专题08 全等三角形模型之手拉手模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.全等模型--手拉手模型 1 35 模型1.全等模型--手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（23-24八年级下·四川泸州·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 例3．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 例4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 例5．（2024·湖南郴州·八年级校考阶段练习）在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上： ①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，直接写出你的结论． 例6．（2023·山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． (1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． (2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． (3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 例7．（2024·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 例8．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ； （2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变? （3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想. （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．30° D．45° 2．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在菱形中，，，点，分别为，上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度（　　） A．逐渐减小 B．恒等于3 C．先减小再增加 D．恒大于3 3．（23-24八年级上·上海·钱）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形；(2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 5．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接交于点F．(1)判断线段，的数量关系，并说明理由． (2)求线段与线段的夹角的度数． (3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）． 6．（2024·四川省渠县中学八年级期中）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ． (1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论；(2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由． 7．（2024·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点． (1)如图1，若，且，，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 8．（2024·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 9．（2024·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE； （2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由； 10．（2024·河北保定·八年级校考期中）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：；②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系；(2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 11．（2024·贵州黔东南·八年级校考期末）如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合． (1)求证：△ABD≌△CBF；(2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由； (3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由． 12．（2023·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 13．（2022·绵阳市·八年级专题练习）已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE．(1)将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE； (2)将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明；(3)在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝　 　． 14．（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)试说明：；(2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等．    15．（2024·山西八年级月考）综合与实践 特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接． 如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ； 拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 16．（2024·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE； （2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由； 17．（2023·江苏·八年级假期作业）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】(2)如图2，已知．①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 18.（2024·浙江杭州·八年级校考阶段练习）在中，且． (1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由； (2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1 模型1.全等模型--手拉手模型 1 35 模型1.全等模型--手拉手模型 将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（23-24八年级下·四川泸州·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（  ）个      A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；故①正确；③由得，加之，，得到，所以；故③正确；②根据③，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知④正确；⑤由，可得，可证是等边三角形，可知⑤正确；⑥过点C作于H，于G，得，则平分，进一步解答可知⑥错误． 【详解】解：①等边和等边， ，，，， 在和中，，，；故①正确； ③（已证），， （已证），，， 在与中，，，；故③正确； ②，，是等边三角形， ，，∴；故②正确； ④，， 等边，，∴，， ．故④正确； ，，又，是等边三角形，故⑤正确； ⑥如图，过点作于，于， ，，，平分，，， ∵，∴，∴，∴， 当平分，∴，∵，， ∴，∴，互相矛盾，⑥错误，故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 例3．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论；（3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC， ∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴或； (2)解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，∴（SAS），∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，，∴， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴； (3)解：图③结论：， 理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，∴， ∴（SAS），∴， ∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），    ∴，，∴， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例3．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系． （2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，证明见解析．（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD．证明见解析 【分析】（1）延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD（SAS），即可解决问题； （2）由△ACE≌△BCD，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE， ∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°， ∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD； （2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如图2中， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°， 由（2）可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°， ∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM=DM=ME，∴DE=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 例4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：． (3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，涉及、以及等判定方法， （1）利用“”证明即可作答； （2）结合（1）的结论，再利用“”证明即可作答； （3）分类讨论，第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，先证明，即有，，同理可证明：，再证明，可得，问题即可作答；第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，按照第一种情况作答即可． 【详解】（1）∵，，∴，∴， 又∵，，∴； （2）∵，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴，∴； （3）分类讨论：第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，，同理可证明：， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴， ∵，，，∴； 第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图， 同理可得：，，， ∵，∴，∴， ∴，∴；综上：与的面积比为 或者． 例5．（2024·湖南郴州·八年级校考阶段练习）在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上： ①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝ °； （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，直接写出你的结论． 【答案】（1）①90；②80；（2）①α+β＝180°，理由见解析；②图见解析，α+β＝180°或α＝β 【分析】、（1）①由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；②由等腰三角形的性质求出∠ABD＝∠ACB＝40°，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE＝40°，则可得出结论；（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90； ②∵∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB＝40°， ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝40°， ∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝40°+40°＝80°，故答案为：80． （2）①α+β＝180°， 理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β， ∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°． ②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE， ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°， 即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°， 如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE， ∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β； 综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键． 例6．（2023·山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上． (1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB． (2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF． (3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BD＋BF＝BE，理由见解析 【分析】（1）只需要证明△CAD≌△BAE得到BE＝CD，即可证明； （2）过点D作DG//AC，交AB于点G，然后证明△BDE≌△GDF得到BE＝GF，即可推出BE＋BD＝GF＋BG＝BF；（3）过点D作DG∥AC，交AB于点G，然后证明△BDE≌△GDF，得到BE＝GF，再由GF＝BF＋BG＝BF＋BD，即可得到BD＋BF＝BE． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE－∠BAD＝60°－∠BAD，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝60°－∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△CAD与△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴BE＝CD，∴BE＋BD＝CD＋BD＝BC，∵AB＝BC，∴BE＋BD＝AB； （2）证明：过点D作DG//AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵∠BDE＝∠BDG－∠EDG＝60°－∠EDG，∠FDG＝∠EDF－∠EDG＝60°－∠EDG，∴∠BDE＝∠FDG， 在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS）， ∴BE＝GF，∴BE＋BD＝GF＋BG＝BF； （3）BD＋BF＝BE，理由如下：过点D作DG∥AC，交AB于点G， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°， ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°， 又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG， ∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠FDE＝60°， ∵∠GDF＝∠GDB＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∠BDE＝∠EDF＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∴∠GDF＝∠BDE， 在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS），∴BE＝GF， ∵GF＝BF＋BG＝BF＋BD，∴BD＋BF＝BE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 例7．（2024·广东·八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)答案见解析；(2) AG=CE，AG⊥CE；(3) △ADE的面积=△CDG的面积 【分析】（1）利用SAS证明△ADG≌△CDE；（2）利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE；（3）△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，证明 △DPG≌△DNE，得到PG=EN，再利用三角形的面积公式分别表示出△ADE的面积，△CDG的面积，即可得到结论△ADE的面积=△CDG的面积. 【详解】（1）∵四边形ABCD与DEFG都是正方形， ∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE， ∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE； （3）△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°， ∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG， ∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面积=，△CDG的面积=， ∴△ADE的面积=△CDG的面积. 【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键. 例8．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ； （2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变? （3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想. （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 【答案】(1) BE=CD （2）线段BE与CD的大小关系不会改变 （3）AE＝CG，证明见解析 （4）这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析. 【分析】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件． 【详解】（1）线段BE与CD的大小关系是BE=CD；（2）线段BE与CD的大小关系不会改变； （3）AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中， ∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG． （4）这些结论可以推广到任意正多边形． 如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F． 【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接，则的度数为（    ） A．15° B．20° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】连接，证明为等边三角形，然后进一步证明≌△，得到，即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形，∴，； 在与中，∴≌△（SSS）， ∴，故选：C． 【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题．解题的关键是作辅助线；灵活运用旋转变换的性质、全等三角形的判定来分析、解答． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在菱形中，，，点，分别为，上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度（　　） A．逐渐减小 B．恒等于3 C．先减小再增加 D．恒大于3 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由，推出，判定，得到，于是得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级上·上海·钱）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤连接，则平分，其中，正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④⑤ 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键． ①根据即可证明；②根据即可证明，从而判断；③根据即可求出；④根据及可知为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知． 【详解】解：①∵和都是等边三角形 ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； ②∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，则； ③∵， 而， ∴， ∴， ∴； ④∵， ∴， 而， ∴为等边三角形； ⑤过C点作于H，于Q，如图 ∵， ∴， ∴平分； 故答案为：①③④⑤． 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 5．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图1，已知均为等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接交于点F． (1)判断线段，的数量关系，并说明理由． (2)求线段与线段的夹角的度数． (3)如图2，若点B，C，E不在同一条直线上，则（1）（2）中的结论_____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)成立 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟悉等边三角形的性质和三角形内角和定理． （1）根据等边三角形的性质证明，即可得出； （2）根据全等三角形的性质得出，结合三角形内角和定理即可求出； （3）用和（1）（2）同样的方法，即可解答． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解： ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：成立． 6．（2024·四川省渠县中学八年级期中）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点E，F分别在边AC，AB上，且AF=AE，连接BE，CF．M为FC的中点，连接AM ． (1)如图（1），试猜想BE和AM的关系，请写出你所得到的结论；(2)如图（2），将△AFE绕点A逆时针方向旋转90°，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），若将△AFE绕点A逆时针方向旋转后（0＜＜90），（1）中的结论是还成立吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)仍然成立，理由见解析(3)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）由已知可证，，由全等三角形的性质可得．在中，由，M为FC的中点，可得，通过等量代换，即有． （2）设，，通过已知条件及整式加法，可得，，，故有． （3）延长至点，使得，连接，证，则，，由已知得，，通过等量代换及平行线性质，推导得出，再证，可得． （1）解：，理由如下： 在与中，∵， ∴，∴． ∵，M为FC的中点，∴， ∵，∴． （2）解：（1）中的结论仍然成立，即，理由如下：设，， ∵M为FC的中点，∴，∵，∴． ∵，，，∴． ∵，，，∴．∵，∴． ∵，，，∴，∵，∴． （3）解：（1）中的结论仍然成立，即，理由如下： 延长至点，使得，连接， ∵M为FC的中点，∴， 在与中，∵， ∴，∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴，∴．由题意得，， ∵，∴． ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴． 在与中，∵， ∴，∴， ∵，∴，即． 【点睛】本题考查了综合运用全等三角形的判定及性质，探究线段之间的数量关系及旋转的性质，熟练掌握三角形全等证明的方法是解题的关键． 7．（2024·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点． (1)如图1，若，且，，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)(2)，证明见解析 【分析】（1）在射线上取一点，使得，证明，求出，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案； （2）证明，求出，倍长至，连接，PQ，证明，求出，在CF上截取FP＝FB，连接BP，易得为正三角形，然后求出，证，可得PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，则可得为正三角形，然后由得出结论． （1）解：如图1，在射线上取一点，使得， ∵，BC＝BC，∴（SAS）， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； （2）， 证明：∵，，∴△ABC是正三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠DBC＝60°， 又∵，∴（SAS）， ∴，∴，∴， 倍长至，连接，PQ， ∵CN＝QN，∠QNF＝∠CNM，NF＝NM， ∴（SAS），∴，∠QFN＝∠CMN， 由旋转的性质得AC＝CM，∴， 在CF上截取FP＝FB，连接BP， ∵，∴，∴为正三角形， ∴∠BPF＝60°，，∴， ∵∠QFN＝∠CMN，∴FQ//CM，∴，∴， 又∵，∴（SAS）， ∴PQ＝PC，∠QPF＝∠CPB＝60°，∴为正三角形， ∴，即． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，利用全等三角形转换线段和角的关系从而解决问题，属于压轴题． 8．（2024·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：，， 又，，， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 9．（2024·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE； （2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）有，ANBC且DN＝BE；（3）不成立，，理由见解析 【分析】（1）直接由“手拉手”模型推出，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）仿照（1）的过程判断出，然后根据全等三角形的性质证明即可； 【详解】证：（1）∵△ABC和△CEN均为等边三角形， ∴AC=BC，EC=NC，∠ACB=∠NCE=60°，∠B=60°， ∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠NCE=∠ACE+∠NCA， ∴∠ECB=∠NCA， 在△ECB和△NCA中， ∴△ECB≌△NCA(SAS)， ∴AN=BE，∠NAC=∠B=60°， ∵∠ACB=∠NAC=60°， ∴AN∥BC， ∴AN∥BC且AN＝BE； （2）有，AN∥BC且DN＝BE；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形CEMN均为正方形， ∴BC=DC，EC=NC，∠BCD=∠ECN=90°，∠B=90°， ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECN=∠ECD+∠DCN， ∴∠BCE=∠DCN， 在△BCE和△DCN中， ∴△BCE≌△DCN(SAS)， ∴BE=DN，∠CDN=∠B=90°， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADC+∠CDN=180°， 即：A、D、N三点共线， ∵AD∥BC， ∴AN∥BC， ∴AN∥BC且DN＝BE； 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，特殊平行四边形的性质等，理解基本图形的性质，掌握全等三角形以及基本性质是解题关键． 10．（2024·河北保定·八年级校考期中）在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE． (1)①如图1，求证：；②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系；(2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析(2)，理由见解析 【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论； （2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，即． 在和中，。∴． ②，理由如下：∵，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下： ∵，∴，即． 在和中，∴， ∴，∵，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键． 11．（2024·贵州黔东南·八年级校考期末）如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合． (1)求证：△ABD≌△CBF； (2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由； (3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AD⊥CF ，理由见解析 (3)△BGH是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）通过正方形的性质可以快速得到两个三角形全等 （2）由第一问的手拉手模型得到的三角形全等得到∠ADB=∠CFB，再通过对顶角得到∠BHF=∠PHD，最后通过互余的关系得出结论． （3）由第一问的全等得出∠BAD=∠BFC，进而得出△ABG≌△FBH，BG=BH，求出∠GBH=60°即可得出结论． （1） 由题意，得  AB=CB=DB=FB， ∠ABC=∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠CBD=∠DBF+∠CBD ， ∴∠ABD=∠CBF ， ∴△ABD≌△CBF． （2） AD⊥CF ，理由： ∵△ABD≌△CBF ， ∴∠ADB=∠CFB ，又∠DBF=90°， ∴∠CFB+∠BHF=90°， 又∠BHF=∠PHD ， ∴∠ADB+∠PHD=90°， 即∠APF=90°，∴AD⊥CF． （3） △BGH是等边三角形． 理由：∵△ABD≌△CBF ， ∴∠BAD=∠BFC ， ∵AB=FB ，∠ABG=∠FBG=90°， ∴△ABG≌△FBH ， ∴BG=BH ， 又∠GBH=360°-120°-90°-90°=60° ， ∴△BGH是等边三角形 【点睛】本题考查三角形全等中的手拉手模型的证明与运用，等边三角形的证明方法等，熟练掌握三角形全等的判定方法及等边三角形的判定方法是解题关键． 12．（2023·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现： 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________； （2）拓展探究： 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题： 如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示） 【答案】（1）90°，AD=BE；（2）AD=BE，AD⊥BE；（3） 【分析】（1）由已知条件可得，，进而根据∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB，可得∠ACD＝∠BCE，证明△ACD≌△BCE（SAS），即可求得AD=BE；∠BEC=∠CDA=135°； （2）延长交于点F，同理可得△ACD≌△BCE，设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α，根据∠ABE=45°+45°-α=90°-α，进而根据∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90°，即可求解； （3）延长BE交AD于点G，方法同（2）证明△ACD≌△BCE，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线和的夹角． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，∠CDE=45° ∴∠CDA=135° ∵∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BEC=∠ADC＝135°，AD＝BE ∴∠AEB=90° 故答案为：90°，AD＝BE （2）AD=BE，AD⊥BE，理由如下， 同理可得△ACD≌△BCE， 则AD=BE， 延长交于点F， 设∠FAB=α，则∠CAD=∠CBE=45°-α ∴∠ABE=45°+45°-α=90°-α ∴∠AFB=180°-∠FAB-∠ABE=180°-α-(90°-α)=90° ∴AD⊥BE （3）如图，延长BE交AD于点G， ∵和均为等腰三角形， ∴，， ∵∠ACB=∠DCE=α， ∵∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠CAD ∵ ∴∠CBA=∠CAB = ∴∠GAB+∠GBA=， ， ∴∠AGB=180°-(∠GAB+∠GBA) ， 即直线和的夹角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键． 13．（2022·绵阳市·八年级专题练习）已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接AE． (1)将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE； (2)将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE之间的数量关系，不需要证明； (3)在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝　 　． 【答案】(1)见解析(2)图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE(3)3或5 【分析】（1）根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE与△CBF全等，利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE与△CBF全等，利用全等三角形的性质解答即可； （3）根据（1）和（2）的结论，解答即可． 【详解】（1）证明：∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝EF+CF， ∴CE＝BE+AE； （2）解：图②结论为CE＝BE﹣AE，图③结论为CE＝AE﹣BE， 图②的理由如下： ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝EF﹣CF， ∴CE＝BE﹣AE， 图③的理由如下： ∵△BEF为等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴∠EBA+∠ABF＝60°， ∵∠MBN＝60°， ∴∠CBF+∠ABF＝60°， ∴∠EBA＝∠CBF， 在△ABE与△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴AE＝CF， ∵CE＝CF﹣EF， ∴CE＝AE﹣BE； （3）：在（1）条件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5； 在（2）条件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3， 综上所述，CE＝3或5， 故答案为：3或5． 【点睛】此题考查几何变换的综合题，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质和SAS证明△ABE≌△CBF． 14．（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)试说明：点A到边，所在直线的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明； （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，，根据全等三角形的性质可得，利用三角形面积公式可得，即可证明． 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）∵， ，， 又，， ， ， 即． （3）设点A到边，所在直线的距离分别为，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即点A到边，所在直线的距离相等． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 15．（2024·山西八年级月考）综合与实践 特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接． 如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ； 拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】，延长交于点G先证△FBC≌△EDC（SAS），可知，由∠DCE=90º，可得∠DEC+∠CDE=90º，可推出∠FDG+∠GFD=90º即可， 先下结论，，再证明，证法与（1）类似，延长交于点交于点．由四边形为矩形且AD=CD可得，可推出．由知．由可用等量代换得由三角形内角和得即可． 【详解】解：，延长交于点G， ∵四边形为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90º， 由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），， ∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º ， ， 理由如下：如答图，延长交于点交于点， ，四边形为矩形，， ，， ，矩形为正方形．， 在和中，．． ． ． 【点睛】本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法． 16．（2024·辽宁沈阳·九年级校考期中）（1）如图①，若在等边△ABC的边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在△ABC同侧作等边△CEN，连接AN．求证：ANBC且AN＝BE； （2）如图②，若把（1）中的“等边△ABC”改成正方形ABCD，同样在边AB上任取一点E（点E不与B重合），以EC为边在正方形ABCD同则作正方形CEMN，连接DN，请你判断图中是否有与（1）中类似的结论．若有，直接写出结论；若没有，请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）有，ANBC且DN＝BE；（3）不成立，，理由见解析 【分析】（1）直接由“手拉手”模型推出，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）仿照（1）的过程判断出，然后根据全等三角形的性质证明即可； 【详解】证：（1）∵△ABC和△CEN均为等边三角形， ∴AC=BC，EC=NC，∠ACB=∠NCE=60°，∠B=60°， ∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠NCE=∠ACE+∠NCA， ∴∠ECB=∠NCA， 在△ECB和△NCA中， ∴△ECB≌△NCA(SAS)， ∴AN=BE，∠NAC=∠B=60°， ∵∠ACB=∠NAC=60°， ∴AN∥BC， ∴AN∥BC且AN＝BE； （2）有，AN∥BC且DN＝BE；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形CEMN均为正方形， ∴BC=DC，EC=NC，∠BCD=∠ECN=90°，∠B=90°， ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∠ECN=∠ECD+∠DCN， ∴∠BCE=∠DCN， 在△BCE和△DCN中， ∴△BCE≌△DCN(SAS)， ∴BE=DN，∠CDN=∠B=90°， ∵∠ADC=90°， ∴∠ADC+∠CDN=180°， 即：A、D、N三点共线， ∵AD∥BC， ∴AN∥BC， ∴AN∥BC且DN＝BE； 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，特殊平行四边形的性质等，理解基本图形的性质，掌握全等三角形以及基本性质是解题关键． 17．（2023·江苏·八年级假期作业）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点 【问题解决】 (1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 (2)如图2，已知． ①当射线在内，求的度数 ②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数； 【答案】(1)见解析 (2)①②；的度数会变化，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案； （2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案； ②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出． 【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①在上取一点E，，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴； ②的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得，如图所示： 同理①的方法可证：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键． 18.（2024·浙江杭州·八年级校考阶段练习）在中，且． (1)如图（1），若分别平分，交于点C、B，连接．请你判断是否相等，并说明理由； (2)的位置保持不变，将（1）中的绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，相交于O，请你判断线段与的位置关系及数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)32 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，然后利用“角边角”证明与全等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）先根据证明，然后利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后证明，再根据三角形内角和定理可得，从而证明； （3）把四边形的面积分成与两个三角形，然后根据三角形的面积公式列式整理为四边形的面积等于，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴ ， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，．理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，以及旋转变换的性质，准确识图，找出三角形全等的条件是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 $$