专题09 椭圆中定点定值定线四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题09 椭圆中定点定值定线四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、椭圆中定点…………………………………………………………………2 类型二、椭圆中定值 6 类型三、椭圆中定直线 9 类型四、椭圆中探索性、存在性问题 12 压轴能力测评（10题） 15 1.椭圆中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.椭圆中定值 （1）椭圆中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。3.椭圆中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 4.椭圆中探索性、存在性问题 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 类型一、椭圆中定点 例．已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以直线过定点. 【变式训练1】已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，试证明直线AD恒过点（1，0） 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由离心率的值和右顶点坐标，得出椭圆的方程； （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，，，，利用韦达定理求出直线的方程，得到与轴交点为定值，从而得出直线过定点． 【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以， 所以，所以椭圆C的标准方程为． （2）证明设，，显然直线l的斜率存在． 直线l的方程为，联立方程组 消去y得，由，得，所以，． 因为点，所以直线AD的方程为． 又， 所以直线AD的方程可化为， 即，所以直线AD恒过点（1，0）． （方法二）设，，直线l的方程为， 联立方程组消去x得， 由，得或，所以，． 因为点，则直线AD的方程为． 又， 所以直线AD的方程可化为 ，此时直线AD恒过点（1,0）， 当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD恒过点（1，0）． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0. 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆C的方程为． （2）依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意． 所以直线斜率必不为0，设其方程为， 与椭圆C联立，整理得：， 所以，且 因为点是椭圆上一点，即， 则， 所以，即 因为 ， 所以，此时， 故直线：恒过x轴上一定点． 类型二、椭圆中定值 例．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 【答案】(1)(2)证明见解析，定值为 【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程. （2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值. 【解析】（1）由已知设椭圆方程为：， 代入，得，故椭圆方程为. （2）设直线，由得， ，，又， 故 ，由，得， 故或， ①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去； ②当时，直线，过定点，即直线过左焦点， 此时，符合题意. 所以的周长为定值. 【变式训练1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，当（     ）时为定值2． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点， 则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 【变式训练2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则=__________ 【答案】4 【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程； （2）设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值. 【解析】由题意得：且，得， 所以椭圆的方程为. 由椭圆方程可知，，，设，则且； 则，，则，所以为定值. 故答案为:4 【变式训练3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆． (1)若，，求椭圆的方程 (2)若直线与直线的斜率之比是，证明：为定值,并求出定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析,. 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【详解】（1）由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． （2）证明:依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 类型三、椭圆中定直线 例．已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析，点M在定直线上． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程； （2）设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，带入的表达式，即可得出为定值；设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上． 【解析】（1）依题可得，解得：，所以， 即椭圆的方程为． （2）设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，. 两式相除得，即． 因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，． 从而． 设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上. 【变式训练1】已知椭圆的离心率为，为上顶点，为左顶点，为上焦点，且. （1）求的方程； （2）设过点的直线交于，两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意可得、、，则， 又，，故，即， 故有，即，则，， 即的方程； （2）由，故直线斜率存在，设为， 设，联立， 得， ， 即，，， 直线和联立， 得，设其中点为，则， 则有， 即 ， 即有，即， 故线段的中点在定直线上. 【变式训练2】已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】（1）由，， 所以所求椭圆的标准方程为：. （2）如图：过点的直线与椭圆相交于、两点， 因为、不与A、重合，故直线的斜率一定存在. 设直线方程为：， 联立方程组：，消去得：. 设，，则，. 所以. 直线：； 直线:. 所以： . 所以：.即直线与的交点在定直线上 类型四、椭圆中探索性、存在性问题 例．（已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． （1）求椭圆方程； （2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）根据题意有，转化为，由第二问代入运算得解. 【解析】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）在轴上存在点使得，理由如下： 因为，所以，即， 整理得，即， 即， 则，又，解得， 所以在轴上存在点使得. 【变式训练1】已知椭圆的离心率为，且过点，． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线的斜率的平方等于直线，的斜率之积依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，或． 【分析】（1）由离心率的值，可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得的值，进而求出椭圆的方程； （2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形为平行四边形可得的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线，的斜率之积，由直线的斜率的平方等于直线，的斜率之积可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线的方程． 【解析】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：， 将点，代入椭圆的方程可得：，解得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，， 联立，整理可得：，，即， 且，，， 因为四边形为平行四边，与互相平分，所以， 因为在椭圆上，则，整理可得：，① 又因为直线的斜率的平方等于直线，的斜率之积，即，即， 而，可得，② 由①②可得：，，符合△，可得，， 所以直线的方程为：或 【变式训练2】已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）存在常数使得恒成立. 【分析】（Ⅰ）由题意由题知解得，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的准线方程，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D，存在λ，使得k1＝λk恒成立． 【解析】（Ⅰ）由题知解得所以求椭圆E的方程为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1． 由解得或得或；均有． 猜测存在． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），C（x1，y1），D（x2，y2）． 由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．则 故0． 所以存在常数使得恒成立． 1．已知椭圆E：经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点,若过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2，则的值为（     ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解． 【解析】由，，， 椭圆的标准方程为． 设直线：，联立直线和椭圆方程， ， ，记，， 则， 由题意知和．则，， 则， 所以． 故选:B 2．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).直线过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 椭圆的上顶点为，离心率为 可得 解得 椭圆的方程为. 设切线方程为，则 即 设两切线的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得: 由 消掉得: 设 同理可得 直线BD方程为 令，得， 故直线过定点. 故选：A 3．（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（     ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 【答案】BCD 【解析】依题意， ，A错误. 设，则， ，为定值，B选项正确. ， ， 当且仅当时等号成立.C选项正确. Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示， 则， ，， ，即， 所以 所以.D选项正确. 故选：BCD 4．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点,设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足,则直线HN过定点____________． 【答案】 【分析】将给定点代入设出的方程求解即可；设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【解析】设椭圆E的方程为，过， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. ，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到. 求得HN方程：，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，，且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得显然成立， 综上，可得直线HN过定点 故答案为: 5．已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为,则的标准方程为_______________；已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，则点在定直线_______上． 【答案】 ； 【分析】设，根据斜率之积和点在椭圆上整理可得椭圆的标准方程；设直线的方程为，联立椭圆方程消去，利用，坐标表示出直线与的方程，求解出点的坐标，然后用韦达定理化简即可得证． 【解析】（1）由题意可得，且，则. 设，则，所以， 因为点在椭圆上，所以， 所以，代入式得， 由，代入得， 故椭圆C的标准方程为； （2）设，，显然直线不垂直于轴， 故可设直线的方程为， 由消去得， 因为点在椭圆的内部，则直线与椭圆恒有两个交点， 所以， 由（1）知，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由直线与相交于点，则， 消得①， 由（1）知，得， 可得 ， 将代入①式得，解得，即点在直线上． 故答案为: . 6．已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，则的值为____________. 【答案】4 【解析】设椭圆的半焦距为，由题意知，解得， 椭圆的方程； 因为的面积与的面积总相等，故为的中点， 结合对称性可知两点关于轴对称， 由题意直线斜率存在且不为0，并且纵截距不为0， 设直线，故， ，化简得， 由得，， 设，则， 则， 直线，令得， ， 所以 故答案为:4 7．已知椭圆的短轴长为2，点在上. (1)求的方程； (2)设是上不同于短轴端点（点在点上方）的两点，直线与直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）易知，代入点即可求出方程； （2）当直线的斜率不存在时，求出，利用可舍去，当直线的斜率存在时，可设直线：，与椭圆联立方程组，求出，分别表示斜率，代入到可求出的值，进而求出直线过的定点即可. 【解析】（1）由题意可知，， 把点代入中，可得，解得， 所以的方程为：； （2）依题意，，，如果直线的斜率不存在，则直线垂直于轴， 设直线：，由题意可知，且， 把代入中，可得的坐标分别为， 所以，，因为，无解，故舍去， 从而可设直线：，代入中，得 ，由题设可知，设，， 则有，，因为，所以 则，， 因为，所以，化简得， 即 解得（舍）或，所以直线：恒过顶点. 8．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左､右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析． 【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得，再计算出后得椭圆方程； （2）设，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点的坐标，当直线斜率存在时，设直线，点在直线上，代入整理得是一个一元二次方程的根，由韦达定理得，从而得出关系，得出直线过定点，再确定直线斜率不存在时也过这个定点，然后结合该定点得出三角形面积比． 【解析】（1）依题意得，则 则，所以椭圆的方程为； （2）直线，设， 由得， 所以，，且， 则中点，同理可算 ①当直线斜率存在时，设直线，点在直线上， 点坐标代入整理得 易知为方程的两个根， 则，所以， 所以直线，则直线恒过点 ②当直线的斜率不存在时，由对称性可知，由， 不妨设，所以， 直线过，根据①②可知，直线恒过点，因为的面积， 的面积，所以. 9．已知椭圆的左右顶点分别为A、B，椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【分析】（1）根据离心率和短轴长求得，则方程得解； （2）方法一：讨论直线斜率是否存在，特别的当斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理直接求解，即可求得参数值；方法二：设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求得，再求，即可求得参数. 【解析】（1）由条件，即，解得． 故椭圆C的方程． （2）方法一：当直线l的斜率不存在时，，， ； 当直线l的斜率存在时，不妨设， 联立直线和椭圆方程可得，显然， 且， 从而 综上所述，存在常数，使得. 方法二：不妨设，， 联立直线和椭圆方程可得，显然， ， ， 又，故. 故存在常数，使得. 10.椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线的斜率为1时，求的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）；（3）答案见解析. 【解析】（1）根据题意，得，解得， 椭圆C的方程为. （2）依题意，设，则直线为，即， 联立，消去，得， 所以，， 故， 又因为到直线的距离为， 所以. （3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即， 所以点在轴上，可设的坐标为； 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即， 解得或， 所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为； 当不平行于轴且不垂直于轴时,设直线方程为， 联立，消去，得， 易得,， 又因为点关于轴的对称点的坐标为， 又，， 则， 所以，则三点共线， 所以； 综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 椭圆中定点定值定线四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、椭圆中定点…………………………………………………………………2 类型二、椭圆中定值 6 类型三、椭圆中定直线 9 类型四、椭圆中探索性、存在性问题 12 压轴能力测评（10题） 15 1.椭圆中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.椭圆中定值 （1）椭圆中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。3.椭圆中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 4.椭圆中探索性、存在性问题 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 类型一、椭圆中定点 例．已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：直线过定点． 【变式训练1】已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为． (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，试证明直线AD恒过点（1，0） 【变式训练2】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点. 类型二、椭圆中定值 例．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值. 【变式训练1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，当（     ）时为定值2． A． B． C． D． 【变式训练2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则=__________ 【变式训练3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆． (1)若，，求椭圆的方程 (2)若直线与直线的斜率之比是，证明：为定值,并求出定值． 类型三、椭圆中定直线 例．已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：点M在定直线上. 【变式训练1】已知椭圆的离心率为，为上顶点，为左顶点，为上焦点，且. （1）求的方程； （2）设过点的直线交于，两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 【变式训练2】已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上． 类型四、椭圆中探索性、存在性问题 例．（已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． （1）求椭圆方程； （2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【变式训练1】已知椭圆的离心率为，且过点，． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线的斜率的平方等于直线，的斜率之积依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 1．已知椭圆E：经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点,若过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2，则的值为（     ） A．1 B．3 C．2 D． 2．如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点 (不同于点).直线过定点（     ） A． B． C． D． 3．（多选）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 4．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点,设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足,则直线HN过定点____________． 5．已知椭圆的上、下顶点分别是，，点（异于，两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，椭圆的短轴长为,则的标准方程为_______________；已知，直线与椭圆的另一个交点为，且直线与相交于点，则点在定直线_______上． 6．已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，则的值为____________. 7．已知椭圆的短轴长为2，点在上. (1)求的方程； (2)设是上不同于短轴端点（点在点上方）的两点，直线与直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点. 8．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左､右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值. 9．已知椭圆的左右顶点分别为A、B，椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）若过点的直线l与椭圆交于M，N两点，且点M在第一象限，判断是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 10.椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)当直线的斜率为1时，求的面积； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$