专题09 相似三角形重要模型之一线三等角（k字型）模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题09 相似三角形重要模型之一线三等角（k字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2024·陕西西安·九年级校考期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为 ．    例2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    例3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2， （1）如图：P为AD上的一点，满足；① ；② 求AP的长 （2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；② 当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程） 例4．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 例5.（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在直线上运动，作∠ADE=45°(A、D、E按逆时针方向)． (1)如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD ∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． (2)①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E'，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置：若不存在，请简要说明理由． ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由． 例6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    1．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（  ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 3．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，，则下列结论中正确的结论有（    ） ①；②；③；④图中有3对相似三角形．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连 接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24四川省巴中市九年级上学期期末数学试题）如图，在中，，点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结，给出以下几个结论：①；②；③点是的中点；④．其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）． 7．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 8．（2024·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ． 9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等边中，，，E，F分别为边，上的点，将沿所在直线翻折，点A落在边上的G点，得到三角形，则的面积为 ．    10．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 11．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长． 12．（23-24九年级·吉林·期中）感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明） (1)拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED． (2)应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE的面积比为 　 　． 13．（24-25九年级上·成都市·期中）如图，为正三角形，分别为上的点（不在顶点），．(1)求证：；(2)若正的边长为6，，求的长． 14．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 15．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F． (1)求证：；(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求的最小值；②当取最小值时，求线段DE的长． 16．（2024·山东宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线上，分别过两锐角的顶点M，N作的垂线，垂足分别为P， Q， （1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与相等的角是_____ (2)问题探究直角中，，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论. (3)拓展延伸：直角中，，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果，，试探究TE与TH之间的数量关系，并证明你的结论. 17．（2023·湖南株洲·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG． （1）求证：；（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值； （3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？    18．（2023秋·四川达州·九年级校考阶段练习）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 19．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．    (1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论． (2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想． ②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似三角形重要模型之一线三等角（k字型）模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 10 模型1.一线三等角模型（相似模型） “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 例1．（2024·陕西西安·九年级校考期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，若的边长为6，，则的长为 ．    【答案】 【分析】证明，可得，由，，可得，，由，求得，，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）∵，∴，∵，∴，解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 例3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在梯形ABCD中，AD // BC，AD < BC，且AD = 5，AB = DC = 2， （1）如图：P为AD上的一点，满足；① ；② 求AP的长 （2）如果点P在AD上移动（点P与点A、D不重合），且满足，PE交直线与BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ① 当点Q在线段DC的延长线上时，设AP = x，CQ = y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ② 当CE = 1时，写出AP的长（不必写出解题过程） 【答案】（1）① 见解析；② AP的长为1或4；（2）① y=3x-2（1 < x < 4）；② AP的长为2． 【分析】（1）①当∠BPC＝∠A时，∠A＋∠APB＋∠ABP＝180°，而∠APB＋∠BPC＋∠DPC＝180°，因此∠ABP＝∠DPC，此时三角形APB与三角形DPC相似． ②利用相似三角形的性质可得出关于AP，PD，AB，CD的比例关系式，AB，CD的值题中已经告诉，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把DC换成了DQ，那么只要用DC＋CQ就能表示出DQ了．然后按得出的关于AB，AP，PD，DQ的比例关系式，得出x，y的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根据CE的长，用AP表示出PD，然后根据PD，DQ，QC，CE的比例关系用AP表示出DQ，然后按①的步骤进行求解即可． 【详解】（1）①∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC．∴∠A＝∠D ∵∠ABP＋∠APB＋∠A＝180°，∠APB＋∠DPC＋∠BPC＝180°，∠BPC＝∠A ∴∠ABP＝∠DPC，∴△ABP∽△DPC． ②∵△ABP∽△DPC，∴，即：，解得：AP＝1或AP＝4． （2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴y＝−x2＋x−2（1＜x＜4）． ②当CE＝1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴，即或， ∵y＝−x2＋x−2，解得：x＝2或3−，∴PA＝2或3−． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了图形的性质，相似三角形的判定和性质，二元二次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 例4．（2023春·内蒙古赤峰·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角，∴， 即，∵，∴， 又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：； 拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE，∴， 即，解得：，∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 例5.（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在直线上运动，作∠ADE=45°(A、D、E按逆时针方向)． (1)如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E． ①求证：△ABD ∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AE的长． (2)①如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E'，是否存在点D，使△ADE'是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置：若不存在，请简要说明理由． ②如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】(1)①见解析；②2或或1 (2)①存在，当DC=2时，为等腰三角形；②不存在，理由见解析 【分析】（1）①由，，得出，即可得出结论； ②分AD=AE，AD=DE，AE=DE三种情况讨论即可；（2）①存在，可证即可；②不存在，条件与结论矛盾． 【详解】（1）①证明：∵，AB=AC∴∴ ∵∴∴∴△ABD ∽△DCE； ②分三种情况：（i）：当AD=AE时，∴ 所以此时D、E与B、C重合，； （ii）：当AD=DE时，由①知，△ABD ∽△DCE ∵AD=DE∴△ABD≌△DCE∴， ∵，AB=AC=2∴， ∴∴∴； （iii）：当AE=DE时，，∴ ∵∴∴DE=CE∴AE=DE=CE∴综上所述，2或或1； （2）①存在．∵，∴所以只有当时，为等腰三角形， ∵∴∵∴ ∴∴∴ ∵∴∴当DC=2时，为等腰三角形； ②不存在．∵D和B不重合，∴，， ∴同理所以不存在点D，使得为等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形和全等三角形的转化，分类讨论思想是本题关键． 例6．（2023·河北沧州·校考二模）如图，在中，，，点D是线段上的一点，连接，过点B作，分别交、于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接，下列结论错误的是（    ） A． B．若点D是AB的中点，则 C．当B、C、F、D四点在同一个圆上时， D．若，则 【答案】D 【分析】由，可确定A项正确；由可得，进而由确定点F为的三等分点，可确定B项正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质得到，得到为圆的直径，因为，根据垂径定理得到，故C项正确；因为D为的三等分点，即，可得，由此确定D项错误． 【详解】解：依题意可得，∴，∴， 又，∴．故A项正确；如图， ∵，，∴．在与中，， ∴，∴，又∵，∴； ∵为等腰直角三角形，∴；∴； ∵，∴，∴，∴．故B项正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得， ∴是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵，∴，∴，故C项正确； ∵，，，∴，∴，， ∴，∴；∴．故D项错误．故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 例7．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)存在， 【分析】（1）由题意可得，又由，可得，据此证得结论；（2）假设与相似，存在两种情况：①当，可得，根据题意可知此种情况不成立；②当，使得与相似，设，则，可得，，再由，即可求得值． 【详解】（1）证明：，，， ，，又，； （2）解：存在使得与相似．理由如下：假设与相似， 存在两种情况：①当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立； ②当，使得与相似，设，则， ，，，， ，，即，解得，（负值舍去）． 存在使得与相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 1．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，    ∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO， ∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵， ∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，点E、F分别在矩形的边上，且，若，则的长为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】证明，根据对应边成比例即可求得． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ，，， ，，故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，证明相似三角形是本题的关键． 3．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，是的中点，是上一点，，则下列结论中正确的结论有（    ） ①；②；③；④图中有3对相似三角形．    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题中条件可得，进而得出对应线段成比例，进而又可得出，即可得出题中结论． 【详解】解：四边形 是正方形，， ，， ，，， 是的中点，，，故①正确； 由可得，的正切值相同，， ，，，， ，，故②正确； ，，，与不全等，故③错误； 由以上证得，，，故④正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，其中又涉及正方形的一些性质问题，能够熟练掌握这些定理是解题的关键． 4．（23-24安徽九年级期中）如图，在RtABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连 接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由△AFG∽△CFB，可确定结论①正确；由△AFG≌△AFD可得AG＝AB＝BC，进而由△AFG∽△CFB确定点F为AC的三等分点，可确定结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，由于∠ABC＝90°，得到CD是直径，根据垂径定理得到DF＝DB，故③正确；因为F为AC的三等分点，所以S△ABF＝S△ABC，又S△BDF＝S△ABF，所以S△ABC＝6S△BDF，由此确定结论④错误． 【详解】解：依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴， 又AB＝BC，∴．故结论①正确； 如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4． 在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD， 又∵BD＝AD，∴AG＝AD；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB；∴AG＝AD＝AB＝BC； ∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确； 当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠ABC＝90°，∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径， ∵BG⊥CD，∴，∴DF＝DB，故③正确； ∵，AG＝BD，，∴，∴＝， ∴AF＝AC，∴S△ABF＝S△ABC；∴S△BDF＝S△ABF， ∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故结论④错误．故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形中相似三角形与全等三角形的应用，有一定的难度．对每一个结论，需要仔细分析，严格论证；注意各结论之间并非彼此孤立，而是往往存在逻辑关联关系，需要善加利用． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断与性质，过F作于G，交于H，利用正方形的性质以及等角对等边可得出，设，则，，证明，利用相似三角形的性质可求出x，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过F作于G，交于H， ， ∵正方形的边长为3，∴，，∴，∴，∴， ∵，，，∴，， ∴，∴，设，则，， ∴，解得，∴．故选：A． 6．（23-24四川省巴中市九年级上学期期末数学试题）如图，在中，，点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结，给出以下几个结论：①；②；③点是的中点；④．其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据同角的余角相等可得∠ABG=∠BCD，然后再利用“角边角”证明△ABG和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=BD，然后求出AG=BC，再求出△AFG和△CFB相似，然后根据相似三角形的性质可得，即①正确；由△ABG和△BCD全等，可得∠G=∠BDC,AG=BD，然后再证明△AFG≌△AFD，最后运用全等三角形的性质即可证明②正确；先说明FG=FB,再根据EF=BE，即可说明③错误；根据相似三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得AC=AB，然后整理即可得AF=AB，即④正确． 【详解】解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，∴∠ABG=∠BCD. 在△ABG和△BCD中，∠ABG=∠BCD、 AB=BC、∠BAG=∠CBD=90°∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG=BD， ∵BD=AB∴AG=BC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴AG⊥AB，AG//BC，∴△AFG∽△CFB， ∴，即①正确；∵△ABG≌△BCD∴∠G=∠BDC,AG=BD ∵AD=DB∴AG=AD∵AB=BC, ∠ABC=90°，∴∠CAB=45°∵∠BAG=90°∴∠GAF=45°∴∠GAF=∠CAB 在△AGF和△ADF中，AG=AD、∠GAF=∠CAB、AF=AF∴△AFG≌△AFD（SAS）， ∴，即②正确；∵△AFG∽△CFB∴∴FG=FB ∵FE≠BE，∴点F是GE的中点不成立，故③错误； ∵△AFG∽△CFB∴∴∵AC=AB ∴AF=AB，故④正确；综上，①②④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定方法和相似三角形的性质是解答本题的关键． 7．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律．∴，∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，∴，故答案为： 8．（2024·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ． 【答案】1或2 【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案． 【详解】设BP=x，则PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C， ∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB， ∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴， 解得：x1=1，x2=2，∴BP的长为1或2，故答案为：1或2 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键． 9．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在等边中，，，E，F分别为边，上的点，将沿所在直线翻折，点A落在边上的G点，得到三角形，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点G作于点M，过点F作于点N，由已知条件及翻折的性质可知，可得，，，，，设，则，在中，由勾股定理可求出x值，即可得，，证明，则，可得和，在中，可得，利用三角形面积公式直接求的面积即为的面积． 【详解】解：过点G作于点M，过点F作于点N．    ∵为等边三角形，，，∴，，， 由翻折可知，，，在中，，， ∴，，设，则， 在中，由勾股定理可得，， 解得，∴，， ∵，∴， 又∵，∴，∴，即，解得，∴， 在中，，∴， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 10．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°．（1）求证：；（2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）， ，， 在和中，，； （2）在中，，， ，，由（1）已证：， ，即，解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 11．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD ； （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴，∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 12．（23-24九年级·吉林·期中）感知：如图①，∠C=∠ABD=∠E=90°，可知△ACB∽△BED．（不要求证明） (1)拓展：如图②，∠C=∠ABD=∠E．求证：△ACB∽△BED． (2)应用：如图③，∠C=∠ABD=∠E=60°，AC=4，BC=1，则△ABD与△BDE的面积比为 　 　． 【答案】(1)拓展：见解析；(2)应用：13：3； 【分析】拓展：由∠C=∠ABD=∠E与∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB=∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED． 应用：由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与△ABE的面积比，继而求得答案． 【详解】（1）证明：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，∴∠CAB=∠DBE， ∵∠C=∠E，∴△ACB∽△BED； （2）解：∵∠ABE=∠C+∠CAB，∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠C=∠ABD，∴∠CAB=∠DBE， ∵∠C=∠E=60°，∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形， ∴AE=AC=4，∴BE=CE﹣BC=3，∴△ACB与△BED的相似比为：4：3， ∴S△ABC：S△BED=16：9，S△ABC：S△ABE=1：3=16：48， 设S△ABC=16x，则S△ABE=48x，S△BDE=9x ∴S△ABD=S△ABE﹣S△BED=48x﹣9x=39x，∴S△ABD：S△BDE=39：9=13：3．故答案为13：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质、外角性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·成都市·期中）如图，为正三角形，分别为上的点（不在顶点），．(1)求证：；(2)若正的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）结合等边三角形的性质和三角形外角的性质可得，，即可证明结论； （2）首先根据题意可知，再结合可得，然后代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵为正三角形，∴， ∵， 又∵，∴，∴； （2）解：∵正的边长为6，， ∴，∴， ∵，∴，即，解得． 14．（2024·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____；(2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长；(3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识， 添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．（1）证明，则，，即可得到结论；（2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可；（3）延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形，．，， 又，∵，∴， ，，，．故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ．为等边三角形，， ∵，，∴， ∴，∴，． 设，则，， ，解得（负值已舍去）．∴， 过点M作于点D，在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则，连接交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形， ，， ∴，为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ，即，解得，（舍去），． ，，， ∴． 15．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，，．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作，交AB于点F． (1)求证：；(2)如图2，连接CF，过点B作，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求的最小值；②当取最小值时，求线段DE的长． 【答案】(1)见解析(2)①5；②或 【分析】（1）证明出即可求解； （2）①连接AM．先证明．确定出点G在以点M为圆心，3为半径的圆上．当A，G，M三点共线时，．此时，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，则问题得解．②先求出AF，求AF的第一种方法：过点M作交FC于点N，即有，进而有．设，则，．再根据，得到，得到，则有，解方程即可求出AF；求AF的第二种方法：过点G作交BC于点H．即有．则有，根据，可得，进而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的结论可得．设，则，即有，解得解方程即可求出DE． (1)证明：如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴，∴． ∵，∴，∴，∴； (2)①解：如图2-1，连接AM． ∵，∴是直角二角形．∴． ∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上． 当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：， 当A，G，M三点共线时，． 此时，取最小值．在中，．∴的最小值为5． ②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作交FC于点N， ∴．∴． 设，则，∴． ∵，∴，∴， 由①知的最小值为5、即， 又∵，∴．∴，解得，即． （求AF的方法二）如图2-3，过点G作交BC于点H． ∴．∴，由①知的最小值为5，即， 又∵，∴．∴，． 由得，∴，即，解得． ∴．由（1）的结论可得． 设，则，∴，解得或． ∵，，∴或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 16．（2024·山东宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R放在直线上，分别过两锐角的顶点M，N作的垂线，垂足分别为P， Q， （1）如图1.观察图1可知：与NQ相等的线段是______________，与相等的角是_____ (2)问题探究直角中，，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH，如图2，过E，H分别作BC所在直线的垂线，垂足分别为K，L.试探究EK与HL之间的数量关系，并证明你的结论. (3)拓展延伸：直角中，，在AB边上任取一点D，连接CD，分别以AC，DC为边作矩形ACEF和矩形CDGH，连接EH交BC所在的直线于点T，如图3.如果，，试探究TE与TH之间的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(1)，，(2)，证明见解析；(3)，证明见解析． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，，根据余角性质得到，再证明，即可得到，； （2）证明，得到，再证明，得到，可得到； （3）证明，得到，证明，得到，得到，证明即可得到． （1）解：∵是等腰直角三角形，∴，， ∵，，∴， ∴，∴， 在和中，∴， ∴，，故答案为：，； （2）解：∵四边形ACEF是正方形，∴，， ∵∴，∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵四边形CDGH是正方形，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，∴，∴，， （3）解：过E作与M，过H作与N， ∵四边形ACEF是矩形，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， 同理：，∴，∴，∴， 在和中，∴，∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的性质，矩形的性质，余角的性质，（3）证明，是解题的关键． 17．（2023·湖南株洲·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG． （1）求证：；（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值； （3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时有？    【答案】（1）见解析；（2）当，有最大值；（3）当点E是AD的中点 【分析】（1）由同角的余角相等得到∠ABE=∠CBG，从而全等三角形可证； （2）先证明△ABE∽△DEH，得到，即可求出函数解析式y=-x2+x，继而求出最值． （3）由（2），再由，可得，则问题可证． 【详解】（1）证明： ∵∠ABE+∠EBC=∠CBG+∠EBC=90°∴∠ABE=∠CBG 在△AEB和△CGB中：∠BAE=∠BCG=90°，AB=BC ， ∠ABE=∠CBG∴△AEB≌△CGB （ASA） （2）如图 ∵四边形ABCD，四边形BEFG均为正方形  ∴∠A=∠D=90°, ∠HEB=90°    ∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90° ∴∠DHE=∠AEB ∴△ABE∽△DEH   ∴∴∴故当，有最大值 （3）当点E是AD的中点时有 △BEH∽△BAE． 理由：∵ 点E是AD的中点时由（2）可得   又∵△ABE∽△DEH ∴，又∵ ∴又∠BEH=∠BAE=90°∴△BEH∽△BAE 【点睛】本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式． 18．（2023秋·四川达州·九年级校考阶段练习）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．      问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论．（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明．（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】（1）延长过点F作，∵，，∴， 在和中∴，∴，， ∴，∴，∴．故答案为：．         （2）解：在上截取，使，连接． ，，． ，．． ，． ． （3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为， ．在中， ，．，由（2）知，． ．，，， 在上截取，使，连接，作于点O．由（2）知，，∴， ∵，∴，．∵，∴， ∵，∴．．    【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． 19．（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1，中，，，直线过点，过点、分别作于点，于点，则（不用证明）．    (1)【类比探究】如图2，在中，，且，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论． (2)【拓展延伸】①如图3，在中，，且，猜想线段、、之间有什么数量关系？并证明你的猜想． ②若图1的中，，，并将直线绕点旋转一定角度后与斜边相交，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点和点，请在备用图上画出图形，并直接写出线段、、之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）． 【答案】(1)成立，见解析 (2)①，见解析；②或 【分析】（1）易证，则有，，从而可得； （2）①易证，则有，从而可得，，即可得到；②同①可得，．由于直线在绕着点旋转过程中，点到直线的距离与点到直线的距离大小关系会发生变化，因此需分情况讨论（如图4、图，然后只需结合图形就可解决问题． 【详解】（1）猜想．理由：如图2，              ，． ，，． 在和中，，， ，，； （2）①猜想：．理由：如图3， ，． ，，． ，，， ，，； ②或．同①可得：，． 如图4，；如图5，． 【点睛】本题是一道探究题，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平角的定义等知识，考查了探究能力，渗透分类讨论的思想以及特殊到一般的思想，是一道好题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 $$