专题15 抛物线中定点定值定线四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题15 抛物线中定点定值定线四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、抛物线中定点………………………………………………………………2 类型二、抛物线中定值 5 类型三、抛物线中定直线 8 类型四、抛物线中探索性、存在性问题 10 压轴能力测评（10题） 12 1.抛物线中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.抛物线中定值 （1）抛物线中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 3.抛物线中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 4.抛物线中探索性、存在性问题 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 类型一、抛物线中定点 例．已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3. （1）求的标准方程； （2）证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【变式训练1】已知抛物线C：（），直线交抛物线C于A，B两点，且三角形OAB的面积为（O为坐标原点）. （1）求实数p的值； （2）过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'.证明：直线P'Q经过定点，并求出定点坐标. 【变式训练2】已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，. （1）求抛物线的方程： （2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由. 类型二、抛物线中定值 例．已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为. （1）求p的值； （2）当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值． 【变式训练1】已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2. （1）求抛物线的方程. （2）若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由． 【变式训练3】已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且的面积为2． （1）求抛物线的方程． （2）若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M，证明：为定值． 类型三、抛物线中定直线 例．若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. （1）若，求直线的斜率； （2）设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【变式训练1】如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，． (1)求p和m的值； (2)点M，N在C上，且．过点A作，D为垂足，证明：证明Q在一条定直线上． 类型四、抛物线中探索性、存在性问题 例．在平面直角坐标系中，抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，焦点在直线上. (1)求抛物线C的方程； (2)若动直线与抛物线C交于A，B两点.在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 【变式训练1】已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为. （1）求； （2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由 【变式训练2】已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且． （1）分别求与的值； （2）点与点关于原点对称，点、是异于点的抛物线上的两点，且、、三点共线，直线、分别与轴交于点、，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 1．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接交抛物线C于点Q，则（     ） A． B． C．3 D．2 2．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（     ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 3．（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（     ） A． B．点在直线上 C．为直角三角形 D．面积的最小值为16 4．（多选）已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则（     ） A．以线段为直径的圆与直线相离 B．的最小值为3 C．为定值 D．当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点 5.抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则的准线方程为____________.；若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，直线MN恒过定点____________. 6．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为5，则C的标准方程为____________. ；若过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点.则=____________. 7．已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为． （1）求抛物线C的方程； （2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，且直线的倾斜角为，点到的距离为． （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，是线段上一点（异于两点），是上一点，且轴．若平行四边形的三个顶点均在上，与交于点，证明：为定值． 9．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由. 10.已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点． (1)若M点坐标为（0，3），求AM的最小值： (2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 抛物线中定点定值定线四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、抛物线中定点………………………………………………………………2 类型二、抛物线中定值 5 类型三、抛物线中定直线 8 类型四、抛物线中探索性、存在性问题 10 压轴能力测评（10题） 12 1.抛物线中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.抛物线中定值 （1）抛物线中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 3.抛物线中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 4.抛物线中探索性、存在性问题 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 类型一、抛物线中定点 例．已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3. （1）求的标准方程； （2）证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为 【解析】（1）由抛物线关于轴对称，故可设， 由在抛物线上，故，解得，故； （2）设、，， 同理可得，即有， 联立直线方程与抛物线方程， 有，即，， ，， 即有，化简得， 此时，则有解， 则，即直线过定点. 【变式训练1】已知抛物线C：（），直线交抛物线C于A，B两点，且三角形OAB的面积为（O为坐标原点）. （1）求实数p的值； （2）过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'.证明：直线P'Q经过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，定点. 【解析】（1）由题得直线过点，. 设， 联立得，所以， 所以. 所以三角形的面积， 又，解得（舍去）.所以. （2）证明：由（1）抛物线的方程为， 设，不妨令，则， 设直线的方程为， 联立消去得， 则， 则直线的方程为， 即， 则， 即， 即， 所以，即， 令解得所以直线恒过定点 【变式训练2】已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，. （1）求抛物线的方程： （2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）过定点， 【解析】（1）由已知，直线AB的方程为 联立直线与抛物线，消y可得，， 所以， 因为，所以， 即抛物线的方程为. （2）将代入可得， 不妨设直线MN的方程为， 联立，消x得， 则有， 由题意， 化简可得，， 代入 此时直线MN的方程为， 所以直线MN过定点. 类型二、抛物线中定值 例．已知抛物线C：的焦点为F，以抛物线上一动点M为圆心的圆经过点F，若圆M的面积最小值为. （1）求p的值； （2）当点M的横坐标为1且位于第一象限时，过M作抛物线的两条弦MA，MB，且满足证明：直线AB的斜率为定值． 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】（1）设，有，而点， 则， 因，因此，而圆M面积最小值为，即，则有， 所以p的值是2. （2）由（1）知，抛物线，则有，而，即有轴， 因过M作抛物线的两条弦MA，MB，有， 则直线MA，MB倾斜角互补，即直线MA，MB斜率和为0， 设点， 直线的斜率，直线的斜率， 因此有，整理得：， 所以直线的斜率是定值. 【变式训练1】已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，抛物线在点处的切线与轴相交于点，且的面积为2. （1）求抛物线的方程. （2）若斜率不为0的直线过焦点，且交抛物线于，两点，线段的中垂线与轴交于点.证明：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意可知， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立得， 由解得，故切线方程为， 令，得，即， 又，所以，解得， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）可知，显然直线的斜率存在， 故可设直线的方程为，，. 联立方程组，消去得， 所以，， 所以，得， 所以线段的中点为，中垂线所在直线的斜率， 故线段中垂线所在的直线方程为， 令，得，所以， 所以为定值，得证. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知点到的距离与到直线的距离相等，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）为坐标原点，轨迹上两点、处的切线交于点，在直线上，、分别交轴于、两点，记和的面积分别为和．试探究：是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由． 【答案】（1）；（2）为定值 【解析】（1）点到直线的距离与到的距离相等， 的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为直线， 设轨迹的方程为，则，可得， 所以，曲线的方程为． （2）设点、、， 抛物线方程为，即，所以． 则的方程为：，即， 同理的方程为：． 联立、方程得，， 在直线的方程中，令可得，即点，同理可得点， 则，可得， 易知，则直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消去得， 由韦达定理可知，所以，则直线的方程为， 故直线过定点． 所以，， 因此，，故为定值. 【变式训练3】已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且的面积为2． （1）求抛物线的方程． （2）若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M，证明：为定值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）将代入得， 设抛物线的切线方程为， 代入整理得： 由题知，解得 又，所以 所以，解得 所以抛物线的方程为 （2）记AB中点为N， 设直线AB方程为，代入整理得：， 则 所以 因为N为AB中点，所以， 所以直线MN的方程为则 所以，所以 类型三、抛物线中定直线 例．若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. （1）若，求直线的斜率； （2）设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）， ，将代入得，， 所以； （2）法一：设， ，即， 代入，得， 由韦达定理，有， 故，在定直线上. 法二：设， 由题意，， 故， 故，在定直线上. 【变式训练1】如图，已知抛物线的焦点F，且经过点，． (1)求p和m的值； (2)点M，N在C上，且．过点A作，D为垂足，证明：证明Q在一条定直线上． 【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可. （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论. （1）由抛物线定义知：，则， 又在抛物线上，则，可得. （2）设，，由（1）知：， 所以，，又， 所以， 令直线，联立，整理得，且， 所以，，则，， 综上，， 当时，过定点； 当时，过定点，即共线，不合题意； 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， 而中点为，所以Q在一条定直线上.得证. 类型四、抛物线中探索性、存在性问题 例．在平面直角坐标系中，抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，焦点在直线上. (1)求抛物线C的方程； (2)若动直线与抛物线C交于A，B两点.在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根据题意可得抛物线的焦点在x轴上，求得焦点坐标，从而可得出答案； （2）假设存在满足条件的点P，不妨设，，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，由，直线AP与直线BP的斜率，满足，整理分析从而可得出结论. (1)解：因为抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，则C的对称轴为x轴，且焦点在x轴上， 又焦点在直线上，则焦点坐标为，所以C的顶点为原点， 所以抛物线C的方程为； (2)解：假设存在满足条件的点P，由得，不妨设，，， 则， ①，②，由，直线AP与直线BP的斜率，满足， 即， 即③， 将①②代入③得：对任意m成立，则， 即存在满足条件的定点. 【变式训练1】已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为. （1）求； （2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由 【答案】（1）2；（2）的值为定值. 【解析】（1）由题得，圆的圆心， 抛物线的焦点为，， 所以与圆上点的距离的最大值为，解得. （2）设，， 由得， 所以，且，， ，， 所以. 所以的值为定值 【变式训练2】已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，且． （1）分别求与的值； （2）点与点关于原点对称，点、是异于点的抛物线上的两点，且、、三点共线，直线、分别与轴交于点、，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【答案】（1），；（2）是， 【解析】（1）由已知得抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线的方程为， 设，由抛物线的定义可得，所以， 于是，即， 将的坐标代入圆的方程，得，所以. （2）设、，由已知可得， 若直线的斜率不存在，则直线不可能过点； 若直线的斜率为零，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为， 联立可得， ，可得，解得， 因为、异于原点，则，则，，      因为、在抛物线上，可得，， 则，同理，       、，则轴， 所以 . 所以为定值． 1．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F斜率为的直线与抛物线C交于点M（M在x轴的上方），过M作于点N，连接交抛物线C于点Q，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】如图：相关交点如图所示， 由抛物线，得 ， 则， 与抛物线联立得， 即， 解得 ， 又 则为等边三角形 ， ， 由抛物线的对称性可得， 故选：D. 2．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（   ） A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点 【答案】D 【解析】设，则，， 由于，故过点的切线方程为， 即，即， 同理可得过点的切线方程为， 设，过点的两切线交于点， 故，整理得， 同理，整理得， 故直线的方程为， 斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确. 故选：D 3．（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（       ） A． B．点在直线上 C．为直角三角形 D．面积的最小值为16 【答案】BCD 【解析】由题可知，抛物线的焦点， 显然直线的斜率存在，设直线方程为，，， 联立，消去并整理得， ，， 由得，，， 故切线的方程为：① 故切线的方程为：② 联立①②得 ， 对于A，，，不正确，故A不正确； 对于B，，显然点在直线上，故B正确； 对于C，，，，， 将，，且，，代入上式化简得： ，，为直角三角形，故C正确； 对于D，到直线的距离为：， ， ，当时，，故D正确. 故选：BCD 4．（多选）已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则（ ） A．以线段为直径的圆与直线相离 B．的最小值为3 C．为定值 D．当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点 【答案】ACD 【解析】设为线段的中点，则点到准线的距离为， 以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离，A正确； 设，，直线方程为， 联立直线与抛物线方程可得，，则，． 于是， 当时，有最小值为，B错误； 由，， 得为定值，故C对； ，则直线的方程为， 令，得 即与轴的交点为，恰为准线与轴的交点，故D正确． 故选：ACD． 5.抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则的准线方程为____________.；若是直线上的一动点，过向作两条切线，切点为M，N，直线MN恒过定点____________. 【答案】；. 【解析】椭圆的焦点坐标为和， 又因为的焦点在轴正半轴上，所以的焦点坐标为， 从而准线方程为； 的方程为，即为，则， 设，切点，， 从而切线方程为，即， 同理切线方程为 分别代入有， 从而和均满足直线方程， 所以直线的方程为，即， 又因为在直线上，所以， 所以直线的方程为， 从而直线恒过定点. 故答案为：；. 6．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为5，则C的标准方程为____________. ；若过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点.则=____________. 【答案】 【解析】（1）抛物线的准线l的方程为， 根据抛物线的定义知点P到它的焦点的距离即为点P到准线l的距离，所以，解得，所以C的标准方程为. （2）显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，，， 联立消去y，得， 所以，，， 又，同理. 所以. 所以为定值. 故答案为： 7．已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为． （1）求抛物线C的方程； （2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，是否存在定点M，使得以弦AB为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在,. 【解析】（1）将代入，得； ∴，可得，所以抛物线C的方程为． （2）设直线，，． 联立，整理得， 所以，． 假设存在以AB为直径的圆恒过， 则恒成立， 化简得， 令，可得， 故以弦AB为直径的圆恒过 8．已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，且直线的倾斜角为，点到的距离为． （1）求的方程； （2）设直线与交于两点，是线段上一点（异于两点），是上一点，且轴．若平行四边形的三个顶点均在上，与交于点，证明：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）根据抛物线的定义，得，过点作轴，垂足为，则， 又，所以，代入，得， 整理得，解得（舍去）或， 故的方程为． （2）设，显然，与轴不平行， 设直线的方程为，， 联立得，则，且， 因为四边形为平行四边形， 所以，即， 所以，得到， 又， 即， 由点在上，得，解得， 所以直线的方程为，即， 所以直线过点， 又将代入，得， 所以的中点坐标为，即为的中点， 所以，故为定值． 9．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，故， 且，解得：， 从而， 所以椭圆的方程为； （2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为， 联立与，可得， 设，故， 则， 故， 联立与，可得：， 设， 则， 则， 所以， 令，解得：， 此时为定值. 10.已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点． (1)若M点坐标为（0，3），求AM的最小值： (2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在定点，使得RH为定值 【分析】（1）设，求出后结合函数性质得最小值； （2）设AB方程为，，，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，结论代入可求得，得定点，由得在以为直径的圆上，圆心为所求点坐标． （1） 设，，则，时，等号成立； （2） 由题意可设AB方程为，， 由，得． 由得，，， ∴（舍去）或 则直线AB过定点 又，则H在以ON为直径的圆上（不含y轴交点） 令ON的中点为，则， 所以，存在定点，使得RH为定值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$