专题06 相似三角形重要模型之半角模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题06 相似三角形重要模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 63 模型1.半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB． 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①如图，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME， ②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断； ③先证明CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1-x，表示AC的长为AO+OC可作判断； ④如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AF=a，想办法求出BE，EC即可判断． 【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°． ∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME， ∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确， ∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确， 在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF． ∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H， ∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE=OF， Rt△CEF中，OCEFx，在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE． ∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴ACAO+OC， ∴1x，∴x=2，∴，故③不正确， ③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH． ∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线， 在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确， 如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa， ∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa， ∴BEa，∴ECaBC，故⑤正确．故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题． 例2．（2024·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，点E，F分别是边上的点，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】作于，设，解直角三角形得出，，从而推出，作于，作于，延长交于，证明出四边形为正方形，再证明，由相似三角形的性质得出，求出，结合正方形的性质得出，同理可得：四边形、为矩形，由矩形的性质得出，，再结合，求出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， 如图：作于， 则，设， 在中，，则，， 在，，则，∴， 作于，作于，延长交于，则， ∴四边形为矩形，∴， ∵，，∴， ∵，，∴， ∴，∴四边形为正方形， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 同理可得：四边形、为矩形，∴， ∴，∴，即， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 例3．（2023·浙江·九年级专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合． 【探究】求证：． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．(1)的值为______．(2)若，则MN的长为______． 【答案】(1)8(2) 【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论； 【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则； （2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案． 【详解】（1）∵△ABC为等腰直角三角形，，∴，同理，， ∵，， ∴，∴； （2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴，∵， ∴，∴，∴，故答案为：8； （2）∵，∴，∵， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】（1）过点作，且使得，连接，，证明，得到，，证明，得到，设，则，在中，根据勾股定理求解即可；（2）分两种情况：①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，根全等三角形的判定与性质和勾股定理求解即可；（3）作，且令，连接，，证明，得到，，推出，证明，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， 在中，，，解得：，； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，， ，， ， 在中，，即，解得：，； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，，，， ，在中，，即， 解得：，；综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ，，，， ， ，，， ，，， ，，，， ，， ， ，，，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并正确作出辅助线． 例5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交于点．    (1)如图，当，时，证明：； (2)如图，连接，射线与线段的延长线交于点，射线与线段的延长线交于点，当时，，设，，求与之间的函数关系式； (3)在（）的条件下，若，当为直角三角形时，求的长； 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【分析】（1）由得到，继而得到，进一步得到，即可证明 ；（2）通过角之间的关系可得到，，继而得到，即可证明，故得到，即有； （3）根据（2），分两种情况讨论，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，，， 在中，，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，∴， 在和中，， ∴； （2）解：在菱形中，，    即，∵，∴，∴，， ∵，∴，∴ ，∵，∴，∴， 在和中，， ∴，∴，即，∴； （3）解：当时，∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， 由（）知：，∴，当时，同理可得：， ∵，∴，∴，∴，∴或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 例6．（2024·福建厦门·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 【答案】(1)(2)①平行，② 【分析】（1）由正方形的性质结合已知条件得到，再根据对应边成比例即可求解； （2）①延长至点H，使得，连接，可得，则， 由点G为的中点，得到，可证明，再，则，由，得到，故，所以； ②过点作于点．过点作于点，则四边形为平行四边形，可得，可证明，四边形为平行四边形，则，设，则，同上可求，，故，解得：，则，因此，而，由代入数据即可求解． 【详解】（1）解：如图：∵四边形是正方形，∴，平分，∴， ∵，∴，又∵∴， ∴，∴∵，∴，∴； （2）解①：延长至点H，使得，连接，由（1）知，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，， ∵点G为的中点，∴，∵四边形是正方形， ∴，，而，∴， ∴，，∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ②解：过点作于点．过点作于点，， 又，四边形为平行四边形，，同上可得，， ∴， ∵，∴， ，，，， 又∴四边形为平行四边形，， 设，则，同上可求， ，，解得：， 则，由（2）得：，， ，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 例7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系； (2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度． 【答案】(1)(2)(1)中线段，，之间的等量关系还成立，证明见解析(3) 【分析】（1）证明得，，根据角平分线的性质得：，，相加可得结论；（2）延长到点H，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，再由，可得出，由定理可得，故，可得结论；（3）作辅助线，构建正方形，设，根据勾股定理列方程可得的长，从而得的长，最后由勾股定理可得结论； 【详解】（1）解：四边形是正方形，，，， ，平分，， 在与中，， ，，，，， 平分，平分，，，； （2）解：（1）中线段，，之间等量关系还成立， 证明如下：延长到点H，截取，连接， 在与中，， ，， ，，， ，即， 在与中，， ； （3）解：如图：取、的中点P、Q，连接交于点H，连接， ，，，，四边形是正方形， 在中，，，，， ，由（1）同理得：， 设，则，，在中，， ，解得，是的中点， ， ，，，， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 1．（2023·江苏宿迁·三模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】如图，过点E作交延长线于点F，过点F作交延长线于点G，作于H，由“AAS”可证，可得，，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作交延长线于点F，过点F作交延长线于点G，作于H，    ，，，， ，，， 在和中，，， ，，， ，，∴四边形是矩形， ，，，， ，，∴，∴，，故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，E、F为线段AB上两动点，且，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．以下结论错误的是（    ）    A． B．当点E与点B重合时， C． D． 【答案】C 【分析】A由题意知，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断； B如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得，四边形是矩形，进一步得到FG是的中位线，从而作出判断；C如图2所示，根据可证，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；D易证，根据相似三角形的性质可得，由题意知四边形是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到 ，依此即可作出判断. 【详解】解：由题意知，是等腰直角三角形，∴ ，故A正确； 如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴，    ∵，∴，∴，四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴FG是的中位线，∴，故B正确； 如图2所示，∵，∴． 将绕点C顺时针旋转至，则；    ∵，∴，∴． 在和中， ∴（），∴． ∵，∴，∴，即，故C错误； ∵，∵，∴， ∴ ，∴，由题意知四边形是矩形， ∴，∴ ， 即 ，∴， ∴，故D正确．故选C． 【点睛】此题是三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度． 3．（2024·广东东莞·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，可证得，从而得到，，进而得到，再由四边形内角和定理可得，，故①正确；再证明，可得，故②正确；再由，，可得，从而得到，故③正确；再证明，是等腰直角三角形，可得，从而得到，将绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得，再由勾股定理，可得故④正确，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，， ∵四边形是正方形，，，， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，，故①正确；∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，，故②正确； ∵，，∴， 又∵，，∴，故③正确； ∵，，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴， 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，， ∴，即是直角三角形， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， 故④正确；故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题． 4．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的．作添加恰当辅助线构造全等三角是解题关键．在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接，可证四边形是正方形，可得，，通过证明，，可得，，由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质求出． 【详解】解：在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接，四边形是矩形，， ，，， ，，，，，， ，，， 又，，， 在中，，， ，，故选：D． 5．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在矩形的边取一点E，将沿折叠，使得点A落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点G，交于点H，已知，当时，点G到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于 过作于 证明 可得 再求解 设 则 利用勾股定理求解 再证明 可得 求解 利用勾股定理求解 再证明 由 从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于 过作于 矩形， 平分， 设 则 经检验：不合题意，舍去， 由折叠可得： 经检验：符合题意， 由折叠得： 平分 由 即点G到直线的距离为故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键． 6．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明得，代入数据即可求解． 【详解】解：∵和为等腰直角三角形，∴． ∵，∴，∴， ∵，5，∴，∴．故答案为：． 7．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知如图，在正方形中，，E，F分别是，上的一点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点B作，交于点M，则以下结论：①，②，③，④中正确的是 ．    【答案】①②④ 【分析】证明，得出，根据，可判定①正确；根据，，得出，设，则，，在中，根据勾股定理得出求出，即可判断②和③；根据相似三角形的判定和性质得出，得出 ，求出，即可求出，判定④正确． 【详解】解：∵四边形为正方形，∴， ∵将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，∴， ∴，，，∴点B、G、C三点共线， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵∴，故①正确； ∵，，∴，设，则，， 在中，解得：， 即，故②正确，③错误； ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故④正确； 综上分析可知，正确的是①②④．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接．求证：； 求的值；若正方形的边长为5，，求的长． 【答案】见解析；； 【分析】（1）通过证明即可得出答案；连接，由四边形是正方形，可得，由条件证明即可得出即可求出的值； 由正方形的边长为5，，可得由（1）中结论可得故，结合、可得：，可证明利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】证明：四边形为正方形， 又， 连接，四边形是正方形．， ∵正方形的边长为5∴BD= ∴ 由得 由，同理得： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，灵活运用相似三角形的判定和性质，正方形的性质是解题的关键． 9．（2024·湖南怀化·九年级统考期末）如图,等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数. 【答案】（1）见解析；（2）∠DAE=110︒ 【分析】（1）根据AB=AC，求得∠ABD=∠ACE，再利用AB2=DB•CE，即可得出对应边成比例，然后即可证明．（2）由△ADB∽△EAC，得出∠BAD=∠E，∠D=∠CAE，则∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=∠D+∠BAD+∠BAC，很容易得出答案． 【详解】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE， ∵AB2=DB•CE∴， ∵AB=AC，∴∴△ADB∽△EAC． （2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD=∠E，∠D=∠CAE， ∵∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE，∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC， ∵∠BAC=40°，AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠D+∠BAD=70°， ∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC=70°+40°=110°． 【点睛】本题主要考查三角形相似.熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键. 10．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知中，，，点、在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据已知条件得出，，又，根据两边成比例夹角相等证明，根据相似三角形的性质即可得证；（2）过点作于点，勾股定理求得，由（1）可知，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，∴ ∵∴，又∵，∴， ∴，即； （2）解：如图，过点作于点，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∵，，∴ ∵，∴，，， ∵，∴，在中，， 由（1）可知∴， 设，∴解得：，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（2023江苏九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长； （2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ． 【答案】（1）△ECF的周长为20；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用题中条件证明EB＝EH，FD＝FH，即可解决问题； （2）通过计算求出CF、DF即可解决问题； （3）利用题中条件证明△APB∽△QPE，可得∠AEQ＝∠ABP＝45°即可解决问题. 【详解】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AHE中， ∵∠ABE=∠AHE=90°，AB=AH=10，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=HE，同理，DF=FH， ∴△ECF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20． （2）∵E是BC中点，∴BE=EC=EH=5，设DF=FH=x，则CF=10﹣x， 在Rt△ECF中，∵∠C=90°，∴EF2=EC2+CF2，∴52+（10﹣x）2=（5+x）2， 解得x=，即DF=，则CF=10﹣=，∴CF=2DF； （3）在△BPE和△APQ中，∠EBP=∠QAP=45°，∠BPE=∠APQ，∴△BPE∽△APQ， ∴=，即=，∵∠APB=∠QPE，∴△APB∽△QPE，∴∠QEP=∠ABP=45°， ∵∠EAF=45°，∴∠QEA=∠QAE=45°，∴AQ=EQ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知点P在矩形外，，，点E，F分别在，上运动，且，连接． (1)求证：；(2)当时，①求的值；②若，求的长．    【答案】(1)见详解(2)①；② 【分析】（1）先由，，得到，进而得到，然后结合得到，最后得证； （2）①由，得到的值，然后结合得到，进而得到和的关系，和的关系，最后得到的值； ②由①知，，根据三角函数可得的长，再利用矩形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：①∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，，∴； ②由①知，，∵，∴， 在中，，∴，∵四边形是矩形，∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 13．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①BE+DF=EF，②将△ADF绕A点顺时针旋转90°(2)EF=DF+BE，理由见详解(3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证△ADF≌△ABG，再证△AEF≌△AEG，即可得出结论；②在①的基础上，证明∠GAF=90°即可得解；（2）延长CB至点M，使得BM=DF，连接AM，先证△ABM≌△ADF，再证△MAE≌△FAE，即可得出结论；（3）过E点作EN⊥AC于N点，设EC=x，则有x＜6，即BE=6-x，分别在Rt△ABE和Rt△ADC中，表示出和求出AC，再证△AEN是等腰直角三角形，即可得，则有，再证Rt△ABC∽Rt△ENC，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出CE． 【详解】（1）①BE+DF=EF，理由如下： 沿着小明的思路进行证明，在正方形ABCD中，有AD=AB，∠D=∠ABC=90°，即有∠ABG=90°， ∵BG=DF，AD=AB，∠D=∠ABG=90°，∴△ADF≌△ABG，∴AF=AG，∠DAF=∠BAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF， ∵AF=AG，AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EG=EF， ∵EG=BG+BE，BG=DF，∴EF=BE+DF，结论得证； ②将△ADF绕A点顺时针旋转90°即可得到△ABG． 理由如下：在①已经证得△ADF≌△ABG，并得到∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF， ∴∠GAF=∠EAG+∠EAF=45°+45°=90°，∴将△ADF绕A点顺时针旋转90°即可得到△ABG； 故答案为：①BE+DF=EF，②将△ADF绕A点顺时针旋转90°； （2）EF=DF+BE，理由如下：延长CB至点M，使得BM=DF，连接AM，如图， ∵∠ABC与∠D互补，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠ABM=180°，∴∠ABM=∠D， ∵AB=AD，BM=DF，∴△ABM≌△ADF，∴∠DAF=∠BAM，AM=AF， ∵∠EAF=∠BAD，∴∠BAE+∠FAD=∠BAD，∴∠BAE+∠FAD=∠EAF， ∵∠DAF=∠BAM，∴∠BAM+∠BAE=∠EAF，∴∠MAE=∠EAF， ∵AM=AF，AE=AE，∴△MAE≌△FAE，∴ME=EF， ∵ME=BE+MB，MB=DF，∴EF=DF+BE，结论得证； （3）过E点作EN⊥AC于N点，如图， ∵AD=6，AB=4，∴在矩形ABCD中，AD=BC=6，AB=DC=4，∠D=∠B=90°， ∴设EC=x，则有x＜6，∴BE=BC-EC=6-x，在Rt△ABE中，， 在Rt△ADC中，， ∵∠CAE=45°，EN⊥AC，∴∠ANE=90°=∠ENC，∴∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形， ∴，∴，即： ∵∠ENC=90°=∠B，∠ACB=∠ECN，∴Rt△ABC∽Rt△ENC，∴， ∵AB=4，AC=，EC=x，∴，∴， ∵，∴，∴结合x＜6，解得x=5.2，∴CE=5.2． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 14．（2023·江苏·模拟预测）（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 　 　； （2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点，求证：； （3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．    【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）证明，可得出和的数量关系，即可得出结论； （2）根据正方形的性质可证明和，即可证明； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，利用，证明，，再证明是直角三角形即可． 【详解】解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，，，， ，、、三点共线， 在和中，，，， ∵，； （2）如图，由（1）知：，，       又四边形是正方形，，，， 是正方形的对角线，， ，， 又，， 又，； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图， ，又，，，，， 四边形是菱形，，，， ，，，， ，， ，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②(2)(3)不发生变化， 【分析】（1）①由正方形可得，，，，再由可得，，从而得出为等腰直角三角形，可得，最后可得结论；②连接交于点，则，证明，最后进行计算即可；（2）连接，证明，即可解决问题；（3）连接，过点E作于点W，由（2）知，可得，再证为等腰直角三角形，即，则，即点W与点Q重合，即有为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：正方形， ，，，， ，，， 为等腰直角三角形，，． 在和中，． ②如图，连接交于点，则， ，，由①知，，， 又，， 在和中，．  ， ，． （2）如图，连接，，，      又，，  ． （3）不发生变化，理由如下： 如图，连接，过点E作于点W， 由（2）知，，    又，，∴， 为等腰直角三角形，即，，即点W与点Q重合， 为等腰直角三角形，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，．点，在上，且，探究线段的数量关系． 如图2，小鹏在探索过程中发现，这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系，于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中，进而探索其数量关系，联想到近期学的旋转变换，小鹏同学给出如下探索思路：过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接，通过证明三角形全等，得出对应的线段相等，进而将线段的数量关系转化为与的数量关系．请你根据小鹏的解题思路，写出证明过程． 【学以致用】（2）如图3，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】（1）结论：，理由见详解；（2） 【分析】（1）由小鹏的操作过程得知，，先证，再证，得出在中运用勾股定理即可求解； （2）作，且使，证明，得出，，再证明，得出，过点作交的延长线于点，得出，，，在中，运用勾股定理求解； 【详解】（1）结论：． 证明：如图，由小鹏的操作过程得知，， 又∵． 又∵， 在中，， （2）解：如图，作，且使， ∵，∴．∴． ∵，∴． ∴， 在和中，∵．∴． ∵．∴． ∴，得．过点作交的延长线于点， 则，∴． ∴． 在中，．∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是构建正确的辅助线． 17．（2024·河北·九年级校联考阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，． (1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______； (2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；②如图2，若，求的长；③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）． 【答案】(1)(2)①见解析；②；③的长为或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，证明∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即；（2）①根据两角相等的两个三角形相似证明； ②根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质计算即可； ③分点N在线段上、点N在线段的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质计算得到答案． 【详解】（1）解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ∴∽，∴， ∴阴影部分的面积与的面积比为，故答案为：． （2）解：①证明：∵，，∴∽； ②解：在中，，，则，∴， ∵，，∴， ∵，∴∽，∴，即,解得：； ③解：如图2，当点N在线段上时，由②可知：∽， ∴，即解得：，∴， 如图3，当点N在线段的延长线上时， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是 18．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴___①___．∴． 又∵，∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．        【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，， ∴①．∴． 又∵，∴在中，②． ∵，，∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．       由旋转的特征得． 由题意得，∴． 在和中，，∴．∴． 又∵为正方形的对角线，∴． ∵，∴． 在和中，， ∴，∴． 在和中，，∴．∴． 在中，，∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点， 将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则． 则，， ，， 在和中，，∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴，，， 是等腰直角三角形，， ，，，， 在中，，，∴， 即，又∴， ∴，即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．    由旋转的特征得． ，，，即， 在和中，，，， ，，又，， ，，， ，即，， 同理可得．， ，， 又∵，∴四边形为矩形． ，， 在中，．，解得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形重要模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 63 模型1.半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB． 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 例2．（2024·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，点E，F分别是边上的点，，，，，则的长是 ． 例3．（2023·浙江·九年级专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合． 【探究】求证：． 【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．(1)的值为______．(2)若，则MN的长为______． 例4．（2024·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 例5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，已知在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交于点．    (1)如图，当，时，证明：； (2)如图，连接，射线与线段的延长线交于点，射线与线段的延长线交于点，当时，，设，，求与之间的函数关系式； (3)在（）的条件下，若，当为直角三角形时，求的长； 例6．（2024·福建厦门·二模）如图，在正方形中，分别是上的点，且，分别交于点，连接．(1)若，求的值；(2)点是的中点，如图②．①连接，判断与的位置关系，并说明理由；②当时，求的面积． 例7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系； (2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度． 1．（2023·江苏宿迁·三模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，，，E、F为线段AB上两动点，且，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．以下结论错误的是（    ）    A． B．当点E与点B重合时， C． D． 3．（2024·广东东莞·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 5．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在矩形的边取一点E，将沿折叠，使得点A落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点G，交于点H，已知，当时，点G到直线的距离为 ． 6．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则 ． 7．（23-24九年级上·广东东莞·期中）已知如图，在正方形中，，E，F分别是，上的一点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点B作，交于点M，则以下结论：①，②，③，④中正确的是 ．    8．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接．求证：； 求的值；若正方形的边长为5，，求的长． 9．（2024·湖南怀化·九年级统考期末）如图,等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE.（1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数. 10．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知中，，，点、在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 11．（2023江苏九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q．（1）求△CEF的周长； （2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF；（3）连接QE，求证：AQ=EQ． 12．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知点P在矩形外，，，点E，F分别在，上运动，且，连接． (1)求证：；(2)当时，①求的值；②若，求的长．    13．（2024·江西南昌·模拟预测）【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 14．（2023·江苏·模拟预测）（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 　 　； （2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点，求证：； （3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N．当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论．    15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、． (1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值； (3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由． 16．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，．点，在上，且，探究线段的数量关系． 如图2，小鹏在探索过程中发现，这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系，于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中，进而探索其数量关系，联想到近期学的旋转变换，小鹏同学给出如下探索思路：过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接，通过证明三角形全等，得出对应的线段相等，进而将线段的数量关系转化为与的数量关系．请你根据小鹏的解题思路，写出证明过程． 【学以致用】（2）如图3，在四边形中，，，，，求的长． 17．（2024·河北·九年级校联考阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，． (1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______； (2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；②如图2，若，求的长；③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）． 18．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，，∴． ∵，∴，即．∴． 在和中，，，，∴___①___．∴． 又∵，∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式． 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