专题10 点和圆、直线和圆的位置关系【四大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题10 点和圆、直线和圆的位置关系【三大题型】 三角形的外接圆与外心 1．（2023•西城区校级期中）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（　　） A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心 B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 2．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0） 3．（2023•密云区期中统考）如图，AD是△ABD的外接圆⊙O的直径，若∠ACB＝50°，则∠BAD等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．（2023•东城区校级期中）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝　 　． 5．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为　 　，⊙M的半径为　 　． 6．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是　 　． 7．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O是三角形ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E． （1）求证：∠BAD＝∠CAD； （2）若BC长为8，DE＝2，求⊙O的半径长． 8．（2023•朝阳区校级期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的直径； （2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE； （3）若BC＝5，CD＝4，求BE长． 切线的性质 9．（2023•朝阳区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 10．（2023•西城区校级期中）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 11．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径是1，点P是直线y＝﹣x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 12．（2023•西城区校级期中）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 　 　． 13．（2023•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C．若∠B＝60°，PA＝4．则AB的长为 　 　． 14．（2023•东城区校级期中）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 　 　． 15．（2023•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC． （1）求证：BC是∠ABE的平分线； （2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长． 16．（2023•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA、OA＝OB． （1）求证：∠ABC＝30°； （2）连接AD，若，求⊙O的半径． 17．（2023•朝阳区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，AE是⊙O切线，且AE⊥CD的延长线于点E． （1）求证：DA平分∠BDE； （2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． 18．（2023•西城区校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F． （1）求证：∠A+∠OFC＝90°； （2）若CE：EF＝3：4，BC＝12，则线段CF的长为 　 　． 19．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：EF⊥AB； （2）若∠C＝30°，EF，求EB的长． 20．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE． （1）求证：∠ABC＝2∠CAF； （2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM＝4，BE＝6，求AE的长． 三角形的内切圆与内心 21．（2023•西城区校级期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　） A．5步 B．6步 C．8步 D．10步 22．（2023•朝阳区校级期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化 23．（2023•东城区校级期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　 　． 24．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 点和圆、直线和圆的位置关系【三大题型】 三角形的外接圆与外心 1．（2023•西城区校级期中）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（　　） A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心 B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心 解：如图，连接OA、OB、OD． ∵O是△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∵四边形OCDE是正方形， ∴OA＝OB＝OE， ∴O是△ABE的外心， ∵OA＝OE≠OD， ∴O不是△AED的外心， 答案：B． 2．（2023•东城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（2，0） 解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴作图得： ∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 答案：C． 3．（2023•密云区期中统考）如图，AD是△ABD的外接圆⊙O的直径，若∠ACB＝50°，则∠BAD等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 解：∵AD是△ABD的外接圆⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ADB＝∠ACB＝50°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝40°， 答案：B． 4．（2023•东城区校级期中）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝　40°　． 解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴点A，B，C，D在⊙O上， ∵∠BCA＝50°， ∴∠ADB＝∠BCA＝50°， ∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°， 答案：40°． 5．（2023•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为　（3，3）　，⊙M的半径为　　． 解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0）， ∴BC的垂直平分线为直线x＝3， ∵OA＝OB， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y＝x， ∵直线x＝3与直线y＝x的交点为M点， ∴M点的坐标为（3，3）， ∵MB， ∴⊙M的半径为． 答案：（3，3），． 6．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是　　． 解：连接BD、OC，如图， ∵四边形BCDE为矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴BD为⊙O的直径， ∴BD＝2， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， 而OB＝OC， ∴∠CBD＝30°， 在Rt△BCD中，CDBD＝1，BCCD， ∴矩形BCDE的面积＝BC•CD． 答案：． 7．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O是三角形ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E． （1）求证：∠BAD＝∠CAD； （2）若BC长为8，DE＝2，求⊙O的半径长． （1）证明：∵AD⊥BC， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD； （2）解：连接OB，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OE＝r﹣2， ∵AD⊥BC， ∴BE＝CEBC＝4， 在Rt△OBE中，（r﹣2）2+42＝52， 解得r＝5， 即⊙O的半径长为5． 8．（2023•朝阳区校级期中）如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O． （1）求证：AB是⊙O的直径； （2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE； （3）若BC＝5，CD＝4，求BE长． （1）证明：连接BD， ∵AB＝CB，AD＝CD， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∴AB是⊙O的直径． （2）证明：∵∠E＝∠A，∠C＝∠A， ∴∠E＝∠C， ∴DC＝DE． （3）作DF⊥BC于点F，则∠CFD＝90°， ∵∠BDC＝90°，BC＝5，CD＝4， ∴BD3， ∵BC•DFCD•BD＝S△BCD， ∴DF， ∴CF， ∴BE＝CE﹣BC＝25， ∴BE长是． 切线的性质 9．（2023•朝阳区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 解：连接OC， ∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠COE＝90°， ∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝25°， ∴∠BAC＝∠CDB＝25°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝25°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE＝50°， 则∠E＝40°． 答案：A． 10．（2023•西城区校级期中）如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC．过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F．若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为（　　） A．2 B． C．4 D． 解：∵AB、AC为⊙O的切线， ∴AC＝AB， ∵FD、FC为⊙O的切线， ∴FD＝FC， 同理，ED＝EB， ∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝4， ∴AC＝AB＝2， ∴BCAB＝2． 答案：B． 11．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径是1，点P是直线y＝﹣x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP，则AP的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 解：∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，且OA＝1， ∴当OP最小时，PA最小， ∴当OP与直线y＝﹣x+2垂直时，OP最小， 如图，设直线y＝﹣x+2交x轴、y轴于点B、C， 则B（2，0），C（0，2）， ∴OB＝OC＝2， ∴BC＝2， ∴OPBC，即OP的最小值为， ∴PA的最小值1， 答案：B． 12．（2023•西城区校级期中）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD的度数等于 　20°　． 解：连接OA，如图， ∵AB切⊙O于点A， ∴∠OAB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠AOB＝40°， ∴∠ADC∠AOB＝20°， ∵AD∥OB， ∴∠OCD＝∠ADC＝20°， 答案：20°． 13．（2023•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C．若∠B＝60°，PA＝4．则AB的长为 　8　． 解：连接PO，OC，如图， ∵PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C， ∴PA＝PC，∠OAP＝90°， ∵OA＝OC， ∴PO⊥AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC⊥AC， ∴BC∥PO， ∵∠B＝60°，， ∴∠AOP＝60°， ∴∠APO＝30°， ∴PO＝2OA， 根据勾股定理可得，， 解得：OA＝4， ∴AB＝2OA＝8， 答案：8． 14．（2023•东城区校级期中）如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（﹣3，0），点B（0，），圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，令圆心P的横坐标为m，则m的取值范围是 　﹣5＜m＜﹣1　． 解：∵点A（﹣3，0），点B（0，）， ∴OA＝3，OB， ∴tan∠BAO， ∴∠BAO＝30°， 作⊙P′与⊙P″切AB于D、E， 连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB， 在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2， 同理可得，AP″＝2， 则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5， 故P横坐标m的取值范围为：﹣5＜m＜﹣1， 答案：﹣5＜m＜﹣1． 15．（2023•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC． （1）求证：BC是∠ABE的平分线； （2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长． （1）证明：∵DC是⊙O的切线， ∴OC⊥DC， ∵BE⊥DC， ∴OC∥BE， ∴∠OCB＝∠CBE， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC＝∠CBE，即BC是∠ABE的平分线； （2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝r+4， 在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即（r+4）2＝r2+82， 解得，r＝6， 则AB＝2r＝12． 16．（2023•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA、OA＝OB． （1）求证：∠ABC＝30°； （2）连接AD，若，求⊙O的半径． （1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥AC， ∴AC为⊙O的切线， ∵AB为⊙O的切线， ∴OA平分∠CAB， ∴∠OAC＝∠OAB， ∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAC， ∴∠CAB＝2∠B， ∵∠CAB+∠B＝90°， 即2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝30°； （2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△OAC中，∵∠OAC＝30°， ∴ACr， 在Rt△ADC中，（r）2+（2r）2＝（）2， 解得r或r（舍去）， 即⊙O的半径为． 17．（2023•朝阳区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，AE是⊙O切线，且AE⊥CD的延长线于点E． （1）求证：DA平分∠BDE； （2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． （1）证明：连接OA， ∵AE是⊙O切线， ∴∠OAE＝90°， ∵AE⊥CD， ∴OA∥DE， ∴∠OAD＝∠ADE， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∴∠ADE＝∠ADO， ∴DA平分∠BDE； （2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F， ∵AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长． ∴DF＝FCDC＝3，∠OFD＝90°， ∵∠OAE＝∠E＝90°， ∴四边形AEFO是矩形， ∴EF＝OA，AE＝OF＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝OA﹣3， 在Rt△OFD中，根据勾股定理得： OD2＝OF2+DF2， ∴OD2＝42+32， ∴OD＝5， ∴DE＝OA﹣3＝5﹣3＝2， 在Rt△AED中，AD2， ∴⊙O的半径为5，AD的长为2． 18．（2023•西城区校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F． （1）求证：∠A+∠OFC＝90°； （2）若CE：EF＝3：4，BC＝12，则线段CF的长为 　10　． （1）证明：如图，连接OC， ∵FC是⊙O的切线， ∴OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴∠OFC+∠COF＝90°， ∵OE⊥BC， ∴∠COF＝∠A， ∴∠A+∠OFC＝90°； （2）解：∵OE⊥BC， ∴CE＝BEBC12＝6， ∵CE：EF＝3：4， ∴EF＝8， ∴CF10． 答案：10． 19．（2023•西城区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F． （1）求证：EF⊥AB； （2）若∠C＝30°，EF，求EB的长． （1）证明：连接AD、OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， 又∵AB＝AC， ∴CD＝DB，又CO＝AO， ∴OD∥AB， ∵FD是⊙O的切线， ∴OD⊥EF， ∴FE⊥AB； （2）∵∠C＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠F＝30°， ∴OA＝ODOF， ∵∠AEF＝90°，EF， ∴AE， ∵OD∥AB，OA＝OC＝AF， ∴OD＝2AE＝2，AB＝2OD＝4， ∴EB＝3． 20．（2023•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，连接AE． （1）求证：∠ABC＝2∠CAF； （2）过点C作CM⊥AF于M点，若CM＝4，BE＝6，求AE的长． （1）证明：连接BD， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AF是⊙O的切线， ∴∠BAF＝90°． ∴∠1+∠BAC＝∠2+∠BAC＝90°． ∴∠1＝∠2． ∵AB＝BC， ∴∠ABC＝2∠1＝2∠2； （2）解：∵∠1＝∠2＝∠3，∠3＝∠4， ∴∠2＝∠4． ∵AB是直径， ∴CE⊥AE， ∵CM⊥AF，CM＝4， ∴CE＝CM＝4， ∵BE＝6， ∴AB＝BC＝BE+EC＝10． 在Rt△ABE中，． 三角形的内切圆与内心 21．（2023•西城区校级期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　） A．5步 B．6步 C．8步 D．10步 解： 如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°， ∴AB17， ∴S△ABCAC•BC8×15＝60， 设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC， 设内切圆的半径为r， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOCr（AB+BC+AC）＝20r， ∴20r＝60，解得r＝3， ∴内切圆的直径为6步， 答案：B． 22．（2023•朝阳区校级期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．13cm B．8cm C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化 解：由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP， ∴BD+CP＝BG+CG＝5， ∴AD+AP＝18﹣10＝8， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8， 答案：B． 23．（2023•东城区校级期中）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为　14　． 解：△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CF＝CE， ∴BD+CF＝BE+CE＝BC＝5， ∴△ABC的周长＝AD+DB+BC+CF+AF＝AD+AF+BC+（BD+CF）＝14， 答案：14． 24．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是 　7　． 解：由切线长定理得，BF＝BG，CM＝CG，DF＝DN，EN＝EM， ∴BF+CM＝BG+GC＝BC＝9， ∴AF+AM＝25﹣9﹣9＝7， △ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+DF+AE+EM＝AF+AM＝7， 答案：7． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$