析】（1）设AC=3x，根据，可求出AB长度，再根据勾股定理可求出BC长度，即可得到CD长，最后由，可解出x的值．即得到AC长． （2）作于点E，由，可求出DE长，再由勾股定理可求出，继而得到长，即可求出． 【详解】（1）设AC=3x， 根据题意，即， ∴AB=5x． ∵， ∴， ∴， ，即， 解得x=2， 经检验x=2，是该分式方程的解． ∴AC=3×2=6． （2）如图，作于点E， ∵，即， ∴， ∵，由（1）知． ∴， ∴． ． 【点睛】本题考查三角函数综合，勾股定理的知识．理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． 22. 如图，在中，点P、D分别在边、上，，垂足为点A，，垂足为点P，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）通过证明，可得，，由等角对等边可得结论； （2）通过证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， 又， ， ， ，且， ． 23. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90° ，CD与BE、AE分别交于点P、M． 求证：（1）△BAE∽△CAD； （2）2CB2=CP•CM． 【答案】 （1）证明：由已知：AC=AB，AD=AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD （2）证明：由（1）得到， ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴， ∴MP⋅MD=MA⋅ME ∠PMA=∠DME ∴△PMA∽△EMD ∴∠APD=∠AED=90° ∵∠CAE=180°−∠BAC−∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP•CM ∵AC=AB ∴2CB2=CP•CM 【解析】 【分析】(1)由相似三角形定理证明即可. （2）先证明△CAP∽△CMA，即可得AC2=CP•CM，由此可得2CB2=CP•CM. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理证明三角形形似即可. 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点C在第一象限，点D在线段上，，，，，垂足为E，连接、． （1）请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段、的长（用含t的代数式表示）； （2）当时，求t的值； （3）的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），，； （2） （3）的面积为定值． 【解析】 【分析】（1）证明，结合，可得，可得，结合，可得，，； （2）如图，延长于，证明，，可得，可得，而，可得，结合，，再建立方程求解即可； （3）由（1）得：，，，可得，利用，再计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，，； 【小问2详解】 解：如图，延长于， ∵，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， 经检验：不符合题意，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：的面积为定值，理由如下： 由（1）得：，，， ∴的纵坐标为， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 25. 已知：如图，在梯形中，，，，，，在边上任取一点，连接，作，的另一边交射线于点． （1）求的值； （2）如图，当点在线段上时，若，求的长； （3）连接，当是直角三角形时，直接写出BE的长． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作于，则，先根据有一个角是直角的平行的四边形是矩形可得四边形是平行四边形，则得的长，从而得和的长，最后利用勾股定理和余弦的定义可解答； （2）如图2，过点作于，根据，则，由正切的定义列方程可解答； （3）分三种情况：①当时，如图3，②当时，如图4，延长和交于点，过点作于，过点作于，③当时，如图5，过点作于M，过点作于，分别根据等腰直角三角形和三角函数的定义可解答． 【小问1详解】 如图1，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 【小问2详解】 如图2，过点作于， ∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴； 【小问3详解】 分三种情况： ①当时，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②当时，如图，延长和交于点，过点作于，过点作于， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得四边形是矩形， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴； ③当时，如图，过点作于，过点作于， 设， 同理得：，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， 同理可得：， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）； 经检验，是原方程的解， ∴， 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数的应用、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，作出适当的辅助线并分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市徐汇区西南模范中学九年级（上）月考 数学试卷（9月份） 一、选择题（下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1. 下列条件中，不能确定一个直角三角形的条件是（ ） A. 已知两条直角边 B. 已知两个锐角 C. 已知一边和一个锐角 D. 已知一条直角边和斜边 2. 如果的三边之比是，与它相似的的最短边为6，那么的其余两边长的和是（　　） A. 12 B. 19 C. 21 D. 24 3. 如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A. c＝bsinB B. b＝csinB C. a＝btanB D. b＝ctanB 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 有一个角相等的两个菱形必相似 B. 有一条边相等的两个矩形必相似 C. 有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D. 有一条边相等的两个等腰三角形必相似 5. 如图，在中，为对角线上的两点，连结并延长交于点E，连结并延长交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共12题） 7. 已知，则_______________． 8. 如果两个相似三角形的对应中线的比是，那么它们的周长比是_____． 9. 在比例尺为的地图上，相距的两地A、B的实际距离为_____千米． 10. 已知点M是线段的黄金分割点，若，则_____． 11. 在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 12. 已知在中，，，点G为重心，那么______． 13. 在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与x轴正半轴的夹角，那么的余弦值是_____． 14. 在中，，于D．若，则的余切值为_____． 15. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 16. 如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点E、F在边BC上，且∠EAF=∠C，则BF·CE= ______． 17. 如图，四边形中，AD与BC交于点O，，，于点D．若，则_____． 18. 阅读：对于线段与点O（点O与不在同一直线上），如果同一平面内点P满足：射线与线段交于点Q，且，那么称点P为点O关于线段的“准射点”．问题：如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．设点F是点A关于线段的“准射点”，且点F在矩形的内部或边上，如果点C与点F之间距离为d，那么d的取值范围为_____． 三、解答题（本大题共7题） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 如图，已知在中，，，点D在边BC上，，连接AD，． （1）求边AC的长； （2）求的值． 22. 如图，在中，点P、D分别在边、上，，垂足为点A，，垂足为点P，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 23. 如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90° ，CD与BE、AE分别交于点P、M． 求证：（1）△BAE∽△CAD； （2）2CB2=CP•CM． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点、，点C在第一象限，点D在线段上，，，，，垂足为E，连接、． （1）请直接写出图中与相似的三角形，直接写出线段、的长（用含t的代数式表示）； （2）当时，求t的值； （3）的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25. 已知：如图，在梯形中，，，，，，在边上任取一点，连接，作，的另一边交射线于点． （1）求的值； （2）如图，当点在线段上时，若，求的长； （3）连接，当是直角三角形时，直接写出BE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $