专题06 相似三角形重要模型之半角模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题06 相似三角形重要模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 63 模型1.半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2．（2023·山东滨州·统考中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ． 例3．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，边、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）设，①若，求n；②直接写出n的取值范围． （3）你觉得的面积有最大值吗？有最小值吗？请说明理由． 例4．（2023·江苏无锡·九年级期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 ． 例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点． ①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长． ②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践：数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：． 例7．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．    【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________． （2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长． 1．（2024.湖北.九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ） A．2 B． C． D．3 2．（2024.重庆九年级期末）如图，等腰直角三角形，D､E是上的两点，且，过D､E分别作、，垂足分别为M、N，、交于点F，连接、．以下四个结论：①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2022·广东深圳·统考一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，点D、E在边上，，若，则的面积为（ ） A．20 B．24 C．32 D．36 6．（2023·安徽宿州·校考模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 ．（2）若，则 ． 7．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④BE2+DC2＝DE2；⑤BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是 （填序号） 8．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在矩形的边取一点E，将沿折叠，使得点A落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点G，交于点H，已知，当时，点G到直线的距离为 ． 9．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接．求证：； 求的值；若正方形的边长为5，，求的长． 10．（2023·上海·模拟预测）如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求证：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值． 11．（2023·河北邢台·九年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，E是射线BC上一点，且∠DAE=∠B．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：． (2)如图2，已知AB=AC=5，BC=8，点E在BC的延长线上，若，求CE的长． 12．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理，把绕点A逆时针旋转至，可使与重合. ，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得． (2)类比引申如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有． (3)联想拓展如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程． (4)思维深化如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长． 13．（2023·陕西西安·九年级校考期中）问题研究，如图，在等腰中，，点、为底边上的两个动点（不与、重合），且． （1）请在图中找出一个与相似的三角形，这个三角形是__________； （2）若，分别过点、作、的垂线，垂足分别为、，且、的反向延长线交于点，若，求四边形的面积； 问题解决（3）如图所示，有一个矩形仓库，其中米，米，现计划在仓库的内部的、两处分别安装监控摄像头，其中点在边上，点在边上．设计要求且，则的长应为多少米？ 14．（2024·广东·九年级校考期中）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN． 【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______． (2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 15．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题背景：如图1，在正方形中，点分别在边上，，求证：． 洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程． 证明：延长到点使，连接，正方形，， 在和中， 迁移应用：如图2，在正方形中，交于点，若，，求的长． 联系拓展：如图3，在矩形中，点分别在边上，，若，探究与的数量关系，并给出证明． 16．（2023·浙江杭州·九年级期中）已知正方形的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点E、F，连接．设． （1）如图1，当被对角线平分时，求a、b的值；（2）当是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索绕点A旋转的过程中，的面积是否发生变化？请说明理由． 17．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 18．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接；（2）求证：． 【问题拓展与应用】（3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形重要模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 63 模型1.半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 图1 图2 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 例1．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①如图，证明和，即可判断； ②利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断； ③如图，将绕点A顺时针旋转得到，证明，则，可作判断； ④设正方形的边长为，则， ，利用平行线分线段成比例求出，利用勾股定理求出，，即可判断． 【详解】如图，∵四边形是正方形，∴． ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴，故①正确， ∴，∴，∴是等腰直角三角形，故②正确， ③如图，∴将绕点A顺时针旋转得到，则，． ∵．∵，∴H、B、E三点共线， 在和中，，∴， ∴，故③正确，设正方形的边长为，则，， ∵，∴，∴ ， ∴ ，∴， ∴，故④正确．故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形． 例2．（2023·山东滨州·统考中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ． 【答案】 【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长． 【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x， ∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME=， ∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°， ∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA， ∴，∴，解得：x= ∴AF=故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 例3．（2023·浙江杭州·九年级期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，边、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）设，①若，求n；②直接写出n的取值范围． （3）你觉得的面积有最大值吗？有最小值吗？请说明理由． 【答案】（1），，选取其中一对进行证明见解析；（2）①；②；（3）不存在最大值，存在最小值，理由见解析 【分析】（1）根据题意找到，对于 找到两对对应角相等即可证明；（2）由 可以得到 进而得到对应边成比例，再由△ABC是等腰直角三角形，且BC=2得出AB=AC= ，把m，n代入可得mn=2即可得到结果；再由m，n的关系及m的取值范围即可得到n的取值范围；（3）作，根据题意求证出，根据 结合第二问用m，n表示DE代入化为含n的代数式找出最小值即可；当点D靠近点B或点E靠近点C时，△ADE的面积最大，但点D不与点B重合，点E不与点C重合，故面积不存在最大值． 【详解】解：（1）， 证明如下：∵两个全等的等腰直角三角形和，∴∠FAG=∠B=∠C=， ∵∴．∵∴ （2）①由（1）可知，则有．∴， 又∵是等腰直角三角形，且，∴，又， ∴，即，或．当时，． ②由题意：1<m<2，代入到mn=2中得：． （3）如图，作于H． ∵，∴， ∴， ∴．∴的面积存在最小值，最小值为． 当点D靠近点B或点E靠近点C时，的面积最大， ∵点D不与点B重合，点E不与点C重合，∴的面积不存在最大值． 【点睛】此题利用两个等腰直角三角形展开的对三角形相似及三角形面积相关知识的考查，有一定难度，熟练掌握三角形相似的判定及性质是关键． 例4．（2023·江苏无锡·九年级期中）如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接、，由，，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，求出的长度以及证明全等找出，设，则，在中利用勾股定理可得出，利用可求出x以及的值，此题得解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图， ∵，，∴，． 在中，，，∴， ∴，∴．∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形． ∵，∴， ∴． 在和中，，∴，∴． 设，则， 在中，，， ∴，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程是解题的关键． 例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点． ①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长． ②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或 【分析】（1）证，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可； （2）①连接，证，列出比例式，根据相似比即可求解；②分点H为AG中点和点N为EC中点两种情况，根据相似比，求出比值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ， ∵，∴△ABC是等边三角形，∴，， ，；，，，是等边三角形； （2）①连接，点是的中点，， ，，， 由（1）知，是等边三角形，，平分，， ，，即， ，， ②如图，当点H为AG中点时，即； ∵是的中点，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC, ∵，∴，即； 同理，如图所示，当点N为EC中点时， ON∥AE，； 连接FG，作FP⊥BC，交BC延长线与点P， ∵，，∴, ∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，， ∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG， 设EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，， ∵EN=CN=4，； 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关几何知识，构建几何模型证明相似或全等． 例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践：数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：． 【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形；（2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论；（3）证明即可得出结论；（4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形，为等腰三角形 （2）如图：将顺时针旋转， 由旋转的性质可得：，由（1）中结论可得 为正方形， 在和中 （3）为正方形对角线， ， （4）如图：将顺时针旋转，连接， 由（2）中的结论可证 根据旋转的性质可得：， 在中有 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 例7．（2024·山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．    【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________． （2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长． 【答案】（1）12；（2），见解析；（3）4 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，，证出，得出，可证，得出．证出．在中，由勾股定理得出，则，设正方形的边长为，则，，得出方程，解方程即可； （2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，由直角三角形的性质和平行四边形的性质可求，由勾股定理可求解； （3）延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，则四边形是正方形，得出，设，则，由平行线得出，求出，得出，由（1）得：，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形， ∴，.由旋转得， ∴，，，， ∴，∴E，B，N在同一条直线上. ∵，，∴， ∴，∴，∴. 在与中，∴，∴. ∵，∴，∴. 在中，由勾股定理得∴.∴； （2）三条线段，，之间满足的数量关系为，理由如下：         图（1）    如图（1），过点D作，且，连接，， 则，∴.∵四边形是正方形，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴. 在与中，∴，∴，. ∵，，∴ 在和中，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴； （3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则. ∵四边形是矩形，∴，∴，∴， ∴，∴， 设，则. ∵四边形是正方形，，∴由（1）中证明知，. 在中，由勾股定理得， 即，解得，∴的长为4． 1．（2024.湖北.九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】构造如图所示的正方形，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可． 【详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作，延长交于， ∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四边形CMPD是矩形，根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，， ∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴， ∴，四边形为正方形， ∴，∴， ，，，设,则， 在中，由可得解得；故选A． 【点拨】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键． 2．（2024.重庆九年级期末）如图，等腰直角三角形，D､E是上的两点，且，过D､E分别作、，垂足分别为M、N，、交于点F，连接、．以下四个结论：①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形AMFN是矩形，再证明AM＝AN，从而可判断①；利用SAS可判定△ABE≌△ACD，从而可判断②；在没有∠DAE＝45°时，无法证得DE'＝DE，故可判断③；由∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA可判定△ADE∽△CDA，从而可判定④． 【详解】解：∵DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，∴∠AMF＝∠ANF＝90°， 又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMFN是矩形；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝45°， ∵DM⊥AB，EN⊥AC，∴△BDM和△CEN均为等腰直角三角形， 又∵BD＝CE，∴△BDM≌△CEN（AAS），∴BM＝CN∴AM＝AN，∴四边形AMFN是正方形，故①正确； ∵BD＝CE，∴BE＝CD，∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠C＝45°，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正确； 如图所示，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABE'，则CE＝BE'，∠E'BA＝∠C＝45°， 由于△BDM≌△CEN，故点N落在点M处，连接ME'，则D、M、E'共线， ∵∠E'BA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠DBE'＝90°，∴BE'2＋BD2＝DE'2，∴CE2＋BD2＝DE'2， 当∠DAE＝45°时，∠DAE'＝∠DAM＋∠EAN＝90°−45°＝45°， ∵AE＝AE'，AD＝AD，∴△ADE≌△ADE'（SAS），∴DE'＝DE， ∴在没有∠DAE＝45°时，无法证得DE'＝DE，故③错误； ∵AB＝AC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∴当∠DAE＝45°时，∠ADE＝∠AED＝67.5°， ∵∠C＝45°，∴∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA， ∴，∴AD2＝DE•CD，故④正确．综上，正确的有①②④，共3个 故选：C． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 3．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将绕点A逆时针旋转，得到，则，，，可证得，从而得到，，进而得到，再由四边形内角和定理可得，故①正确；再证明，可得，故②正确；再由，可得，从而得到，故③正确；再证明，是等腰直角三角形，可得，从而得到，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，证明，可得，再由勾股定理，可得故④正确，即可求解． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，， ∵四边形是正方形，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，故①正确； ∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故②正确； ∵，∴， 又∵，∴，故③正确； ∵，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，， ∴，即是直角三角形， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，故④正确；故选A． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题． 4．（2022·广东深圳·统考一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】将顺时针旋转，使得AB与AD重合，此时得，将逆时针旋转，使得AD与AB重合，此时得，根据，即可求得，①正确；根据可得，即可求，即可得③正确；根据如图正方形构造直角坐标系，求出直线AE、AF、BD的解析式，再联立解析式，即可求得M、N两点的坐标，再根据坐标求出DN、MN、BM、AN、NE，即可知，则有，则有，，②正确；根据DN、MN、BM长度可知，④错误． 【详解】将顺时针旋转，使得AB与AD重合，此时得，将逆时针旋转，使得AD与AB重合，此时得，链接EF，如图所示： 为了方便计算，设正方形的边长为6，则有AB=BC=CD=AD=6， 则有BE=EC=3=DG，CF=4，DF=2=BH，，则有：HE=5=FG， 利用勾股定理，易求得：AH=AF=，AE=AG=，EF=5，BD=， 根据图形的旋转，可知，，∴， ∵ AH=AF，HE=5=FG，AE=AE，∴，同理可证得，∴， 又∵，∴，故①正确； ∵，，∴，同理可证， ∴，∴，故③正确； 以B为坐标原点O，AB所在的直线为y轴，以BC所在的直线为x轴，构建直角坐标系，则有A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，D点坐标为，F点坐标为，E点坐标为， 则直线AF的解析式为：，BD的解析式为，AE的解析式为， 联立：，得到N点坐标为：，同理的M点坐标为， 过M点作MP垂直于BC，交BC于P点，过N点作NQ垂直于DC，交DC于Q点， 则有MP=2，， 则有，， 则有， 则有：，故④错误； 根据N点坐标为：，A点坐标为：，E点坐标为：， 可得， 则在中，，∴，∴，故②正确；故选：A． 【点睛】本题考查了直角坐标系的构建、相似三角形以及坐标系中求解两点间距离等知识．准确作出辅助线并构建直角坐标系是解答本题的关键． 5．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，点D、E在边上，，若，则的面积为（ ） A．20 B．24 C．32 D．36 【答案】D 【分析】设，则，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】设，则， ， ． 设，则有以下等式：，，， 整理得， ， 解得， ， ， ， 故选：D． 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 6．（2023·安徽宿州·校考模拟预测）如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，交于点，交于点． （1）若正方形的边长为2，则的周长是 ．（2）若，则 ． 【答案】 4 【分析】（1）过作，交延长线于，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质证明和得到，进而推导出的周长为即可求解； （2）连接，证明和得到为等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：（1）过作，交延长线于，如图． 四边形是正方形，，，， ，， ，，， ，，又，，， 的周长 ， 正方形的边长为2，的周长为4，故答案为：4； （2）连接，，，， ，即，又， ，，， 为等腰直角三角形，即，， ，，，故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 7．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②；③△ABC的面积等于四边形AFBD的面积；④BE2+DC2＝DE2；⑤BE＝EF﹣DC；其中正确的选项是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可证明△AEF≌△AED； ②当△ABE∽△ACD时，该比例式成立； ③根据旋转的性质，△ADC≌△ABF，进而得出△ABC的面积等于四边形AFBD的面积； ④据①知BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断． ⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF；由此即可确定该说法是否正确． 【详解】解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，AD=AF． ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°， ∴∠EAF=45°，∴△AED≌△AEF；故本选项正确； ②∵AB=AC，∴∠ABE=∠ACD；∴当∠BAE=∠CAD时，△ABE∽△ACD， ∴；当∠BAE≠∠CAD时，△ABE与△ACD不相似，即； ∴此比例式不一定成立，故本选项错误；③根据旋转的性质知△ADC≌△AFB， ∴S△ABC=S△ABD+S△ABF=S四边形AFBD，即三角形ABC的面积等于四边形AFBD的面积，故本选项正确； ④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2． ∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD． 又∵EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，故本选项正确； ⑤根据①知道△AEF≌△AED，得CD=BF，DE=EF， ∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，即BE+DC＞FE，故本选项错误． 综上所述：正确的说法是①③④．故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，解题时注意旋转前后对应的相等关系． 8．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在矩形的边取一点E，将沿折叠，使得点A落在边上点F处，延长，与的角平分线交于点G，交于点H，已知，当时，点G到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于 过作于 证明 可得 再求解 设 则 利用勾股定理求解 再证明 可得 求解 利用勾股定理求解 再证明 由 从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于 过作于 矩形， 平分， 设 则 经检验：不合题意，舍去， 由折叠可得： 经检验：符合题意， 由折叠得： 平分 由 即点G到直线的距离为故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，角平分线的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键． 9．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接．求证：； 求的值；若正方形的边长为5，，求的长． 【答案】见解析；； 【分析】（1）通过证明即可得出答案；连接，由四边形是正方形，可得，由条件证明即可得出即可求出的值； 由正方形的边长为5，，可得由（1）中结论可得故，结合、可得：，可证明利用相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】证明：四边形为正方形， 又， 连接，四边形是正方形．， ∵正方形的边长为5∴BD= ∴ 由得 由，同理得： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，灵活运用相似三角形的判定和性质，正方形的性质是解题的关键． 10．（2023·上海·模拟预测）如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求证：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值． 【答案】(1)见解析(2)AC的值为1或2 【分析】（1）通过证明，可得，可得结论； （2）由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：证明：， ，即， 设，由， ，， 又，，， 即，． （2）解：作于点， 设，，，又，，， 又，，由勾股定理得，， 又，， ，，，的值为1或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似． 11．（2023·河北邢台·九年级统考期末）在△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，E是射线BC上一点，且∠DAE=∠B．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证：． (2)如图2，已知AB=AC=5，BC=8，点E在BC的延长线上，若，求CE的长． 【答案】(1)见解析(2)2 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，从而可得∠DAE=∠C，然后利用两角相等的两个三角形相似证明即可；（2）过点A作AM⊥BD，垂足为F，根据（1）的思路可证△DEA∽△DAC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得CM，从而可求出AM，进而求出DM，然后求出DC，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵AB=AC，， ，，，； （2）解：过A作AM⊥BC于M点， ∵AB=AC，BC=8，∴BM=CM=4， 又AB=5，∴AM=3，，， ，，， ，即，，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理，把绕点A逆时针旋转至，可使与重合. ，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得． (2)类比引申如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有． (3)联想拓展如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程． (4)思维深化如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长． 【答案】(1) ， (2)(3)，理由见解析(4)的长为或 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，再证明进而得到，即可证明结论； （2）时，与（1）的证法类同； （3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知得到、、、， ，根据中的，得到，所以，证，利用得到； （4）分两种情况：点D在边上或点D在的延长线上，①当点D在边上时，过点A作于点F，过点D作于点G，利用三角函数求出，再证明，运用相似三角形性质即可求出，再由可求得；②当点D在的延长线上时，过点A作于点F，过点D作于点G，与①同理可求得，再由求出即可． 【详解】（1）解：， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合．， ，，，， ，，点、、共线， 在和中，，， ，即：．故答案为：，； （2）解：时，，理由如下： ，如图:把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ，，， ，， ，，点、、共线， 在和中，，， ，即：．故答案为：； （3）解：猜想：．理由如下： 如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接， ，，，，， 在中，，， ，即，， 又，，，即， 在和中，，， ，； （4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，， 分两种情况：点在边上或点在的延长线上， ①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点， ，，，，， ，，，，，， ，，， ，，，， ，； ②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点， 由①知，，，，， ，，， ，， ，∽，， ，，．综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角函数定义、勾股定理的应用等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定和性质，合理添加辅助线并灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 13．（2023·陕西西安·九年级校考期中）问题研究，如图，在等腰中，，点、为底边上的两个动点（不与、重合），且． （1）请在图中找出一个与相似的三角形，这个三角形是__________； （2）若，分别过点、作、的垂线，垂足分别为、，且、的反向延长线交于点，若，求四边形的面积； 问题解决（3）如图所示，有一个矩形仓库，其中米，米，现计划在仓库的内部的、两处分别安装监控摄像头，其中点在边上，点在边上．设计要求且，则的长应为多少米？ 【答案】（1）；（2）四边形的面积为；（3）CE的长为米． 【分析】（1）根据已知条件及相似三角形的判定可直接得出； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接EH，根据旋转可得，利用三角形全等的性质得出，，，利用角和边之间的关系可得：为直角三角形，根据勾股定理及等量代换得出，根据全等三角形的判定得出≅，得，再求出各三角形的面积确定，再根据图形中三角形的关系得出，即可求得四边形面积； （3）根据（2）中思路，作图：延长AD到S，延长BC到G，使，连接SG，延长AF交SG于点H，连接EH，延长GS到T，使，连接AT，则四边形ABGS为正方形，根据全等三角形的判定定理得出≅，根据全等三角形的性质及等量代换得出，再利用三角形全等的判定证明≅，设，可得出，，，在根据相似三角形的判定和性质得出，将各边代入得出，，，在中，利用勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，∴，故答案为：； （2）如图所示：把绕点A逆时针旋转得到，连接EH， ∴，，∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴≅，∴，∴， ∵于点G，，∴， ∴，∴，∵， ∴，同理可得：， 在中，，∴，同理可得：， ∵，∴， ∴，即， ∵，∴，即四边形的面积为； （3）如图，延长AD到S，延长BC到G，使，连接SG，延长AF交SG于点H，连接EH，延长GS到T，使，连接AT，则四边形ABGS为正方形， ∴，， 在和中，，∴，， ∴，，∴， 在和中，，∴≅，∴， 设，则，，， ∵DFSH，∴，∴，即：， 解得：，∴=， ， ∴在中，， 解得：，（舍去），即CE的长为米． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的运用求解等，根据题意作出相应辅助线，融会贯通综合运用这些知识点是解题关键． 14．（2024·广东·九年级校考期中）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN． 【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______． (2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长． 【答案】(1)12(2)猜想：，理由见解析(3)4 【分析】（1）由旋转的性质可得△ABE≌△ADM， 易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．则可得MN+CM+CN=2BC，从而可求得正方形的边长； （2）过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP，可证明△APD≌△AEB，则可得AP=AE，∠EAP=90°；再证明△APF≌△AEF，可得EF=FP，在Rt△PDF中，由勾股定理即可得三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系； （3）把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GN．由△ABN∽△AEG，可求得EG、FG的长，设DM=x，则可得FM，由（1）的证明知，GM=EG+DM，由勾股定理建立方程即可求得x的值，即DM的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°．由旋转得：△ABE≌△ADM， ∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠EAB=∠MAD． ∴∠ABE+∠ABC=180°．∴E、B、N在同一直线上． ∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，∴∠BAN+∠MAD=45°． ∴∠BAN+∠EAB=45°．即∠EAN=45°．∴∠EAN=∠MAN． 在△ANM与△ANE中，∴△ANM≌△ANE．∴MN=EN． ∵EN=BE+BN=DM+BN， ∴MN=DM+BN．∴MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC． 在Rt△CMN中，由勾股定理得：， ∴10+8+6=2BC．∴BC=12．故答案为：12． （2）三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系为； 理由如下：如图②，过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP．　 则∠PDA+∠ADF=∠ADF+∠NDM=90°．∴∠PDA=∠NDM． ∵四边形ABCD是正方形，∴BN∥DM． ∵BN=DM，∴四边形BNDM是平行四边形．∴∠EBA=∠NDM．∴∠PDA=∠EBA． 在△APD与△AEB中，   ∴△APD≌△AEB．∴AP=AE，∠PAD=∠EAB． ∵∠EAP=∠EAD+∠PAD=∠EAD+∠EAB=∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠PAF=∠EAF=45°． 在△APF与△AEF中，∴△APF≌△AEF．∴EF=FP． 在Rt△PDF中，由勾股定理得：，即． （3）如图③，把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GN，则AE=EF=DF=AD=8． ∵四边形ABCD是矩形，∴BN∥EG．∴△ABN∽△AEG． ∴．∴．∴． 设DM=x，则FM=DF−DM=8−x，∵四边形AEFD是正方形，∠GAM=45°， ∴由（1）的证明知，．在Rt△GMF中，勾股定理得：， 即，解得：x=4即DM的长为4． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，综合性较强，证明三角形全等及由勾股定理得出方程是关键． 15．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题背景：如图1，在正方形中，点分别在边上，，求证：． 洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程． 证明：延长到点使，连接，正方形，， 在和中， 迁移应用：如图2，在正方形中，交于点，若，，求的长． 联系拓展：如图3，在矩形中，点分别在边上，，若，探究与的数量关系，并给出证明． 【答案】问题背景：见解析；迁移应用：；联系拓展： BE=2EC，理由见解析 【分析】问题背景：在已证明的前提下，利用全等三角形的性质，结合已知条件证明，可得到结论， 迁移应用：过点作交于点，连接，得到，利用全等三角形的性质与三角形内角和定理得到，利用问题背景的结论可得答案， 联系拓展：分别取的中点和，连接并延长交于点，连接， 构造出符合问题背景中的图形，利用问题背景的结论，结合勾股定理可得答案． 【详解】问题背景：证明：延长到点使，连接， 正方形，， 在和中， ． ，， 又， 在和中，，， ．又． 迁移应用：解：过点作交于点，连接， 正方形， ， 又， ， 由(1)知，．设，， 又，， 在中，， ，． 在中，． 联系拓展：解：，证明如下： 分别取的中点和，连接并延长交于点，连接， ，， ， 四边形是矩形， 又，设，， 四边形是正方形， ，由(1)知，． ，设，，， 在中，，， ，．． 【点睛】本题考查的是矩形，正方形的性质，构造三角形全等的模型证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决实际问题，对学习迁移的要求较高，熟练掌握基础知识，理解构造三角形全等是解题的关键． 16．（2023·浙江杭州·九年级期中）已知正方形的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点E、F，连接．设． （1）如图1，当被对角线平分时，求a、b的值；（2）当是直角三角形时，求a、b的值；（3）如图3，探索绕点A旋转的过程中，的面积是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，，；当时，，；（3）的面积不变，证明见解析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，由被对角线平分可得，从而可证≌，根据全等三角形的性质可得，然后根据角度关系可得，即可得到a、b的值； （2）由题意可知，分两种情况计算，①当时，首先根据题意得到是等腰直角三角形，再根据勾股定理得到,根据已知条件可得∽，根据相似三角形的性质得出，两式联立解方程组即可；②当时，方法和上面的方法一致，即可解答； （3）先利用平行线的性质和正方形的性质得到,再利用三角形的内角和得到,从而求出，而，得到∽，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求出的值，进而可知的面积是否变化． 【详解】（1）∵四边形是正方形，∴， ∵是正方形的对角线，∴，∴, ∵被对角线平分，∴， 在和中，，∴≌， ∴，，∵，，∴， ∵,∴，∵，,∴， ∵，∴,∴，即； （2）当是直角三角形时，①当时，∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴① ∵，,∴，∴∽， ∴，∴，∴②， 联立①②得，，，∴，； ②当时，同①的方法得，，，∴，； （3）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴∽∴， ∴，∴， ∵，∴，∴的面积不变． 【点睛】此题是四边形的综合题，本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断∽，也是本题的难点． 17．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．    【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三] 【分析】[探究一]证明，即可得证；[探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明。[探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】[探究一] ∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上， ∴，∴，∴， 在与中∴∴ [探究二]证明：如图所示，    ∵四边形是正方形，∴， 又，∴，∵，∴， 又∵，∴， 又∵公共角，∴； [探究三] 证明：∵是正方形的对角线， ∴，，∴， ∵，∴， 即，∴，∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．    ∴，，∴， 又，∴，∴， ∵，∴，又，∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 18．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）【问题发现与证明】 如图①，正方形中，分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中与可以看作绕点A旋转的关系．这可以证明结论“”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．    （1）延长到点，使___________，连接；（2）求证：． 【问题拓展与应用】（3）某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图②所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）元 【分析】（1）由于与可以看作绕点A旋转的关系，根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法；（2）先证明，得到，，结合，易知，再证明即可得到；（3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K，则， ，，利用F为中点，求出和，从而求出，再证明，得到，继而求出，最后用三角形面积公式求的面积和所需资金． 【详解】解：（1）根据旋转的性质知，从而得到辅助线的做法：延长到点G，使，连接；故答案是：； （2）∵四边形为正方形，∴，， 在和中 ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在和中∴， ∴，∴； （3）如图，分别过点E，F作于点N，于点M，取中点H，连接交于点K    ∵四边形是平行四边形∴，， ∵点H是的中点，点为边的中点，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∴， ∵F为中点，，∴， 又∵，∴ ∴∴ ∵，∴， ∴即∴∴ ∴∴ ∴需投入的资金为：(元) 答：该公园种植郁金香需要投入元资金 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转方法提示构造全等三角形和正确作出辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$