专题16 双曲线、抛物线的最值与范围五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题16 双曲线、抛物线的最值与范围五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段最值……………………………………………………………………1 类型二、面积最值 4 类型三、一元参数范围 10 类型四、二元参数范围 15 类型五、与其他章节融合………………………………………………………… 17 压轴能力测评（10题） 20 1.求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 2.求范围及问题常用的两种方法： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 类型一、线段最值与范围 例．已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值． 【变式训练1】在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)设点，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值. 类型二、面积最值与范围 例．已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【变式训练1】已知抛物线：（），直线交于A、B两点. (1)若当时，，求p的值； (2)若，求面积的最小值. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行. （1）求的方程； （2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由； （3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值. 【变式训练3】已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 类型三、一元参数范围 例．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若l交y轴于点P，，，在的条件下，若，当时，求实数m的取值范围. 【变式训练1】已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2． (1)求双曲线的方程； (2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围． 【变式训练2】已知抛物线：上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5. （1）求抛物线的方程： （2）过点作直线交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线与，与相交于点，过点A作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与轴交于点P、Q、R、S.记、、、的面积分别为、、、.若，求实数的取值范围. 类型四、二元参数范围 例．已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且． （1）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线； （2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围. 【变式训练1】在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)求点的坐标,使得的面积最小. 类型五、与其他章节融合 例．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为9 B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 C．若，则有或13 D．设，的斜率分别为、，则的最小值为 【变式训练1】已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（    ） A． B． C． D．面积的最小值为16 3．（多选）抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（    ） A．若，则直线的斜率为或 B．若，则 C．若和不平行，则 D．若，则的最大值为 4．（多选）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（    ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 5．（多选）如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心一定不在直线上 C． D．的取值范围是 6．（多选）设是坐标原点，抛物线的焦点为，点，是抛物线上两点，且.过点作直线的垂线交准线于点，则（    ） A．过点恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．直线恒过焦点 7．若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______． 8．已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程： (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围： 9．已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（−3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C． (1)求抛物线E的标准方程； (2)求证：直线BC过定点； (3)若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求的取值范围 10．已知双曲线E：的左、右顶点分别为A，B，且，过原点O的直线l与双曲线E相交于不同的两点C，D，且. (1)求双曲线E的标准方程； (2)设点P是双曲线E的右支上一点，过点P的直线m与双曲线E的两条渐近线分别交于点，，其中，若，且，求面积的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 双曲线、抛物线的最值与范围五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、线段最值……………………………………………………………………1 类型二、面积最值 4 类型三、一元参数范围 10 类型四、二元参数范围 15 类型五、与其他章节融合………………………………………………………… 17 压轴能力测评（10题） 20 1.求最值及问题常用的两种方法： （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决； （2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。 2.求范围及问题常用的两种方法： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 类型一、线段最值与范围 例．已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值． 【答案】(1)；(2)6 【分析】（1）由题意，求得点的坐标，利用三角形的面积，建立方程，可得答案； （2）利用分类讨论，明确直线的斜率存在，联立方程，写出韦达定理，求得中点坐标，利用两点距离公式，结合基本不等式，可得答案. 【解析】（1）   直线方程为，将其代入抛物线可得， 由已知得，解得， 故抛物线的方程为． （2）   因为，若直线分别与两坐标轴垂直， 则直线中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意， 所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为， 则直线的方程为． 联立，得，则， 设， 则，设，则，则， 所以，同理可得， 故， 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为6 【变式训练1】在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)设点，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，根据代入坐标化简得到轨迹方程； （2）设直线，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，求出的纵坐标，从而有，代入韦达定理式化简得，从而得到直线所过定点，得到点轨迹方程，从而得到最大值. 【解析】（1）设，则的中点， 根据题意得， 即， 整理得， 化简整理，得点的轨迹方程. （2）设， 由对称性可知直线的斜率存在，所以可设直线， 联立直线与曲线的方程，得， 消元整理，得， 则，① ② 所以，令，得点纵坐标， 同理可得点纵坐标，故， 将代入上式整理，得， 将②代入得， 若，则直线，恒过不合题意； 若，则，恒过， 因为直线恒过，且与始终有两个交点，又， ，垂足为，所以点轨迹是以为直径的圆（不含点）， 设中点为，则圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取最大值. 类型二、面积最值与范围 例．已知直线与抛物线交于两点，且． （1）求； （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或， 所以，当时，的面积． 【变式训练1】已知抛物线：（），直线交于A、B两点. (1)若当时，，求p的值； (2)若，求面积的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)联立直线与抛物线方程，由弦长公式可得答案. (2)设，∴，，三点共线，又∵为的中点，，联立方程，得出韦达定理，代入面积公式，可得出答案. 【解析】（1）当时，，联立 即， ，，，即， ∴或（舍去）. （2）令，则， ∵，∴，，三点共线，又∵为的中点， ∴，联立 消去得，， ，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行. （1）求的方程； （2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由； （3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值. 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）最大值. 【分析】（1）根据椭圆的方程，即可求得双曲线的顶点坐标，利用直线的斜率及双曲线的性质，即可求得双曲线的方程； （2）根据双曲线的方程，求得焦点坐标，分别求得，方程，根据角平分线的性质，即可求得，，即可求得； （3）将直线方程代入双曲线方程，根据韦达定理及三角形的面积公式，换元及二次函数的性质，即可求得△的面积最大值． 【解析】（1）椭圆的右焦点为为双曲线，的右顶点， ， 直线与的一条渐近线平行，，， 双曲线的方程为， （2）， 理由如下：、为 的左右焦点，，，，， 直线方程为，直线方程为， 即直线方程为， 直线方程为， 由点在的平分线上，得， 由，，以及，解得， ， ，解得，结合，则 ； （3）由（2）可知：直线的方程为：， 令，得，故点，， 由，消去得， ， 设，，，，则，， ， 由，，， ，，△的面积， 设，，则△的面积， 时，即为，时，△的面积最大值为． 【变式训练3】已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意得到，从而得到抛物线：. （2）首先设直线的方程为，与抛物线联立得，再利用韦达定理求解. （3）设，，，，再利用韦达定理和求解即可. 【解析】（1）因为抛物线：，焦点， 所以，解得，所以抛物线：. （2）设直线的方程为， 与抛物线联立得：， 由韦达定理得，， 所以， 所以 （3）设，，，， 因为， 所以直线：，即。 同理：直线：。 联立，解得。 设直线的方程为：，，， 联立。 因为，解得，，， 因为， 所以 ，化简得：。 所以。 因为， ， 所以 类型三、一元参数范围 例．已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M，N两点，记，，的面积分别为S，，.当l与x轴垂直时，的值为. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若l交y轴于点P，，，在的条件下，若，当时，求实数m的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由题意可得，再由结合三角形面积公式可求得，由此可得双曲线E的标准方程； （2）由得到，结合（2）中结论可将式子化简为，再利用换元法与双勾函数的单调性即可求得m的取值范围. 【解析】（1）由题意得，， 则当l与x轴垂直时，不妨设， 由，得， 将代入方程，得，解得， 所以双曲线E的方程为． 设，，， ，即， 整理得：， 又，不妨设，则， 整理得，又，故， 而由由与，得， 即，，知，，故， 代入， 令，得， 由双勾函数在上单调递增，得， 所以m的取值范围为． 【变式训练1】已知双曲线：（，）的离心率为，点到其左右焦点，的距离的差为2． (1)求双曲线的方程； (2)在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与双曲线相切，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据双曲线离心率以及点到左、右焦点的距离之差为2，可求得a，b，c，进而求得双曲线的标准方程；（2）根据过点作两条相互垂直的直线与双曲线相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件；②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，从而得到切线方程，再根据切线与双曲线相切，联立方程组，得，进而可得关于的一元二次方程，再根据两切线互相垂直有，即可得到，再结合在直线上，推出，求解即可得到的取值范围． 【解析】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为，， 则，得，则， 所以双曲线的方程为； （2）①若其中一条切线的斜率不存在，则另一条切线的斜率为0，则不满足条件； ②若切线的斜率存在，则设其斜率为，，则切线方程为， 联立，消并整理得， 则， 化简得，即， 化成关于的一元二次方程， 设该方程的两根为，，即为两切线的斜率，所以，即， 又点在直线上，所以直线与圆有交点， 所以，即，即， 故的取值范围为． 【变式训练2】已知抛物线：上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5. （1）求抛物线的方程： （2）过点作直线交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线与，与相交于点，过点A作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点E，、、、分别与轴交于点P、Q、R、S.记、、、的面积分别为、、、.若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）结合抛物线定义即可; （2）设经过，两点的直线方程为：（），与抛物线方程联立得，.将每条直线表达出来，、、、表达出来，再由求实数的取值范围. 【解析】（1）设，由题意可得，即， 解得或（舍去），所以抛物线的方程为. （2）如图， 设经过，两点的直线方程为：（，）， 与抛物线方程联立可得， 即， ∴，. ∵，则，∴， ∴过点作的切线方程为， 令，得，即. 同理，过点作的切线方程为， 令，得，即 ∴. 联立两直线方程，解得，即， 则到直线的距离. 又∵过点作直线垂直于， 直线的方程为， 令，得，即. 同理，直线的方程为， 令，得，即. ∴. 联立两直线方程，解得， 整理后可得，即， 则到直线的距离. 由上可得，， ，， ∴，得， 故的取值范围为. 类型四、二元参数范围 例．已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且． （1）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线； （2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围. 【答案】（1），点的轨迹是焦点在轴上，实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线；（2）， 【解析】（1）设点，圆的半径为为到直线的距离，则． 根据题意，动点的轨迹就是点的集合 即，整理得. 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线． （2）设直线， 倾斜角大于 设 联立得， 故，，， 由题知，双曲线的焦点， 由得的取值范围是 【变式训练1】在直角坐标系中,直线是双曲线的一条渐近线,点在双曲线上,设为双曲线上的动点,直线与轴相交于点,点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点. (1)求双曲线的方程; (2)求点的坐标,使得的面积最小. 【答案】(1) (2)的坐标是或或或 【分析】（1）根据渐近线方程得,点在双曲线上得,列出方程组求解即可; （2）直接计算的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标. 【解析】（1）由已知得,解得,所以双曲线的方程为. （2）如图:      因为, 由（2）知,即,代入上式得: , 当且仅当,即时等号成立, 此时, 所以的坐标是或或或时,的面积最小. 类型五、与其他章节融合 例．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线交于两点，点为双曲线上异于的一动点，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为9 B．若以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 C．若，则有或13 D．设，的斜率分别为、，则的最小值为 【答案】BD 【解析】双曲线中、，焦距，实轴长 不妨设， 选项A： 则， 又，则 由，可知，即，则的最大值为16.判断错误； 选项B：以为直径的圆经过双曲线的右焦点，则有 则， 解之得，则，则 则.判断正确； 选项C：若，由， 可得或（因为，舍去）.判断错误； 选项D：由，可得 即，则 故，（当且仅当时等号成立） 即的最小值为.判断正确. 故选：BD 【变式训练1】已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得. 【解析】设， 过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点为线段的中点， 所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为， 因为， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故. 所以的最大值为. 故选：C 【变式训练2】已知点在抛物线上，设的焦点为，线段的中点在的准线上的射影为，且，则向量的夹角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过分别作， 则是梯形的中位线，故, 由于, 所以, 故, , 当且仅当时取等号， 故，故的夹角最大值为， 故选：C 1．已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点坐标，由几何关系得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 点为抛物线上的动点，所以设，先求出， 所以的最小值为 【解析】圆可化为， 所以点.又因为点为线段的中点，且， 所以，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆. 因为点为抛物线上的动点，所以设， 则， 所以当时，， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（多选）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（    ） A． B． C． D．面积的最小值为16 【答案】ACD 【分析】 A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之积，从而求出；B选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到；C选项，求出，，结合焦半径公式求出，C正确；D选项，作出辅助线，结合B选项，得到，表达出，利用基本不等式求出最小值，从而得到面积最小值. 【解析】A选项，由题意得，准线方程为， 直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，得，，故，A正确； B选项，，直线的斜率为，故直线的方程为， 即，联立，得，故， 所以B错误； C选项，由直线的方程，令得， 又，所以， 故，故， 又由焦半径公式得，所以C正确； D选项，不妨设，过B向作平行于y轴的直线交于M， 根据B选项知，， 故， 根据直线的方程， 当时，， 故， 故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积最小值为16，D正确. 故选：ACD 3．（多选）抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（    ） A．若，则直线的斜率为或 B．若，则 C．若和不平行，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余弦定理、基本不等式可判断D选项. 【解析】易知抛物线的焦点为， 对于A选项，若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 因为，则在直线上，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，， 因为，即，可得，即， 所以，，可得，，解得， 此时，直线的斜率为，A对； 对于B选项，当时，则在直线上，， 则，B对； 对于C选项，当和不平行时，则、、三点不共线， 所以，，C错； 对于D选项，设，， 当时，， 由C选项可得， 所以， ， 即，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D对. 故选：ABD. 4．（多选）已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，则（    ） A．该双曲线的方程为 B．若，则直线的斜率为 C．的最小值为25 D．面积的最小值为12 【答案】ABC 【解析】双曲线的，渐近线方程为、， 两渐近线倾斜角分别为和，设圆与x轴切点为G 过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为 由双曲线定义和圆的切线长定理可知、的横坐标均为，即与x轴垂直. 故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确； 由双曲线定义知，中，，则AO只能是的中线，不能成为 的角平分线，则圆心一定不在直线上. 选项B判断正确； 在中，，， 则由直角三角形的射影定理可知，即 则，故.选项C判断正确； 由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为， 则的取值范围为， 故 则 令，则在单调递减，在单调递增. ，，，值域为 故的值域为.选项D判断错误. 故选：ABC 5．（多选）如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ） A．圆和圆外切 B．圆心一定不在直线上 C． D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】由题知，，进而可求得双曲线的方程判断A；设直线，由已知可知，联立直线与双曲线方程结合可判断B；利用两点之间的距离公式化简计算可判断C；利用面积公式及弦长公式可求得面积，再利用函数思想求得最值可判断D. 【解析】对于A，依题意可知，，，结合，得，，所以双曲线的方程为，故A正确； 对于B，易知，抛物线渐近线的斜率为，设，， 直线，由直线与双曲线的右支交于两点，所以，从而， 联立，得，则，，， 若，则，即，解得，不满足，故B错误； 对于C，由，则，， 所以 因为，所以，故C正确； 对于D，， 设，则，，令，函数在上单调递减，因此， 故D正确， 故选：ACD． 6．（多选）设是坐标原点，抛物线的焦点为，点，是抛物线上两点，且.过点作直线的垂线交准线于点，则（    ） A．过点恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．直线恒过焦点 【答案】BC 【分析】根据抛物线的性质判断A选项；根据得到，然后利用点斜式写直线的方程即可得到定点，即可判断D选项；利用韦达定理和弦长公式得到，然后利用二次函数的性质求最小值，即可判断C选项；根据题意得到点的轨迹，然后求最小值，即可判断B选项. 【解析】 由抛物线的性质可知，过点会有3条直线与抛物线有且仅有一个公共点，其中2条直线与抛物线相切，1条斜率为零的直线与抛物线相交，故A错； 设，，因为，所以，解得， 若，则或，此时, 当时， 直线的方程为， 所以直线恒过定点，故D错； 设直线：，联立得，， 则，， ， 所以当时，最小，最小为，故C正确； 因为，所以直线为， 联立得，则，即为准线上的动点， 所以当点为时，最小，为2，故B正确. 故选：BC. 7．若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及表示，再利用抛物线定义结合的范围求解作答. 【解析】抛物线的焦点，准线方程为，，如图， 设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知， 于是得，而函数在上单调递减，即， 因此，即有， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. (1)求的方程： (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围： 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【解析】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为 （2）当直线斜率不存在时，设, 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设, 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得.    9．已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（−3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C． (1)求抛物线E的标准方程； (2)求证：直线BC过定点； (3)若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求的取值范围 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）利用表示出，化简即可求出答案. （2）设出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.再由点写出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.写出直线的方程，根据两个关系式消掉点，则可得出结论. （3）将、用点表示出来，再利用韦达定理用直线的斜率表示出，最后化简即可得出答案. 【解析】(1)焦点，∵，∴ 抛物线E的标准方程为 (2) 显然．直线斜率存在，设的方程为 由，化简得：， 设，则， ∴      ① 直线的方程为， 由化简得：， 设则      ② 由①②得，∴      ③ （ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴， ∴的方程为． （ⅱ）若直线有斜率，为， 直线的方程为，即， 将③代入得，∴， 故直线有斜率时过点． 由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点． (3) 由（2）得， ，∴，且， 设， ∵，且，∴∴， 故的取值范围是． 10．已知双曲线E：的左、右顶点分别为A，B，且，过原点O的直线l与双曲线E相交于不同的两点C，D，且. (1)求双曲线E的标准方程； (2)设点P是双曲线E的右支上一点，过点P的直线m与双曲线E的两条渐近线分别交于点，，其中，若，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意可知，即，易知C，D两点关于原点对称，再利用可得，即可求出双曲线E的标准方程； （2）由（1）可得双曲线E的两条渐近线方程，又因为点在渐近线上，且，可得P点坐标，又因为P在双曲线上，代入可得与的关系式，利用三角形面积公式及渐近线倾斜角将面积表示成的函数，最后根据 和函数单调性即可求得面积的取值范围. 【解析】（1）第一步：根据求a的值及点A的坐标 由得，即，则. 第二步：根据己知条件求的值 设，则， （点拨：直线l过原点O，根据对称性可知，C，D两点关于原点对称） 由于，则， 则，解得， 第三步：得双曲线E的标准方程 故双曲线E的标准方程为. （2）（2）第一步：设出M，N，P的坐标 令，得双曲线E的渐近线为和. 不妨设，，， 第二步：建立M，N，P的坐标间的关系 由于，则，， 故，. 由于点P的双曲线E上，则， 整理得，即. 第三步：求面积的表达式 又，同理，易知， 则 第四步：利用函数知识求的面积的取值范围 易知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （点拨：对勾函数的图象和性质的应用） 故当时，； 当或时，. 所以面积的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$