第10讲 相似三角形的应用及位似-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

第10讲 相似三角形的应用及位似 课程标准 学习目标 相似三角形的应用 位似 1.能够运用相似三角形的知识,解决不能直接测量物体长度和高度的一些实际问题. 2.了解图形的位似概念，会判断简单的位似图形和位似中心. 3.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题. 知识点01 利用相似三角形测量物体的宽度 利用相似三角形的性质进行测景时,只需将所测的对象与能测量得到的物休构成 的一对对应边，利用相似三角形的知识把已知和未知联系起来. 【即学即练1】 如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 知识点02 利用相似三角形测量物体的高度 测量无法到达顶部的物体的高度.通常利用“在同一时刻物体的高与 成比例”的原理解决. 【即学即练1】 《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为 ． 知识点03 位似图形的定义 一般地，取定一个点O,如果个图形G上每一个点P对应于另一个图形G’上的点 P’、且满足(1)直线 PP'经过点O,(2),、其中k是非零常数,当k>0时,点P’在射线OP上,当k<0时,点P’在射线OP的 上.那么称图形G与图形G’是位似图形,这个点O叫作位似中心,常数k叫作位似比. 性质:(1)对应点的连线都 于一点; (2)对应边互相 (或在同一直线上). 【即学即练1】 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 知识点04 画位似图形 步骤:(1)确定 O; (2) 连接图形各 与位似中心O (或延长) (3)按位似比进行取点; (4)顺次 各点,所得图形就是所求的图形. 【即学即练1】 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)用没有刻度的直尺作出关于点A的同向位似图形，且位似比为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的． 题型01 相似三角形应用举例 【典例1】1．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）m． A．18 B．8 C．8或18 D．10 【变式1】如图，在小孔成像问题中，，，若物体的长为，则像的长是 ． 【变式2】我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 【变式3】为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 题型02 相似三角形的综合问题 【典例1】如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【变式2】如图1所示，在正方形ABCD和正方形中，，连结． （1）问题发现：_________； （2）拓展探究：将正方形绕点A逆时针旋转，记旋转角为，连结，试判断：当≤ 时，的值有无变化?请仅就图2中的情形给出你的证明； （3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当三点共线时的长．    题型03 位似图形相关概念辨析 【典例1】如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【变式1】下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【变式2】如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三角形①、②的说法正确的是（    ） A．一定不相似，周长比为 B．一定位似，位似比为 C．一定相似，面积比为 D．一定相似，相似比为 【变式3】大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 题型04 求两个位似图形的相似似比、周长比或面积比 【典例1】如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2】在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【变式3】四边形 和四边形是位似图形，点 与点对应，点 与点 对应，点是位似中心，如果，，那么 ． 题型05 求位似图形的对应坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．    【变式3】在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ． 题型06 在坐标系中画位似图形 【典例1】如图平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请解答下列问题： (1)若与关于轴对称，则点的对称点点的坐标为 ； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的右侧，画出放大后的图形并直接写出点的坐标 ． 【变式1】如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C均在格点上，按下列要求完成作图． (1)以点A为位似中心，将放大3倍得到，请在网格中画出； (2)在线段上作点D，使得（要求：用无刻度的直尺，保留作图痕迹） 【变式2】如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，按下列要求完成作图， (1)以点A为位似中心，将放大3倍得到，请在网格中画出； (2)在线段上作点D，使得（要求：用无刻度的直尺，保留作图痕迹） 【变式3】如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 一、单选题 1．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度x，然先求出内孔的直径．现用一个交叉卡钳（和的长相等）去量，如果，且量得长为，那么零件的厚度为（   ）    A． B． C． D． 2．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 5．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 6．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 7．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 9．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 11．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 12．如图，用手电来测量古城墙高度的示意图，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，若，，且米，米，米，则该古城墙的高度约是 米． 13．如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 14．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 15．操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    17．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 18．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 三、解答题 19．8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 20．大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度． 21．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 22．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 23．已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于． (1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：； (2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论： (3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 相似三角形的应用及位似 课程标准 学习目标 相似三角形的应用 位似 1.能够运用相似三角形的知识,解决不能直接测量物体长度和高度的一些实际问题. 2.了解图形的位似概念，会判断简单的位似图形和位似中心. 3.理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际问题. 知识点01 利用相似三角形测量物体的宽度 利用相似三角形的性质进行测景时,只需将所测的对象与能测量得到的物休构成相似三角形的一对对应边，利用相似三角形的知识把已知和未知联系起来. 【即学即练1】 如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】30 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连结，延长交于H，先证，再根据相似三角形对应边成比例进行求解． 【详解】解：连结，延长交于H，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 知识点02 利用相似三角形测量物体的高度 测量无法到达顶部的物体的高度.通常利用“在同一时刻物体的高与影长成比例”的原理解决. 【即学即练1】 《周髀算经》中记载∶“偃矩以望高”，是指把“矩”(图中)的一边仰着放平，可以测量高度．如图，“矩”的一边紧贴地面，和旗杆均垂直地面．测得长，长，长，则旗杆的高度为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵和均为直角， ∴， ∴， ∵长，长，长， ∴， ∴． 故答案为：7． 知识点03 位似图形的定义 一般地，取定一个点O,如果个图形G上每一个点P对应于另一个图形G’上的点 P’、且满足(1)直线 PP'经过点O,(2),、其中k是非零常数,当k>0时,点P’在射线OP上,当k<0时,点P’在射线OP的反向延长线上.那么称图形G与图形G’是位似图形,这个点O叫作位似中心,常数k叫作位似比. 性质:(1)对应点的连线都相交于一点; (2)对应边互相平行(或在同一直线上). 【即学即练1】 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 知识点04 画位似图形 步骤:(1)确定位似中心O; (2) 连接图形各顶点与位似中心O (或延长) (3)按位似比进行取点; (4)顺次连接各点,所得图形就是所求的图形. 【即学即练1】 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)用没有刻度的直尺作出关于点A的同向位似图形，且位似比为； (2)画出绕点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了画位似图形和旋转图形，熟练掌握位似图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）找到位似中心点，把的三边作关于位似中心对应的放大2倍即可得； （2）先根据旋转的性质分别画出点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所作． ． （2）解：如图，即为所作． ． 题型01 相似三角形应用举例 【典例1】1．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）m． A．18 B．8 C．8或18 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ，， ， ， ，即， 解得：． 该古城墙的高度为． 故选：B 【变式1】如图，在小孔成像问题中，，，若物体的长为，则像的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，在小孔成像问题中可得，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，小孔成像问题可得， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：8． 【变式2】我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为 米． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】解：如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米， 故答案为：． 【变式3】为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为120米 【分析】本题考查了相似测量河的宽度（测量距离），过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：， 解得， ∴桥的长度为120米． 题型02 相似三角形的综合问题 【典例1】如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）存在， 或． 【分析】(1)把和分别代入反比例函数解析式中求出和，再代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式； (2)先求出C点和D点的坐标，再分情况讨论当时和当时求解即可． 【详解】解：(1)把代入反比例函数，得 反比例函数的表达式为． 点在图象上，，即 把，两点代入， 解得， 所以一次函数的表达式为． (2)由(1)得一次函数的表达式为 当时，，，即． 当时，，点坐标为，即， ． ，． 设点坐标为，由题可以，点在点左侧，则， 由可得： ①当时，，， 解得，故点坐标为； ②当时，，， 解得，即点的坐标为． 因此，点的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定等，属于综合题，熟练掌握各性质及解析式的求法是解决本题的关键． 【变式1】如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 【变式2】如图1所示，在正方形ABCD和正方形中，，连结． （1）问题发现：_________； （2）拓展探究：将正方形绕点A逆时针旋转，记旋转角为，连结，试判断：当≤ 时，的值有无变化?请仅就图2中的情形给出你的证明； （3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当三点共线时的长．    【答案】（1）；（2）无变化，理由见解析；（3）的长为或 【分析】（1）延长交BC于点E，到等腰直角三角形，根据两直角边相等可得出结果 （2） 先根据两个等腰直角三角形相似得出，根据这个条件可以得到△∽△，就可以得出结论。 （3）共线分两种情况，根据旋转角度的不同进行分类讨论。 【详解】（1）； 提示：延长交BC于点E，如图3所示． 则，△为等腰直角三角形 ∴ ∴． （2）无变化； 理由如下：连结AC、，如图4所示． ∵△ABC和△均为等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴△∽△ ∴ ∴当≤＜360°时，的值无变化； （3）的长为或． 提示：分为两种情况： ①如图5所示，连结AC． 在Rt△中，由勾股定理得： ∴ ∵ ∴； ②如图6所示， 此时 ∵ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形在与旋转图形的结合应用，重点是要清楚旋转过程中的角度变化。 题型03 位似图形相关概念辨析 【典例1】如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（    ） A．对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键． 根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可． 【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的， 所以这两张图片之间的关系是位似， 故选：D． 【变式1】下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 【变式2】如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三角形①、②的说法正确的是（    ） A．一定不相似，周长比为 B．一定位似，位似比为 C．一定相似，面积比为 D．一定相似，相似比为 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据勾股定理求出两个三角形的各边长，根据相似三角形的判定定理、性质定理以及位似图形的概念判断即可．掌握位似图形的概念、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得：三角形①的三边长分别为、、， 三角形②的三边长分别为、、， ∴三角形①与三角形②相似，且相似比为， ∴三角形①与三角形②的面积比为， ∵三角形①与三角形②的对应边不平行也不在同一条直线上， ∴三角形①与三角形②不位似， 故选：C． 【变式3】大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 题型04 求两个位似图形的相似似比、周长比或面积比 【典例1】如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若 ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．若对应点坐标分别为，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，勾股定理，相似三角形的性质，由勾股定理得 ， ，由位似的定义得，由相似三角形的性质，即可求解；理解位似的定义，掌握勾股定理，相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解： ，， ， ， ， 与位似， ， ； 故选：C． 【变式3】四边形 和四边形是位似图形，点 与点对应，点 与点 对应，点是位似中心，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，根据相似（位似）图形对应边的比等于相似比（位似比）即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为： ． 题型05 求位似图形的对应坐标 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为．若以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查坐标与位似，掌握以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标关系，是解题的关键．根据位似比等于相似比，分位似图形在原点的同侧和异侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：相似比为， 位似比为， 当位似图形在原点的同侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 当位似图形在原点的异侧时，点的对应点的坐标为：，即：； 综上：的坐标为或； 故选：B． 【变式1】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 【变式2】如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 【变式3】在平面直角坐标系中，点，A，的坐标分别为，，，与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是关于原点位似图形的性质，根据位似图形的面积比是相似比的平方解题即可． 【详解】解：与关于点位似，与A，与是对应顶点，且的面积等于面积的， 与的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为或， 即或， 故答案为：或． 题型06 在坐标系中画位似图形 【典例1】如图平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请解答下列问题： (1)若与关于轴对称，则点的对称点点的坐标为 ； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的右侧，画出放大后的图形并直接写出点的坐标 ． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】此题考查了位似图形的作图和关于坐标轴对称的点的特征． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数进行解答即可； （2）作出 的位似变换后的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：若与关于轴对称，则点的对称点点的坐标为， 故答案为： （2）如图，即为所求，点的坐标为， 故答案为： 【变式1】如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C均在格点上，按下列要求完成作图． (1)以点A为位似中心，将放大3倍得到，请在网格中画出； (2)在线段上作点D，使得（要求：用无刻度的直尺，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似变换和相似三角形的判定和性质，熟练网格的特征是解题的关键； （1）根据位似的性质作图即可； （2）取格点M、N，连接交于点D，则，则，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，点D即为所求， 【变式2】如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，按下列要求完成作图， (1)以点A为位似中心，将放大3倍得到，请在网格中画出； (2)在线段上作点D，使得（要求：用无刻度的直尺，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—位似图形，作图—格点作图，相似三角形的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据位似比找出对应点再连线即可； （2）取格点E，F，使，，且，连接，交于点D，则，所以，即点D即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，点D即为所作． 【变式3】如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：由（1）作图可得，，，． 一、单选题 1．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度x，然先求出内孔的直径．现用一个交叉卡钳（和的长相等）去量，如果，且量得长为，那么零件的厚度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出的值．根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为：， 故选：D． 2．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明是解题的关键．根据题意可证明得到，然后代入数值即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ， ，即， 故选：D 3．在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 4．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，先根据平行线的判定得到，再由平行的性质得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：D． 5．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：D． 6．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据可得相似比为，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴，且， ∴， ∴， 故选：C ． 7．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念、相似三角形的性质“对应点的连线都经过同一点；对应边平行”进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确，本选项不符合题意； B、与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误，本选项符合题意； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确，本选项不符合题意； D、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确，本选项不符合题意． 故选：B． 8．如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（   ）    A．cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点，    由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 9．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 11．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图． ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 二、填空题 12．如图，用手电来测量古城墙高度的示意图，将水平的平面镜放置在点P处，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，若，，且米，米，米，则该古城墙的高度约是 米． 【答案】8.3 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，再利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， ∴米． 故答案为：． 13．如图是一个常见铁夹的剖面图，表示铁夹的两个面，C是轴，，垂足为D，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】30 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，连结，延长交于H，先证，再根据相似三角形对应边成比例进行求解． 【详解】解：连结，延长交于H，如图， 在中，， 铁夹的剖面图是轴对称图形， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：30． 14．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 15．操场上有一棵树，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高，在阳光下他们测得一根长为的直立竹竿的影长是，此时，测得树的影长为，则树高为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了相似三角形的运用．熟练掌握相似三角形的对应边成比例，是解答此题的关键． 设这棵树的高度是x米，根据同一时刻的物高与影长成比例得出比例式，即可得出结果． 【详解】解：设这棵树的高度是x米， 根据题意得：， 解得：； 即这棵树的高度为11米． 故答案为：11． 16．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似定义及性质，等腰三角形性质等．根据题意得，再根据等腰直角三角形性质得到点的坐标，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵等腰直角和， ∴点的坐标为， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴，即， 故答案为：． 17．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴， 故答案为：． 18．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题关键求出正方形的边长．根据正方形的边长为和位似比求出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， 是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 三、解答题 19．8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】(1)飞虹塔的高度是42米 (2)飞虹塔的大致高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可根据相似三角形的性质进行求解； （2）设，则有，，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：飞虹塔的高度是42米； （2）解：设，则有，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：飞虹塔的大致高度为． 20．大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，他们在地面上立了两根高均为2米的标杆和，两杆之间的距离米，点G、C、B三点在同一直线上．小明从C处退行4米到点E处，他的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点在同一直线上；他再从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H三点也在同一直线上．请根据以上数据，计算大雁塔的高度． 【答案】大雁塔的高度为64米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，可证，，可得，，因为，推出，列出方程求出，由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：大雁塔的高度为64米． 21．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 22．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知中． (1)画出关于x轴对称的； (2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且与相似比为2，并写出的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， 【分析】此题考查的是作关于x轴对称的图形和作位似图形，掌握位似图形的性质是解决此题的关键． （1）分别找出A、B、C关于轴对称点，然后连接，如图所示， 就是所求三角形； （2）连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接，如图所示， 就是所求三角形，再结合的位置，可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∵， 与位似，且位似比为2， ∴． 23．已知正方形，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与重合，将此三角板绕点旋转时，两边分别交直线于． (1)当分别在边上时（如图1），将绕点顺时针旋转至，求证：； (2)当分别在边所在的直线上时（如图2），线段之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论： (3)在图3中，作直线交直线于两点，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)或，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，等腰直角三角板的性质可得，，根据旋转的性质可证，可得，根据即可求证； （2）分类讨论，第一种情况，当点在点左边，点在点下方，将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点，可得，再证，即可求解；第二种情况，当点在点右边，点在点上方，将绕点顺时针旋转得，同理，，可证，由此即可求解； （3）连接，运用勾股定理可得，，，根据三角形相似的判定和性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 根据直角三角板的性质可得，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，，，， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：或，理由如下， 第一种情况，当点在点左边，点在点下方，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴将绕点逆时针旋转得，连接，，交于点， ∴， ∴，，，， 根据等腰直角三角板可得，， ∴， ∴， ∴平分，且， ∴，且平分，即，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点右边，点在点上方，如图所示， 将绕点顺时针旋转得， 同理，， ∴， 根据等腰直角三角版可得，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，则， 在中，， ∴， 由（2）中可得，，且， ∴，即， 解得，， ∴在中，，且， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握上述知识，合理作出辅助线，图形结合，分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$