专题24.2 点和圆的位置关系（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题24.2 点和圆的位置关系 · 典例分析 【典例1】如图，A，B为上两点，，C为上一动点（不与A，B重合），D为的中点．若的半径为2，则的最大值为 ．    【思路点拨】 取的中点E，连接，得到，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求最值即可． 【解题过程】 解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵D为线段的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点． ∴求线段长度的最大值即是求点B与上的点的最大距离． 如图，当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值，    ∵， ∴． ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，．分别以为圆心，长为半径作圆、圆，关于点位置，下列叙述中正确的是（    ） A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【思路点拨】 本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理．先求出，根据大角对大边画出示意图，结合点与圆的位置关系即可解答． 【解题过程】 解： 中，， ， ， 如图，以为圆心，长为半径作圆、圆， ，， 点A在圆外部，在圆内部， 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将平行四边形的顶点置于坐标原点，点坐标为，点坐标为，以为直径画圆，则顶点与这个圆的位置关系是(　　) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【思路点拨】 根据平行四边形的性质可确定点坐标为，易得的中点的坐标，再利用勾股定理计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解题过程】 解：设的中点为， ∵四边形为平行四边形，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴点A到点B向左移动10个单位长度，点D到点C也向左移动10个单位长度， ∴点坐标为， 又∵的中点为， ∴点坐标为即， ∴， ∵点坐标为，点坐标为，以为直径画圆， ∴的半径为， ∴点在上． 故选：B． 3．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 【思路点拨】 本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可． 【解题过程】 解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则： 此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离 有两种情况： 当此点在圆内时，如图所示， 半径； 当此点在圆外时，如图所示， 半径； 故圆的半径为或 故选：． 4．（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系．由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【解题过程】 解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 5．（2023·上海闵行·模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 【思路点拨】 由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断． 【解题过程】 解：如图，     四边形为矩形， ， ，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 点在圆内，点在圆外． 故选：． 6．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【思路点拨】 本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【解题过程】 解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 7．（2024·广东江门·一模）如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，， 由折叠可得，，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 8．（2023·广东清远·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【思路点拨】 以为直径画圆，圆心为，连接、，在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【解题过程】 解：如图，以为直径画圆，圆心为，连接、，   ， ∵， ∴， ∴在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中，∵， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、共线时，的值最小，最小值为， 故选：D． 9．（23-24九年级上·湖北·期中）如图，的直径，C为弧的三等分点(靠近点A)，P是上的一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 连接，以为直径作圆，过作于，可证得点在上，求出，求出、、长，根据勾股定理求出，再根据两点之间线段最短得出，再求出答案即可． 【解题过程】 解：∵直径， ∴， 连接，，以为直径作圆，过作于，    ∵，为的中点， ∴， 即点在上，， ∴， ∵点为弧的三等分点（更靠近点）， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴的最大值是， 故选：C． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ． 【思路点拨】 本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据勾股定理可求出，再根据直角三角形的性质求得，比较与的半径即可解答． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵中，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， 即点D到圆心C的距离为， ∵的半径为，而， ∴点D在外． 故答案为：点D在外 11．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 【思路点拨】 本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，三角形三边关系，设点是的中点，连接，，，由题意得出，结合得出最大值时，的值最大，再由三角形三边关系得出的最大值为，计算即可得出答案． 【解题过程】 解：设点是的中点，连接，，， 在矩形中，，， ∴，，， 由题意可得：， ∵， ∴最大值时，的值最大， ∵，， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值， 故答案为：． 12．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【思路点拨】 本题考查了坐标和图形的性质，点与圆的位置关系，三角形的中位线定理等知识，确定为最小值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点E，根据中位线的性质得到 ，求出的最小值即可． 【解题过程】 解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，已知的半径是6，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 【思路点拨】 取的中点E，根据三角形中位线定理得到，得到点D在以E为圆心，3为半径的圆上，得到的最小值就是点A与圆E上的点的距离的最小值，根据勾股定理求得，得到的最小值为． 【解题过程】 解：如图，取的中点E，连接，，， ∵的半径是6， ∴， ∵D是中点， ∴是的中位线， ∴． ∴点D在以E为圆心，以3为半径的圆上． ∴求的最小值就是求点A与上的点的距离的最小值． ∵， ∴， ∵ ∴当点D在上时，取最小值为． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【思路点拨】 本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【解题过程】 解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【思路点拨】 本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【解题过程】 解：如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 16．（2024·浙江·一模）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为 ． 【思路点拨】 根据点与圆的位置关系，由，得到，根据，得到，结合，得到，由旋转的性质可得，根据可以取最大值3，即可求解， 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是：根据的最大值，得到的最大值． 【解题过程】 解：作中点，中点，分别以、为圆心画圆，连接、，， 由旋转的性质，矩形的性质，可得：，， 在旋转的过程中当时，， ∵， ∴，即：， ∵点在线段上， ∴， ∴，即， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴当可以取到最大值3时，的度数最大值恰好为， 当，时，即点与点重合时，， 在中，， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，分别以和为斜边，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则线段的最大值为 ． 【思路点拨】 取中点，设的外接圆为，因为、为定点，又可知为定值，所以为圆上一动点，可知为一定圆，设点在上时，可以确定圆心的位置，由此即可求出的最大值． 【解题过程】 解： 如图1，取中点，连接，， 则， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 设的外接圆为， ∵，为圆上的两定点，点为动点，且为定值， ∴为一位置与大小确定的定圆， 当点运动到上时（如图2）， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴的圆心在此时正方形的中心处， 取中点，连接，则，的半径， ∴， 当过点时（如图3），最大， 此时的最大值为． 故答案为：． 18．（2023九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 【思路点拨】 本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了勾股定理． 利用点在上，得到，然后分类讨论：当点在外，，在中，利用勾股定理可计算出；当点在内，，利用勾股定理可计算出，于是可得到的长． 【解题过程】 解：如图， 直径， ， ， ， 点与圆上各点所连接线段最短为1， ， 当点在外，， 在中，； 当点在内，， 在中，， 的长为或． 19．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有一圆弧经过三个点A、B、C，且点A、B、C的坐标分别为、、． （1）该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； （2）的直径为______； （3）点在______；（填内、外、上）； （4）点O到上的点最远的距离为______． 【思路点拨】 本题考查了圆心的确定，勾股定理，点与圆的位置关系，点与圆上点的距离最值． （1）根据、，得到圆心一定在线段的垂直平分线上，根据同圆的半径相等，确定位置即可． （2）根据（1）得的半径为，直径是半径的2倍，计算即可． （3）根据，，计算，与的半径为，比较，解答即可． （4）根据直径最大，连接，并延长交于点Q，此时最大，，解答即可． 【解题过程】 （1）∵、， ∴圆心一定在线段的垂直平分线上， ∵同圆的半径相等，且, ∴， 故答案为：． （2）根据(1)得的半径为，直径是半径的2倍， ∴的直径为， 故答案为：． （3）∵，， ∴， ∵的半径为， ∴点在上， 故答案为：上． （4）∵直径最大， ∴连接，并延长交于点Q，此时最大， ∴， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：    点为内一定点，点为上一动点，确定点的位置，使线段最长． 【问题解决】以下是小华的方法： 如图，连结并延长交于点，点为所求． 理由如下：在上取点异于点，连结、． 接下来只需证明． 请你补全小华的证明过程． 【类比结论】点为外一定点，点为上一动点，设的半径为，的长为，则线段长度的最大值为______，线段长度的最小值为______．(用含、的代数式表示) 【拓展延伸】如图，在半圆中，直径的长为，点在半圆上，，点在上运动，连结，是上一点，且，连结在点运动的过程中，线段长度的最小值为______． 【思路点拨】 本题是圆的综合题，考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线并能够根据点的运动情况确定点的运动轨迹是解题的关键． 【问题解决】根据三角形三边关系求解即可； 【类比结论】结合【问题解决】求解即可； 【拓展延伸】取的中点，连接，，由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小． 【解题过程】 解：【问题解决】如图，连接并延长交于点，点为所求．    理由如下：在上取点异于点，连接、． 在中，， ， ， 即； 【类比结论】如图，线段交于点，的延长线交于点，    由【问题解决】知，此时长度最大为， 当点在位置时，长度最小为， 线段长度的最大值为，线段长度的最小值为， 故答案为：；； 【拓展延伸】解：如图，取的中点，连接，，．    ， ， 点在以为圆心，为半径的上， ， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.2 点和圆的位置关系 · 典例分析 【典例1】如图，A，B为上两点，，C为上一动点（不与A，B重合），D为的中点．若的半径为2，则的最大值为 ．    【思路点拨】 取的中点E，连接，得到，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求最值即可． 【解题过程】 解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵D为线段的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点． ∴求线段长度的最大值即是求点B与上的点的最大距离． 如图，当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值，    ∵， ∴． ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，．分别以为圆心，长为半径作圆、圆，关于点位置，下列叙述中正确的是（    ） A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将平行四边形的顶点置于坐标原点，点坐标为，点坐标为，以为直径画圆，则顶点与这个圆的位置关系是(　　) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 3．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 4．（2024·四川凉山·模拟预测）在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·上海闵行·模拟预测）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（    ）    A．点，均在圆外 B．点在圆外，点在圆内 C．点在圆内，点在圆外 D．点，均在圆内 6．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 7．（2024·广东江门·一模）如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2023·广东清远·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 9．（23-24九年级上·湖北·期中）如图，的直径，C为弧的三等分点(靠近点A)，P是上的一个动点，取弦的中点D，则线段的最大值为（   ）    A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）在中，，，，D是边的中点，以点C为圆心，为半径作圆，则点D与的位置关系是 ． 11．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）在中，若点O为边的中点，则必有：成立． 依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，，点在以半径为2的上运动，则的最大值为 ． 12．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 13．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，已知的半径是6，点A，B在上，且，动点C在上运动（不与A，B重合），点D为线段的中点，连接，则线段长度的最小值是 ． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 16．（2024·浙江·一模）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为 ． 17．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，分别以和为斜边，向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则线段的最大值为 ． 18．（2023九年级上·全国·专题练习）已知圆O的直径，半径，在射线上有一点D，且点D与圆O上各点所连接线段最短为1，则的长为多少？ 19．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有一圆弧经过三个点A、B、C，且点A、B、C的坐标分别为、、． （1）该圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； （2）的直径为______； （3）点在______；（填内、外、上）； （4）点O到上的点最远的距离为______． 20．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：    点为内一定点，点为上一动点，确定点的位置，使线段最长． 【问题解决】以下是小华的方法： 如图，连结并延长交于点，点为所求． 理由如下：在上取点异于点，连结、． 接下来只需证明． 请你补全小华的证明过程． 【类比结论】点为外一定点，点为上一动点，设的半径为，的长为，则线段长度的最大值为______，线段长度的最小值为______．(用含、的代数式表示) 【拓展延伸】如图，在半圆中，直径的长为，点在半圆上，，点在上运动，连结，是上一点，且，连结在点运动的过程中，线段长度的最小值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$