4.3.3对数函数的图象与性质（5大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.3.3对数函数的图象与性质 题型一 对数函数的概念判断与求值 1．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 3．下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 4．给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 6．函数为对数函数，则 ． 7．下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 8．已知函数，则 ． 9．已知函数，则 ； ． 题型二 （对数复合型函数）对数函数的定义域 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若，集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知集合，，（   ） A． B． C． D． 6．函数的定义域是 . 7．已知函数，函数定义域 ；函数单调增区间 ． 8．已知函数. (1)若，求的单调区间；(2)若的最小值为0，求a的值. 9．已知函数. (1)求的定义域；(2)求关于的不等式的解集. 10．已知函数 (1)求的定义域；(2)判断的奇偶性，并说明理由. 题型三 （对数复合型函数）对数函数在给定区间上的值域 1．已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 6．函数的值域是 ． 7．函数的值域为 ． 8．已知集合，则集合用列举法表示为 . 9．画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间. 10．已知定义在上的函数为偶函数.当时，. (1)求；(2)求函数的解析式；(3)若，求函数的值域. 11．已知函数. (1)求方程的根；(2)求在上的值域. 题型四 （对数复合型函数）对数函数的单调性的应用 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．设实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 6．已知，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 8．若函数，在上单调递增，则的取值范围为 . 9．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 10．已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明；(2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 11．已知函数． (1)画出函数的图象；(2)写出函数的单调区间； (3)当时，函数的值域为，求m的取值范围． 题型五 （对数复合型函数）对数函数的最值问题 1．已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 2（多选题）．下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 3（多选题）．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 4（多选题）．已知函数则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的定义域为 B．函数有最小值 C．当时，函数的值域为R D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 5（多选题）．已知函数，则下列选项错误的有（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 6．已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 7．函数的最小值是 ． 8．函数的最小值为 ． 9．设且，函数的图像过点． (1)求的值及函数的定义域；(2)求函数在区间上的最大值． 10．已知函数． (1)求函数的定义域；(2)求的最大值，并求取得最大值时的值． 11．已知幂函数在上是增函数. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最小值. 1．对于任意实数，定义运算“”为 ，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数满足以下两个条件：（1）在上单调递增；（2），则函数的解析式可以为 ．（写出一个符合题意的即可） 3．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件： ①对任意的，总有； ②； ③若，，，则有，就称为“A函数”. 下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（    ） A． B． C． D． 5（多选题）．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.3对数函数的图象与性质 题型一 对数函数的概念判断与求值 1．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】解：因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：D. 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且,分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 3．下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 4．给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 5．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 6．函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数，则，且，所以. 故答案为：3 7．下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 8．已知函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据函数解析式，直接求出即可. 【详解】由题意知，． 故答案为：0 9．已知函数，则 ； ． 【答案】 1 /0.5 【分析】根据函表达式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 故答案为：，. 题型二 （对数复合型函数）对数函数的定义域 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数型函数的定义域及指数函数值域分别可得两集合，进而利用交集和并集运算判断各选项. 【详解】由对数型函数的定义域可知，，即， 又，则，所以，则，， 故选：D. 2．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 3．若函数的定义域为，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，在上恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由题意，函数的定义域为， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：A． 4．若，集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解集以及充分必要条件的定义和对数函数的性质判断，即可得到答案. 【详解】因为，则， ， 所以“”等价于. 故选：A. 5．已知集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，则， 由对数函数的定义域得， 所以. 故选：C 6．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数的真数大于，分式的分母不为，次幂的底数不为，即可求解定义域. 【详解】由已知可得，解得：且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7．已知函数，函数定义域 ；函数单调增区间 ． 【答案】 【分析】空1：令，解不等式即可求得定义域；空2：根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间. 【详解】空1：由题意可得，解得， 的定义域为. 空2：令， 在上单调递增；在上单调递减， 又在上单调递减， 的单调递增区间为. 故答案为：；. 8．已知函数. (1)若，求的单调区间；(2)若的最小值为0，求a的值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是；(2). 【分析】（1）先根据求出的值，再由复合函数单调性可得单调区间； （2）的最小值为0，转化为的最小值为，结合二次函数图象与性质即可求解的值. 【详解】（1）因为，所以，因此，则. 这时 由得，即函数f（x）的定义域为. 令，由，， 则在上单调递增，在上单调递减. 又在上单调递增， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）若的最小值为0，则有最小值，且最小值为1， 因此有，解得 故a的值为. 9．已知函数. (1)求的定义域；(2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题意可得不等式，求解可得； （2）根据函数的单调性，由不等式可化为，进而可得，求解可得. 【详解】（1）由，解得， 所以的定义域为. （2）. 不等式可化为. 因为是增函数，所以 解得，故. 故不等式的解集为. 10．已知函数 (1)求的定义域；(2)判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据对数函数定义域列式求解即可； （2）根据题意结合偶函数的定义分析判断. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以的定义域为. （2）为偶函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称，且， 所以的为偶函数. 题型三 （对数复合型函数）对数函数在给定区间上的值域 1．已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求每段函数的值域，再求并集. 【详解】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，， 所以函数的值域是. 故选：A 2．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 3．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出时，，从而得到当时，的值域包含，得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，又的值域为R， 故当时，的值域包含． 故，解得． 故选：C 4．函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由定义域求出的范围，进而求出的范围与最大值. 【详解】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 5．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 6．函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数和对数的性质即可求解. 【详解】当时，，所以， 当时，，综上，所以的值域是 故答案为： 7．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性可求函数的值域. 【详解】函数为增函数，故其值域为. 故答案为： 8．已知集合，则集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据描述法表示的集合的意义，列举集合中的元素. 【详解】，为单调递减函数，值域为， 因为，当时，，当时，，所以. 故答案为： 9．画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间. 【答案】作图见解析，答案见解析 【分析】根据图象变换，由对数函数通过平移、对称变换即可得出函数图象，由图可得函数的值域及单调区间. 【详解】函数的图象向左平移1个单位后得的图象， 把的图象中在轴下方的图象，向上翻折可得的图象，如图， 由图象知，其值域为，单调递减区间是，单调递增区间是. 10．已知定义在上的函数为偶函数.当时，. (1)求；(2)求函数的解析式；(3)若，求函数的值域. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）先求出，由奇偶性得到； （2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案； （3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域. 【详解】（1）， 因为为上的偶函数，所以； （2）当时，，故， 又为上的偶函数，故，所以， 所以； （3）当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为， 故， 由函数为偶函数可知，当时，单调递增，， 则， 综上，的值域为 11．已知函数. (1)求方程的根；(2)求在上的值域. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案. （2）根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）由，可得，整理可得， 分解因式可得，由，解得，则. （2）由，根据函数在上单调递增，则， 令，， 根据二次函数的性质，则， 由函数在上单调递增，则. 题型四 （对数复合型函数）对数函数的单调性的应用 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得函数的对称轴，结合单调性的定义可得，计算即可. 【详解】显然，又因为函数图象的对称轴方程为， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 2．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：函数在定义域上单调递减，故A错误； 对于B：函数在定义域上单调递增，故B正确； 对于C：函数在，上单调递减，故C错误； 对于D：函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：B 3．设实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合对数函数的性质与充分条件及必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则有或， 即有或，若，则， 故当时，可得， 当时，不一定成立，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的判断即可排除ACD，再结合反比例函数的奇偶性和单调性即可判断B. 【详解】对A，函数定义域为，则其不具有奇偶性，故A错误； 对B，函数定义域为，关于原点对称，且， 则为奇函数，且根据反比例函数性质易知其在上是增函数，故B正确； 对C，根据，根据指数函数图象知其不具有奇偶性，且在上是减函数，故C错误； 对D，函数定义域为，且，则其为偶函数，故D错误. 故选：B. 5．若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数，所以，即， 又因为是增函数，所以，又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 6．已知，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数单调性限定出的取值范围即可得出结论. 【详解】易知，即； 而，所以，即； 又，即；即可得. 故选：D 7．关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误； 根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误. 【详解】由，则，当时，等号成立，则的定义域为， 为偶函数，故A错误，B正确； 当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增， 函数在单调递增，故C正确，D错误. 故选：BC. 8．若函数，在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知结合一次函数及对数函数的单调性及分段函数的性质即可求解． 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得． 故答案为： 9．已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对数函数性质分析可知：在上单调递增，且，结合二次函数列式求解即可. 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)在和上都为减函数； (3). 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明； （2）由为增函数，在和上都为减函数即可判断； （3）由题意结合（2）得在上为减函数，进而得，从而得，解该方程即可得解. 【详解】（1）函数为奇函数，证明如下： 由得或，即的定义域为或关于原点对称， 因为，所以为奇函数. （2）由和复合而成， 当时，为增函数，在和上都为减函数， 所以由复合函数的单调性知在和上都为减函数. （3）由题意，所以由（2）可知在上为减函数， 因为当时，，故， 即，解得，因为，所以. 11．已知函数． (1)画出函数的图象；(2)写出函数的单调区间； (3)当时，函数的值域为，求m的取值范围． 【答案】(1)作图见解析；(2)单调递减区间是，单调递增区间是； (3). 【分析】（1）根据图象变换作出所求函数图象； （2）根据图象可得函数的单调区间； （3）可得，结合图象即可得结果. 【详解】（1）先作出的图象，再把的图象x轴下方的部分往上翻折， 得到的图象，如图所示． （2）由题意可知：的定义域为， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增． 所以的单调递减区间是，单调递增区间是． （3）由的图象可知， 由题意结合图象知，m的取值范围为． 题型五 （对数复合型函数）对数函数的最值问题 1．已知，则成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据为真命题，求的取值范围，再求其真子集，即可求解. 【详解】：“，”为真，即，， ，所以， 成立的一个充分不必要条件应是的一个真子集，选项中只有C成立. 故选：C 2（多选题）．下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断BC；根据二次函数的性质即可判断D. 【详解】当时，，此时，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：BD. 3（多选题）．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数 【答案】AC 【分析】利用对数函数真数大于0建立方程判断A，利用复合函数单调性的性质得到的单调性，再求值域判断B，利用函数奇偶性的定义判断C，D即可. 【详解】对于函数， 令，解得，函数的定义域为，故A正确； 因为在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递增， 同理可得在上单调递增，所以为上的增函数， 又， 其中， 因为，所以，所以，所以， 则，所以，即，又的值域为， 函数的值域为，故B错误； 又， 函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误． 故选：AC． 4（多选题）．已知函数则下列说法正确的有（    ） A．当时，函数的定义域为 B．函数有最小值 C．当时，函数的值域为R D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可. 【详解】对于A，当时，，令，解得或， 则的定义域为，故A正确； 对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确； 对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增， 且当时，，则，解得， 所以实数a的取值范围是，故D错误. 故选：AC 5（多选题）．已知函数，则下列选项错误的有（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 【答案】ABC 【分析】化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断. 【详解】，由得， 故函数的定义域为； 令，则，二次函数开口向下，其对称轴为直线， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又函数在上单调递增； 由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减；故A、B错误； 因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值； 故C错误，D正确. 故选：ABC. 6．已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 2 【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可. 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 7．函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 8．函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可. 【详解】令，，则由与复合而成， 首先令，解得，则定义域为， 而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减， 由对数函数性质得在上单调递减， 由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为. 故答案为： 9．设且，函数的图像过点． (1)求的值及函数的定义域；(2)求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)2；；(2)2. 【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域； （2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得. 【详解】（1）由函数的图像过点， 得，即，所以，解得或（舍）， 所以， 由，解得， 所以，函数的定义域为． （2）由（1）知， 又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增， 故函数在区间上的最大值． 10．已知函数． (1)求函数的定义域；(2)求的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】(1)；(2)的最大值为，此时. 【分析】（1）利用对数函数的定义，列出不等式求解即得. （2）利用对数函数单调性，结合二次函数最值求解即可. 【详解】（1）函数有意义，则，即， 解得， 所以原函数的定义域为. （2）显然，当且仅当时取等号， 因为函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 11．已知幂函数在上是增函数. (1)求的解析式； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1)；(2)1. 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得，进而求得. （2）根据复合函数的单调性求得在上的最小值. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或. 又在上是增函数，则，即，所以，则. （2）由（1）得，所以. 令，当时，单调递减. 又函数在其定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递减， 所以. 1．对于任意实数，定义运算“”为 ，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的新定义求出函数的解析式，再结合对数的运算和对数函数的单调性解答即可； 【详解】由对数函数的定义域可得， 令， 即，解得或（舍去）， 所以，由函数新定义可得， 所以当时，； 当时，， 所以函数的值域为， 故选：B. 2．已知函数满足以下两个条件：（1）在上单调递增；（2），则函数的解析式可以为 ．（写出一个符合题意的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数满足的条件，可知当时，函数都满足条件. 【详解】在上单调递增，，，所以，即符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 3．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 4．（多选）若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件： ①对任意的，总有； ②； ③若，，，则有，就称为“A函数”. 下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据“A函数”要满足的3个条件，即可结合选项逐一求解. 【详解】A中，，故不是“A函数”，故A错误； B中，若，，， 则 ，不满足③， 故不是A函数，故B错误； C中，显然满足①②，又， 所以是“A函数”，故C正确； D中，显然满足①②， 因为，， 所以， 又，所以，， 从而，因此，是“A函数”，故D正确. 故选：CD. 5（多选题）．已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断CD选项. 【详解】对于AB选项，对任意的，，则函数的定义域为， 且， 因为，所以，函数为偶函数，A错B对； 对于C选项，对任意的，，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为，D对. 故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$