专题16.3 期中压轴题专项复习（考试范围：第11～13章）【14大考点60题】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（沪科版）

专题16.3 期中压轴题专项复习【14大考点60题】 （考试范围：第11~13章） 【沪科版】 【考点1 平面直角坐标系中的规律探究】 1 【考点2 平面直角坐标系中的动点问题探究】 6 【考点3 坐标与图形性质】 11 【考点4 根据情景确定函数图象】 14 【考点5 一次函数中的面积计算】 18 【考点6 与一次函数有关的规律问题】 27 【考点7 一次函数图象的应用】 32 【考点8 一次函数的实际应用】 42 【考点9 三角形的三边关系的应用】 51 【考点10 由三角形的中线求面积最值】 55 【考点11 与平行线有关的三角形的内角和问题】 57 【考点12 与折叠有关的三角形的内角和问题】 62 【考点13 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 67 【考点14 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 71 【考点1 平面直角坐标系中的规律探究】 1．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，甲乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以2个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的变化规律以及行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，乙是甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】矩形的边长为4和2，因为乙是甲的速度的2倍，时间相同，甲与乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在点相遇； 此时甲乙回到原出发点， 则每相遇三次，甲乙回到出发点， ∵， 故第次相遇的地点与第二次相遇相同， 第二次相遇甲与乙行的路程和为，甲行的路程为，乙行的路程为，在边相遇，即相遇点的纵坐标为， 又∵矩形的边长为4和2，甲按逆时针方向运动，乙按顺时针方向运动， ∴， 结合图形：    此时相遇点的坐标为：， 故选：D． 2．（23-24八年级·四川南充·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标的规律的探索问题，根据反射角与入射角相等作出图形，可知每次反弹为一次循环，用除以，得到余数，根据余数的情况确定所对应的点的坐标即可，根据点的坐标找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：如图，可知点从射出后碰到矩形边上的点依次为，，，，，，即第次碰撞时，回到出发点， ∵， ∴经历个循环之后又碰了次， 第次坐标为， 故选：．    3．（23-24八年级·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解． 【详解】解： ，，，，，，，… （n为正整数）， 解得， ． 故选：C． 4．（23-24八年级·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可． 由题意易知圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动半圆所需2秒，即可求解． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， 点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点P运动半圆所需（秒）， 第1秒时，点P的坐标为；第2秒时，点P的坐标为；第3秒时，点P的坐标为；第4秒时，点P的坐标为；； 综上可知：第2024秒时，点P的坐标是； 故答案为：． 5．（23-24八年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为，第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，……，这个动点第2024次平移到 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律问题，熟练找到点的坐标规律是解题的关键． 根据题意找出点的坐标规律即可得出答案． 【详解】解：第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，第四次平移到，第五次平移到，第六次平移到，第七次平移到，第八次平移到，第九次平移到，……，由此可得每三次得到一个循环， ， 第2024次平移到， 故答案为：． 6．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若十个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，已知是第一个点，则第74个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意和图象中的点的坐标，可以发现这些点的变化规律，从而可以求得第74个点的坐标． 【详解】观察图形可知，横坐标是1的点有1个，横坐标是2的点有2个，横坐标是3的点有3个，…； 横坐标为奇数时，点的运动方向是从上往下，偶数时，从下往上； 第74个点的横坐标为，纵坐标为 第74个点的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查规律性：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标． 【考点2 平面直角坐标系中的动点问题探究】 7．（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 8．（23-24八年级·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 【答案】4或或14 【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出，再分当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，三种情况根据三角形面积公式列出方程求出点P的运动路程，进而求出运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为， ∴， 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为4秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 当点P在上时， ∵三角形的面积是8， ∴，即， ∴， ∴此时运动时间为秒； 综上所述，P点运动的时间为4秒或秒或14秒， 故答案为：4或或14． 9．（23-24八年级·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿 以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，设运动时间为秒． （1）当点在线段上运动时，用含的式子表示线段的长 ； （2）若x轴上有一点  ，连接．是否存在这样的t值，使得三角形的面积是四边形面积的？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，一元一次方程的应用，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论，，当点在线段上时，根据，，，得到，，于是得到结论； （2）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）轴于，轴于，点， ， 四边形是矩形， ，， 当点在线段上时， ，， ； （2）存在两个符合条件的值， 当点在线段上时， 点走过的路程． 当点在线段上时 ， 解得：， ∴ 此时 当点在线段上时， ， 解得：， ∴ 此时 综上：满足条件的，． 10．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为，，，点P从点B出发，沿﹣运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒；点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发，在DA间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，当时，点P的坐标为 . 【答案】或或 【分析】由题意易得，然后根据题意可分三种情况，然后分类求解即可． 【详解】解：∵点A，B，D的坐标为，，， ∴， ∴， 由题意可知， ①当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示： ∴， 此时点P的坐标为； ②当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示： 由点Q在DA间往返运动，所以设点Q在DA间往返运动n次后存在， ∴， 整理得：， 由①可知：当时，PQ与OB第一次平行， ∴当时，则有，此时满足题意； ∴点 ③当点P在线段CA上时，即，此时要满足，则有点A与点Q重合，如图所示： ∴， 此时点Q刚好与点A重合，满足题意； ∴ 综上所述：当时，点P的坐标为或或； 故答案为或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标及平行线的性质，熟练掌握图形与坐标及平行线的性质是解题的关键． 【考点3 坐标与图形性质】 11．（23-24八年级·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，过点作轴，根据平移的性质，得到，求出，设，根据，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：过点作轴， ∵线段向右平移4个单位到线段，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（23-24八年级·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 或， 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，设点坐标为，则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求出的值，再写出点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点坐标为， 根据题意得：， 解得或， ∴点坐标为 或， 故答案为： 或． 14．（23-24八年级·山东德州·期中）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点B，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标为，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，将其代入和可求出点横纵坐标的绝对值，结合点的位置，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， 设小长方形纸片的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【考点4 根据情景确定函数图象】 15．（2024·湖北随州·中考真题）小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（）与出发时间（）之间的对应关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果． 【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线； 中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线； 从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线； 结合四个选项，B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键． 16．（23-24八年级·山东青岛·期中）从甲地到乙地的铁路路程约为600千米，高铁速度为300千米/小时，中途不停；动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州6分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y（千米）与动车行驶时间x（小时）之间的函数图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查函数与函数的图象．先根据两车并非同时出发，得出D选项错误；再根据高铁从甲地到乙地的时间以及动车从甲地到乙地的时间，得出两车到达乙地的时间差，结合图形排除A、C选项，即可得出结论． 【详解】解：由题可得，两车并非同时出发，故D选项不符合题意； 高铁从甲地到乙地的时间为h 动车从甲地到乙地的时间为 h， 动车先出发半小时， 两车到达乙地的时间差为h，该时间差小于动车从甲地到乙地所需时间的一半，故A选项不符合题意； ， 两车到达乙地的时间差大于半小时，故B选项错误， 动车行驶180千米所需的时间为h，而高铁迟出发h， ，故C选项符合题意． 故选：C． 17．（23-24八年级·广东广州·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．这个容器的形状可能是下面图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，理解容器粗细和水面高度变化的关系成为解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细作出判断即可． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡、平、陡；那么速度就相应的变化即快、慢、快，跟所给容器的粗细为细、粗、细．则相应的排列顺序就为D． 故选：D． 18．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）在秋季越野赛中，甲、乙两人同时出发且同时到达终点，甲在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行，后一半的时间以米/秒的速度匀速前行，而乙在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行，后一半的时间以米/秒的速度匀速前行，且．关于甲乙二人从起点到终点的路程S与时间t的函数图象，下列选项中正确的是(    ) A．甲是图1，乙是图3 B．甲是图4，乙是图2 C．甲是图3，乙是图l D．甲是图2，乙是图4 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，根据甲前一半的时间的速度大于后一半的时间的速度可得出甲在前一半的时间的路程小于后一半的时间的路程，同理可得乙在前一半的时间的路程大于后一半的时间的路程，即可得出答案． 【详解】解：∵甲在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行，后一半的时间以米/秒的速度匀速前行且， ∴甲在前一半的时间的路程小于后一半的时间的路程， 故图2符合题意； ∵乙在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行，后一半的时间以米/秒的速度匀速前行，且， ∴乙在前一半的时间的路程大于后一半的时间的路程， 故图4符合题意； 故选：D． 19．（23-24八年级·江西吉安·期末）如图，在大水杯中放了一个小水杯，两个水杯内均没有水。现向小水杯中匀速注水，小水杯注满后，以同样的速度继续注水，则大水杯的液面高度与注水时间的大致图象是（    ） A． B． C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：刚开始向小水杯中匀速注水，小水杯液面高度上升，大水杯液面保持不变，为，直到小水杯注满水后，开始向大水杯注水，此时大水杯液面高度开始匀速上升，直到大水杯液面平到小水杯液面，然后大水杯液面继续匀速上升，但上升速度更慢， 故选：． 20．（2024·河北邢台·一模）船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度，则小艇离乙港的距离与时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数图象的意义求解． 【详解】解：由题意可得小艇离乙港的距离 y 与时间 t 之间的函数关系大致如下： 从t=0开始，y逐渐减小，然后因小王返回，所以y逐渐增大到t=0时的值， 因为小王到达甲港后，找重要物品耽误了一段时间，所以y值接下来有一段与t=0时相同， 然后因为小王回乙港时，加快了航行速度，所以最后一段应该是y在比较短的时间快速减为0， 根据以上描述，正确答案应为B， 故选B． 【点睛】本题考查函数图象的应用，熟练掌握函数图象、自变量与因变量的意义是解题关键． 【考点5 一次函数中的面积计算】 21．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，动点问题，解题的关键是读懂函数图像与动点之间的关系．由函数图象可知P在上运动了，在上运动了，在上运动了，即可求出它们的长，再结合长方形性质和的面积即可求出在边上的高，从而可求出的值． 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点的运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 22．（23-24八年级·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、 (1)求直线的解析式； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，如果面积等于，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的运用，考查了过两点确定一条直线，考查了知道直线斜率和一点求直线， （1）设过点A，B的直线，代入坐标后求得b，k从而求得直线解析式； （2）先求出直线的的解析式，再由平行设直线的解析式为，代入，求得c则得到直线解析式，最后求点的坐标即可； （3）设，表示出面积，并求出的面积，再根据面积关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线为， 代入点，得， 解得 所以直线为． （2）解：设的解析式为，把，代入， 则， 解得：． 则， 当时，，则， ∵ ∴设直线的解析式为， 代入点，得 ∴直线为， 当时，， 则点E为 （3）解：∵点是直线上一动点， ∴设， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵面积等于， ∴，解得， ∴或． 23．（23-24八年级·四川达州·期中）如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． (1)求的值和两直线交点的坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1)，，点的坐标为； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法求出的值，进而可得一次函数解析式，再联立函数解析式可得方程组，解方程组即可得到点的坐标； （）求出点坐标，可得，再根据即可求解； （）根据图象解答即可求解； 本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数与不等式，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的函数解析式为， 由，解得， ∴点的坐标为； （2）解：把代入得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图象可得，当时，， ∴时自变量的取值范围为． 24．（23-24八年级·浙江金华·期中）如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标（要求写过程）． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法和步骤． （1）把代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）先求出点D的坐标，再根据的面积，即可解答； （3）设，先求出点C的坐标，再根据的面积为6，得出，求出，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， ∴，则， ∴的面积； （3）解：设， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵的面积为6， ∴，即， 解得：， 当点P在点C左边时：， 当点P在点C右边时：， ∴或． 25．（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)点P坐标为 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求一次函数表达式、两直线的交点问题、坐标与图形，正确求得函数表达式和交点坐标是解答的关键． （1）令直线的解析表达式求解点D坐标即可； （2）根据图象所给点A、B坐标，利用待定系数法求解直线的表达式即可； （3）先求得点C坐标，进而求得，然后利用坐标与图形得到点P的纵坐标是3，进而代入直线的表达式中求解x值即可． 【详解】（1）解：由，当，得，解得， 所以点D坐标为； （2）解：设直线的解析表达式为， 由图象知直线经过和， 得方程组，解得， 直线的解析表达式为； （3）解：由，解得，则． ∴， ∵． ∴． 与底都是，由面积相等得高相等．则高就是C到边的距离． 即C纵坐标的绝对值，则P到距离为． ∴P纵坐标的绝对值3，又点P不与点C重合． ∴点P纵坐标是3． 由，解得， 所以点P坐标为． 26．（23-24八年级·山西临汾·期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点，其中点的坐标为，直线与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为2， (1)求直线与的函数表达式； (2)如图②，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，与直线交于点，若点的坐标为，求的面积； (3)请直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、一次函数与坐标轴的交点问题． （1）把代入求得，再求得点的坐标是，再利用待定系数法即可求解； （2）先求得点M和点N的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴直线； ∵点的横坐标为2，且点在直线上， ∴， ∴点的坐标是， 把点代入，得， 解得， ； （2）解：∵点的坐标为， 当时，，， ∴点M的坐标是，点N的坐标是， ， ∵点的坐标是， ∴的面积为； （3）解：观察图象可知，当时，的取值范围为． 【考点6 与一次函数有关的规律问题】 27．（23-24八年级·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x 和 y＝﹣x 的图象分别为直线 l1， l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过 A1点作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交  l1于点 A3，过点  A3作 y 轴的垂线交  l2于点 A4，… 依次进行下去，则点 A2021的坐标为（ ） A．（1012，1016） B．（-1012，1014） C．（，） D．（，） 【答案】C 【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 同理可得：，，，，，，，， ，，，为自然数 ， 点的坐标为，即 故选C． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”是解题的关键． 28．（23-24八年级·山东威海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次标记为，，，…，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线解析式判断出直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出OA1，即第一个正方形的边长，同理依次求出第二个、第三个正方形的边长，然后根据规律写出第n个正方形的边长，如果根据阴影部分的面积等于相应正方形的面积的一半列式计算即可得解． 【详解】∵直线y=x+1的k=1， ∴直线与x轴的夹角为45°， ∴直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形， 当x=0时，y=1， 所以，OA1=1， 即第一个正方形的边长为1， 所以，第二个正方形的边长为1+1=2， 第三个正方形的边长为2+2=4=22， …， 第n+1个正方形的边长为2n， ∴S1=×1×1=， S2=×2×2=， S3=×22×22=， …， Sn+1=×2n×2n==22n-1． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 29．（23-24八年级·河北石家庄·期中）已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，代入，可得出的值，利用三角形的面积公式可求出的值；分别代入求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为 ， ∴两直线与轴交点间的距离 ． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故答案为：；1；． 30．（23-24八年级·山东东营·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与正方形综合，熟练掌握一次函数的图象和性质，正方形的性质，点坐标规律，是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点、的坐标，同理可得出、、、、…及、、、、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，依此规律即可得出结论． 【详解】当时，， 解得：， ∴点． ∵四边形为正方形， ∴点． 同理，可得出：，，，，…， ∴，，，，…， ∴（n为正整数）， ∴点． 故答案为：． 31．（23-24八年级·山东菏泽·期中）如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据中，时，，得到，，，根据平分一、三象限夹角，得到，根据轴，得到，得到，根据时，，得到，，根据时，，得到，，发现规律，，…，得到 ，． 【详解】解：∵中，时，， ∴，，， ∵是一、三象限角平分线， ∴， ∵轴， ∴°， ∴， ∴， 当时，， ∴，， 同理，， 当时，， ∴，， ∴发现规律，，， …， ∴ ，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和正比例函数，解决问题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的图象和性质，规律性过一次函数和正比例函数图象上的点做x轴和y轴的平行线产生的线段的长的规律． 【考点7 一次函数图象的应用】 32．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；②；③点D的坐标为；④图中a的值是，其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发10分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程=速度×时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求OA与CD解析式可判断②，先求出点C货车的时间，用轿车修车20分钟-BC段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点D的坐标可判断③；求出轿车速度2000×=1800（米/分），到x=a时轿车追上货车两车相遇，列方程（a-65）×（1800-1500）=27500，解得a=可判断④． 【详解】解：由图象可知，当x=10时，轿车开始出发；当x=45时，轿车开始发生故障，则x=45-5=40（分钟），即货车出发40分钟时，轿车追上了货车， 设货车速度为x米/分，轿车故障前的速度为y米/分，根据题意， 得：， 解得：， ∴货车的速度为1500米/分，轿车故障前的速度是2000米/分， 故①货车的速度为1500米/分正确； ∵A(10,15000) 设OA解析式：过点O（0，0）与点A，代入坐标得 解得 ∴OA解析式： 点C表示货车追上轿车，从B到C表示货车追及的距离是2500，货车所用速度为1500， 追及时间为分 点C（，0） CD段表示货车用20-分钟行走的路程， D点的横坐标为45+20=65分，纵坐标米， ∴D（65,27500） 故③点D的坐标为正确； 设CD解析式为，代入坐标得 解得 ∴CD解析式为 ∵OA与CD解析式中的k相同， ∴OA∥CD， ∴②正确； D点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为：2000×=1800（米/分）， 到x=a时轿车追上货车两车相遇， ∴（a-65）×（1800-1500）=27500， 解得a=65+， 即图中a的值是； 故④图中a的值是正确， 正确的结论有4个． 故选择D． 【点睛】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，解答本题的关键是明确题意，从图像中获取信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想，方程思想解答． 33．（23-24八年级·江苏南通·期中）如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程（千米）与计费（元）之间的函数关系图象．有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；③点A的坐标是；④甲、乙两地之间的路程是15千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系图象的拐点为，即可得知结论成立； ②根据“单价超出费用超出距离”即可算出“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费价格，从而得知结论成立； ③设出“滴滴顺风车”与“滴滴快车”超出部分的函数解析式，利用待定系数法求出两个函数解析式，再联立成方程组，解方程组即可得出A点的坐标，从而得知结论成立； ④将分别代入、中，求出费用即可判定结论成立． 【详解】①根据“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系图象可知：行驶里程不超过5公里计费8元，即①正确； ②“滴滴顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为（元），故②正确； ③设时，“滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为， 将，代入函数解析式得： ， 解得： “滴滴快车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为； 当时，设“滴滴顺风车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为， 将、代入函数解析式得： ， 解得： “滴滴顺风车”的行驶里程（公里）与计费（元）之间的函数关系式为 联立、得： ， 解得： 点的坐标为，故③正确； ④将分别代入，， 即甲、乙两地之间的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用元，故④正确． 综上可知，正确的结论个数为4个． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解二元一次方程组，解题的关键是：结合图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式． 34．（23-24八年级·山东青岛·期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离AB中点C的路程千米与甲车出发时间时的关系图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．A，B两地之间的距离为180千米 B．乙车的速度为36千米时 C．a的值为 D．当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米 【答案】D 【分析】根据两车相遇时甲、乙所走路程的比为2：3及两车相遇所用时间，即可求出A、B两地之间的距离；根据乙车的速度＝相遇时乙车行驶的路程÷两车相遇所用时间，进而求出乙车的速度；根据甲车的速度＝相遇时甲车行驶的路程÷两车相遇所用时间即可求出甲车的速度，然后根据时间＝两地之间路程的一半÷甲车的速度，进而求出a值；根据时间＝两地之间路程÷乙车的速度求出乙车到达终点所用时间，再求出该时间内甲车行驶的路程，用两地间的距离与甲车行驶的路程之差即可得出结论． 【详解】解：A、A、B两地之间的距离为18×2÷＝180（千米），所以A正确； B、乙车的速度为180÷3＝36（千米/小时），所以B正确； C、甲车的速度为180=24（千米/小时）， a的值为180÷2÷24＝3.75，所以C正确； D、乙车到达终点的时间为180÷36＝5（小时）， 甲车行驶5小时的路程为24×5＝120（千米）， 当乙车到达终点时，甲车距离终点距离为180﹣120＝60（千米），所以D错误． 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，结合函数的图象并逐一求出选项的内容判断正误是解题的关键 35．（23-24八年级·重庆·期中）小明和小李住在同一个小区，暑假期间，他们相约去缙云山某地露营；小明先出发5分钟后，小李以65米/分的速度从小区出发，小明到达相约地点后放下装备，休息了10分钟，立即按原路以另一速度返回，途中与小李相遇，随后他们一起步行到达目的地．小李与小明之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的关系如图，则下列说法正确的是（      ） A．小明首次到达目的地之前的速度是75米/分 B．小明首次到达目的地时，小李距离目的地还有200米 C．从小区到目的地路程为2800米 D．小明返回时的速度是33米分 【答案】C 【分析】根据图象可知，小明5分钟行走400米，可求速度，到达目的地用时35分，可求总路程，再根据小李行走时间可知小李走的路程，利用两人相向而行时，两分钟相遇可求小明返回时速度，即可得出答案． 【详解】解：A、小明首次到达目的地之前的速度是米/分，A不正确； B、两地间的距离为：80×35＝2800（米）． 小李在小明到达目的地时行走的路程为：65×（35-30）＝1950（米）． 2800-1950=850（米）， 此时，小李距目的地还有850米，B不正确；C正确； D、850-65×10=200（米），200÷（47-45）＝100（米/分），100-65=35（米/分）．D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，点的坐标的运用，解答时认真分析函数图象的意义是关键． 36．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）一辆客车和一辆轿车匀速从起点甲地沿同一路线开往终点乙地，已知客车先出发一段时间后轿车再出发，在行驶过程中，两车之间的距离y（千米）和客车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示．请根据图中信息，则数a= ． 【答案】3.4 【分析】根据题意和函数图象可以得到客车的速度，然后根据图象中的数据可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：由图可得， 客车的速度为60千米/时， 设甲乙两地的路程为S千米， 则轿车的速度为：＝， ， 解得， 故答案为：3.4． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 37．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）在一次自行车越野赛中，出发mh后，小明骑行了25km，小刚骑行了18km，此后两人分别以akm/h，bkm/h匀速骑行，他们骑行的时间t（单位：h）与骑行的路程s（单位：km）之间的函数关系如图所示，观察图象，下列说法： ①出发mh内小明的速度比小刚快；② a=26；③小刚追上小明时离起点43km；④此次越野赛的全程为90km，正确的有 （把正确结论的序号填在横线上）. 【答案】①②④ 【详解】试题解析：由图象可知， 出发mh内小明的速度比小刚快，故①正确； 由图象可得，， 解得，， 故②正确； 小刚追上小明走过的路程是：36×（0.5+0.7）=36×1.2=43.2km＞43km，故③错误； 此次越野赛的全程是：36×（0.5+2）=36×2.5=90km，故④正确； 故答案为①②④． 38．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示，是第一列动车组列车离开甲城的距离（）与运行时间（）的函数图象，是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程（）与运行时间（）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）点的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间________（填“早”或“晚”），点的纵坐标300的意义是________； （2）请你在图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程（）与时间（）的函数图象； （3）若普通快车的速度为， ①求的解析式，并写出自变量的取值范围； ②第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？ ③请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔时间． 【答案】（1）晚，甲、乙两城相距；（2）作图见解析；（3）①，自变量的取值范围是；②第二列动车组列车发车1小时后与普通快车相遇；③小时 【分析】（1）分析图象即可求解； （2）因为每隔一小时发车一辆，所以过点（1,0）作一条平行于OA的线段即可； （3）①利用两点法代入点坐标即可求出解析式； ②写出第二列动车组列车的函数解析式，与普通列车联立解方程组； ③求出与第一列动车组列车相遇的时间在上一问的基础上求差就可以． 【详解】解：（1）晚，甲、乙两城相距． （2）因为每隔一小时发车一辆，所以如图，过点（1,0）作一条平行于OA的线段MN： （3）①设直线的解析式为， ，， 解得， ， 自变量的取值范围是． ②设直线的解析式为， ，， ， 解得， ． 由①可知直线解析式为， ， 解得， ． 答：第二列动车组列车发车1小时后与普通快车相遇． ③根据题意，第一列动车组列车解析式为， ， 解得， 小时（或36分钟）． 【点睛】此题信息量比较大考查点也比较多，有待定系数法求一次函数解析式，还有一次函数与二元一次方程组的应用，因此熟练掌握教材基础知识和基本技能对学习好数学非常重要． 【考点8 一次函数的实际应用】 39．（23-24八年级·云南楚雄·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】（1）y1=4500x+1500；y2=4800x；（2）答案见解析；（3）从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）①若甲商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＜4800x，解此不等式，即可求得答案； ②若乙商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＞4800x，解此不等式，即可求得答案； ③若两家商场收费相同，可得方程4500x+1500=4800x，解此方程，即可求得答案； （3）根据题意列出函数解析式，再根据增减性即可进行解答． 【详解】解：（1）y1=6000+（1-25%）×6000（x-1）=4500x+1500； y2=（1-20%）×6000x=4800x； （2）设学校购买x台电脑， 若到甲商场购买更优惠，则： 4500x+1500＜4800x， 解得：x＞5， 即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠； 若到乙商场购买更优惠，则： 4500x+1500＞4800x， 解得：x＜5， 即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠； 若两家商场收费相同，则： 4500x+1500=4800x， 解得：x=5， 即当购买5台时，两家商场的收费相同； （3）w=50a+（10-a）60=600-10a， 当a取最大时，费用最小， ∵甲商场只有4台， ∴a取4，W=600-40=560， 即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式实际应用问题，涉及了不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． 40．（23-24八年级·福建泉州·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练和2名新工人每月可安装12辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在(2)的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能的少？ 【答案】（1）；（2）工厂有四种新工人的招聘方案，分别是招聘：2名新工人，4名新工人，6名新工人，8名新工人；（3）工厂应招聘4名新工人，工厂每月支出的工资总额W最小． 【分析】（1）设每名熟练工每月安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可； （2）设抽调m名熟练工与n名新聘工人刚好完成一年的安装任务，根据工人1年完成的总任务为360辆建立方程求出其解即可； （3）根据工资总额=熟练工的工资×人数+新员工的工资×人数，可得出W关于n的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每名熟练工每月安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车．由题意得，， 解得：． 答：每名熟练工每月安装6辆电动汽车，每名新工人每月安装3辆电动汽车； （2）设抽调m名熟练工与n名新聘工人刚好完成一年的安装任务， 由题意得12（6m+3n）=360， ∴m=5－． ∵m为正整数， ∴n为偶数． ∵0＜n＜10， ∴n=2，4，6，8， ∴m=4，3，2，1， ∴工厂有四种新工人的招聘方案，分别是招聘：2名新工人，4名新工人，6名新工人，8名新工人． （3）根据题意得：W=1200n+（5－n）×2000=200n+10000． ∵要使新工人数量多于熟练工， ∴n=4、6、8． ∵200＞0，w随n的增大而增大 ∴当n=4时，W取最小值， ∴工厂应招聘4名新工人，工厂每月支出的工资总额W最小． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于n的函数关系式． 41．（23-24八年级·河南南阳·期中）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． (1)若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？ (2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？ 【答案】(1)每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元 (2)购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元 【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润每个的利润销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题， 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】（1）解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴ 故答案为：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元． （2）解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个， 根据题意得：， 解得：， 设商店共获利w元，则，即 ∵， ∴w随m的增大而增大，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为500． 故答案为：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元． 42．（2024·广东深圳·二模）某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元． (1)求A、B两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元． (2)该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元． 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，然后根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“利用总利润=每辆车的销售利润×购进数量”可得，然后再根据“购进B型车的数量不少于A型车的2倍”列出不等式求得a的取值范围，然后再根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元． 依题意，得：，解得：． 答：A型汽车每辆的进价为20万元，B型汽车每辆的进价为16万元． （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝20时，． 答：该店应购进A型汽车20辆、B型汽车40辆时，利润最大，最大利润是260万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，找准等量关系、正确列出二元一次方程组以及列出w关于a的函数关系式是解答本题的关键． 43．（23-24八年级·河北邯郸·期中）有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设滑块滑动的时间为，滑块在从左向右滑动过程中，当时，滑块右端离点的距离为，滑块从点出发到最后返回点，整个过程用时（含停顿时间）． (1)求轨道的长度； (2)设滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记． 求的值； 求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2) ；当时，；当时，；当时，． 【分析】（）根据题意即可求解； （）求出滑块从返回到所用的时间，再用返回的路程除以返回的时间即可求解； 分三种情况：，，，进行解答即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，一次函数的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴轨道的长度为； （2）解：∵滑块从点到点所用的时间为（）， ∴滑块从返回到所用的时间为， ∴滑块返回的速度为，即； 当滑块从点到点时，即， ，， ， 即； 当滑块到达点停留时，即， ，， ， 即； 当滑块从点到点时，即， ∵， ， ， 即； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 44．（23-24八年级·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 【答案】(1)元，千克 (2) (3)从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【详解】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 45．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）为了增强学生体质，丰富学生的学习生活，某校设置了室外活动课，并决定购买排球和跳绳共件．已知每根跳绳的价格为元，每个排球的价格为元． (1)请写出购买跳绳和排球的总费用为（元）与购买跳绳个数（个）的函数关系式； (2)若购买跳绳的费用不多于元，求出总费用（元）的最小值． 【答案】(1) (2)总费用（元）的最小值为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）购买跳绳的数量为个，则购买排球的数量为个，结合题意即可列出关系式； （2）先根据题意求出的取值范围，结合一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：购买跳绳的数量为个，则购买排球的数量为个， 根据题意可得：， 整理得：． （2）解：∵购买跳绳的费用不多于元， 即， 解得：， 在， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，总费用达到最小值， 将代入，得， ∴总费用（元）的最小值为元． 46．（23-24八年级·四川内江·期中）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于18000元且不少于17400元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)甲型口罩的售价为每箱1390元，销售一箱乙型口罩，利润率为，为了促销，公司决定每售出一箱甲型口罩，返还顾客现金a元，而乙型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求a的值． 【答案】(1)甲型口罩每箱的进价为1000元，乙型口罩每箱的进价为800元 (2)共有4种进货方案，方案1：购进7箱甲型口罩，13箱乙型口罩；方案2：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩；方案3：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩；方案4：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩 (3)70 【分析】（1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，根据进货总价不多于18000元且不少于17400元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润=每箱利润×销售数量（进货数量），即可得出w关于m的函数关系式，由（2）中所有方案获利相同可得出，解之即可得出a的值． 【详解】（1）解：设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元， 依题意，得：，解得：． 答：甲型口罩每箱的进价为1000元，乙型口罩每箱的进价为800元． （2）解∶设购进m箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩， 依题意，得：， 解得：． ∵m为整数， ∴m可取7、8、9、10． ∴共有4种进货方案， 方案1：购进7箱甲型口罩，13箱乙型口罩； 方案2：购进8箱甲型口罩，12箱乙型口罩； 方案3：购进9箱甲型口罩，11箱乙型口罩； 方案4：购进10箱甲型口罩，10箱乙型口罩． （3）解：设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，依题意，得： ． ∵（2）中所有方案获利相同，即w的值与m无关， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 【考点9 三角形的三边关系的应用】 47．（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（    ） A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 【答案】D 【分析】先设长度为4、12的高分别是a、b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根据三角形面积公式，可求a=；b=；c=，结合三角形三边的不等关系，可得关于h的不等式，解不等式即可． 【详解】设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=；b=；c= ∵a-b＜c＜a+b， ∴-＜c＜+， 即 ＜＜， 解得3＜h＜6， ∴h=4或h=5， 故选D. 【点睛】主要考查三角形三边关系；利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键. 48．（23-24八年级·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ． 【答案】11 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴选4，5，7，9， 如图，①当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是8， ②当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 如图，当时， ③当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是11， ④当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11． 故答案为：11． 49．（23-24八年级·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 10或12或13或14 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解． 【详解】：（1）①， ∴能组成“不均衡三角形”； ②， ∴不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当16为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， ， 经检验，当时，可构成三角形； ③当为最长边，16为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， 或或，都可以构成三角形； 综上所述，的整数值为或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【考点10 由三角形的中线求面积最值】 50．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 51．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 【考点11 与平行线有关的三角形的内角和问题】 52．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 53．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①∠BAD的度数是 ； ②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A． (2)如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值． (3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P， ①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值； ②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)；24 (2) (3)；当时，，当时， 【分析】（1）①根据平行线的性质可求得； ②根据邻补角的定义求得，进而求得结论； （2）根据平行线的性质得出，即可得出等式，解出即为所求； （3）①根据三角形内角和定理得解出即可； ②借助图形可求得的度数． 【详解】（1）① ， ，， ． 故答案为：120°． ② ， ， 当射线BN过点A时， ，， 当旋转时间为24秒时，射线BN过点A． 故答案为：24． （2）若， 根据平行线的性质得， ， ， ， ，解得：， 此时对应时间为20秒． （3）①， ， 根据三角形内角和为得， ， 解得． ②由（2）可知，时时间是20秒， 时，分两种情况： 如图4，当时，； 如图5，当时，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【考点12 与折叠有关的三角形的内角和问题】 54．（23-24八年级·山东青岛·期中）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接． （1）如图1，已知，分别是和角的平分线， ①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小． ②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________． （2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数． 【答案】（1）∠ACB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°． 【分析】（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论； ②图2中，由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论； 图3中，根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论； （2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分情况进行分类讨论即可解答． 【详解】（1）①∠ACB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠PAB+∠ABM=270°， ∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线， ∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°， ∴∠ACB=45°； ②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上， ∴∠CAB=∠BAQ， ∵AC平分∠PAB， ∴∠PAC=∠CAB， ∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°， ∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上， ∴∠ABC=∠ABN， ∵BC平分∠ABM， ∴∠ABC=∠MBC， ∴∠MBC=∠ABC=∠ABN， ∴∠ABO=60°， 故答案为：30，60； （2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF=90°． 在△AEF中， ∵有一个角是另一个角的倍，故有： ①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）； ②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°； ③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；    ④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；． ∴∠ABO为60°或72°． 【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候，一定要注意外角与内角之间的联系，不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想. 55．（23-24八年级·安徽安庆·期中）在中，于点 （1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数； （2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； （3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.    【答案】（1）∠C=56°；（2）∠AMF=∠ANG．证明见解析；（3）满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°. 【分析】（1）利用三角形的内角和定理即可解决问题； （2）结论：∠AMF=∠ANG．由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，由∠B+∠C=90°，推出∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，推出∠BAD+∠CAD=90°，由∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，推出∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，可得∠AMF=∠ANG； （3）分两种情形①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时.分别求解即可解决问题. 【详解】解：（1）如图1中， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△AED中，∵∠EAD=7°， ∴∠AED=83°， ∵∠AED=∠B+∠BAE，∠B=42°， ∴∠BAE=∠CAE=41°， ∴∠BAC=82°， ∴∠C=180°-42°-82°=56°． （2）结论：∠AMF=∠ANG． 理由：如图2中， 由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN， ∵∠B+∠C=90°， ∴∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∵∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG， ∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°， ∴∠AMF=∠ANG． （3）①如图3-1当∠PQB=90°时， ∵∠B=∠F′=28°， ∴∠F′DQ=90°-28°=62°， ∵∠FDB=90°， ∴∠FDF′=90°-62°=28°， ∴旋转角为28°． ②如图3-2，当∠BPQ=90°时， ∵∠B=∠F′=28°， ∴∠PQB=90°-28°=62°， ∵∠PQB=∠F′+∠F′DB， ∴∠F′DB=62°-28°=34°， ∴∠FDF′=90°-34°=56°， ∴旋转角为56°， 同法可得当旋转角为208°或236°时，也满足条件， 综上所述，满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°． 【点睛】本题考查三角形综合题、旋转变换、翻折变换、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考点13 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 56．（23-24八年级·河南信阳·期中）【情景引入】： （1）如图，、分别是的内角、的平分线，说明的理由． 【深入探究】： （2）①如图，、分别是的两个外角、的平分线，与之间的等量关系是______ ； ②如图，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，与之间的等量关系是______ ． 【拓展应用】： （3）请用以上结论解决下列问题：如图，在中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、． ①，则的度数为______ ； ②，则的度数为______ ．    【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）①，② 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）①利用三角形内角和定理可得，，利用角平分线的定义可得，，从而得到，化简即可求解； ②利用三角形的外角性质可得，，从而得到，化简即可求解； （3）由（1）知：，即可求出，利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的性质可得，利用三角形内角和定理可得，再由（2）②可知，求解即可． 【详解】解：（1）、分别是、的平分线， ，， ， ，， ， ； （2）①、分别是的两个外角、的平分线， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； ②、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ，， ， ， ； 所以与之间的等量关系是：， 故答案为：； （3）①由（1）知：， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ． 由（2）②知：， ， 故答案为：； ②由（1）知：， 、分别平分、， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义． 57．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．    (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①；②4γ＝3α+β． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （3）根据已知条件得到各角的数量关系，然后列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵，，， ∴； （2）①如图2，    ∵平分，平分 ， ∴ 由（1）得：， ， 两式相加得：， 即：， ∴， ②如图3，    设，， ∵， ∴，， 由（1）得：，， 即， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等的性质，解此题的关键是用整体思想求角度计算． 【考点14 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 58．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在四边形中，，，E是直线上一点，连接，． (1)如图1，当点E在线段上时，若，，则________； (2)已知，平分，平分，直线、交于点H，请画出图形，并求的度数（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2)图见解析，的度数为或． 【分析】（1）首先证明，然后过点E作，可得，再利用平行线的性质求出，，进而可得的度数； （2）分三种情况讨论：①当点E在上时，②当点E在延长线上时，③当点E在延长线上时，分别利用平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图1，过点E作， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）①当点E在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴； ②当点E在延长线上时，如图所示： 由①知， ∴，即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴； ③当点E在延长线上时，如图所示： 由①知， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ， ； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角的和差计算；正确分类讨论，能够画出对应的图形是解题的关键． 59．（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）①延长交于点N，连接，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况进行讨论：当在之间时，当G在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①延长交于点N，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在之间时，连接，如图所示： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当G在上时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质． 60．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16.3 期中压轴题专项复习【14大考点60题】 （考试范围：第11~13章） 【沪科版】 【考点1 平面直角坐标系中的规律探究】 1 【考点2 平面直角坐标系中的动点问题探究】 3 【考点3 坐标与图形性质】 4 【考点4 根据情景确定函数图象】 5 【考点5 一次函数中的面积计算】 7 【考点6 与一次函数有关的规律问题】 10 【考点7 一次函数图象的应用】 12 【考点8 一次函数的实际应用】 15 【考点9 三角形的三边关系的应用】 18 【考点10 由三角形的中线求面积最值】 18 【考点11 与平行线有关的三角形的内角和问题】 19 【考点12 与折叠有关的三角形的内角和问题】 20 【考点13 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 21 【考点14 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 22 【考点1 平面直角坐标系中的规律探究】 1．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，甲乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动甲按逆时针方向以1个单位/秒的速度匀速运动，乙按顺时针方向以2个单位/秒的速度匀速运动，则甲、乙运动后的第2024次相遇地点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级·四川南充·期中）如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（      ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2024秒时，点P的坐标是 ． 5．（23-24八年级·北京·期中）在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为，第一次平移到，第二次平移到，第三次平移到，……，这个动点第2024次平移到 ． 6．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若十个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，已知是第一个点，则第74个点的坐标为 ． 【考点2 平面直角坐标系中的动点问题探究】 7．（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级·江西宜春·期中）如图所示，在长方形中，点O是平面直角坐标系的原点，B点坐标为，有一动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的路线移动，到A点停止运动．在点P移动的过程中，当三角形的面积是8时，则P点运动的时间为 秒． 9．（23-24八年级·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿 以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，设运动时间为秒． （1）当点在线段上运动时，用含的式子表示线段的长 ； （2）若x轴上有一点  ，连接．是否存在这样的t值，使得三角形的面积是四边形面积的？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ． 10．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为，，，点P从点B出发，沿﹣运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒；点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发，在DA间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，当时，点P的坐标为 . 【考点3 坐标与图形性质】 11．（23-24八年级·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为 ． 12．（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点，线段向右平移4个单位到线段，线段与y轴交于点E，若图中阴影部分面积为24，则C点坐标为 ． 13．（23-24八年级·河南漯河·期中），两点的坐标分别为，，点是轴上一点，且三角形的面积为，则点的坐标为 ． 14．（23-24八年级·山东德州·期中）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点B，则点A的坐标是 ． 【考点4 根据情景确定函数图象】 15．（2024·湖北随州·中考真题）小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（）与出发时间（）之间的对应关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   16．（23-24八年级·山东青岛·期中）从甲地到乙地的铁路路程约为600千米，高铁速度为300千米/小时，中途不停；动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州6分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y（千米）与动车行驶时间x（小时）之间的函数图象为（    ） A．   B．   C．   D．   17．（23-24八年级·广东广州·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．这个容器的形状可能是下面图中的（　　） A． B． C． D． 18．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）在秋季越野赛中，甲、乙两人同时出发且同时到达终点，甲在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行，后一半的时间以米/秒的速度匀速前行，而乙在前一半的时间以米/秒的速度匀速前行，后一半的时间以米/秒的速度匀速前行，且．关于甲乙二人从起点到终点的路程S与时间t的函数图象，下列选项中正确的是(    ) A．甲是图1，乙是图3 B．甲是图4，乙是图2 C．甲是图3，乙是图l D．甲是图2，乙是图4 19．（23-24八年级·江西吉安·期末）如图，在大水杯中放了一个小水杯，两个水杯内均没有水。现向小水杯中匀速注水，小水杯注满后，以同样的速度继续注水，则大水杯的液面高度与注水时间的大致图象是（    ） A． B． C．   D．   20．（2024·河北邢台·一模）船工小王驾驶一艘小艇匀速从甲港向乙港航行，离开甲港后不久便发现有重要物品落在甲港，小王马上驾驶小艇以相同的速度驰回甲港，到达甲港后，因找重要物品耽误了一段时间，为了按时到达乙港，小王回乙港时，加快了航行速度，则小艇离乙港的距离与时间之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【考点5 一次函数中的面积计算】 21．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 22．（23-24八年级·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、 (1)求直线的解析式； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，如果面积等于，直接写出点的坐标． 23．（23-24八年级·四川达州·期中）如图，直线与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点．两条直线相交于点，连接． (1)求的值和两直线交点的坐标； (2)求的面积； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 24．（23-24八年级·浙江金华·期中）如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标（要求写过程）． 25．（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，直线的解析表达式为，且与x轴交于点D．直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的表达式； (3)在直线上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，求点P的坐标． 26．（23-24八年级·山西临汾·期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点，其中点的坐标为，直线与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为2， (1)求直线与的函数表达式； (2)如图②，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，与直线交于点，若点的坐标为，求的面积； (3)请直接写出时，的取值范围． 【考点6 与一次函数有关的规律问题】 27．（23-24八年级·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x 和 y＝﹣x 的图象分别为直线 l1， l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过 A1点作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交  l1于点 A3，过点  A3作 y 轴的垂线交  l2于点 A4，… 依次进行下去，则点 A2021的坐标为（ ） A．（1012，1016） B．（-1012，1014） C．（，） D．（，） 28．（23-24八年级·山东威海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次标记为，，，…，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级·河北石家庄·期中）已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 30．（23-24八年级·山东东营·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，…在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ． 31．（23-24八年级·山东菏泽·期中）如图，直线：与轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线：于点，过点作y轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则 ．    【考点7 一次函数图象的应用】 32．（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；②；③点D的坐标为；④图中a的值是，其中正确的结论有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 33．（23-24八年级·江苏南通·期中）如图所示的是“顺风车”与“快车”的行驶里程（千米）与计费（元）之间的函数关系图象．有下列说法：①“快车”行驶里程不超过5千米计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2千米的部分，每千米计费1.2元；③点A的坐标是；④甲、乙两地之间的路程是15千米，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（23-24八年级·山东青岛·期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为，甲、乙两车离AB中点C的路程千米与甲车出发时间时的关系图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．A，B两地之间的距离为180千米 B．乙车的速度为36千米时 C．a的值为 D．当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米 35．（23-24八年级·重庆·期中）小明和小李住在同一个小区，暑假期间，他们相约去缙云山某地露营；小明先出发5分钟后，小李以65米/分的速度从小区出发，小明到达相约地点后放下装备，休息了10分钟，立即按原路以另一速度返回，途中与小李相遇，随后他们一起步行到达目的地．小李与小明之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的关系如图，则下列说法正确的是（      ） A．小明首次到达目的地之前的速度是75米/分 B．小明首次到达目的地时，小李距离目的地还有200米 C．从小区到目的地路程为2800米 D．小明返回时的速度是33米分 36．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）一辆客车和一辆轿车匀速从起点甲地沿同一路线开往终点乙地，已知客车先出发一段时间后轿车再出发，在行驶过程中，两车之间的距离y（千米）和客车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示．请根据图中信息，则数a= ． 37．（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）在一次自行车越野赛中，出发mh后，小明骑行了25km，小刚骑行了18km，此后两人分别以akm/h，bkm/h匀速骑行，他们骑行的时间t（单位：h）与骑行的路程s（单位：km）之间的函数关系如图所示，观察图象，下列说法： ①出发mh内小明的速度比小刚快；② a=26；③小刚追上小明时离起点43km；④此次越野赛的全程为90km，正确的有 （把正确结论的序号填在横线上）. 38．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示，是第一列动车组列车离开甲城的距离（）与运行时间（）的函数图象，是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程（）与运行时间（）的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题： （1）点的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间________（填“早”或“晚”），点的纵坐标300的意义是________； （2）请你在图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程（）与时间（）的函数图象； （3）若普通快车的速度为， ①求的解析式，并写出自变量的取值范围； ②第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？ ③请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔时间． 【考点8 一次函数的实际应用】 39．（23-24八年级·云南楚雄·期中）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 40．（23-24八年级·福建泉州·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练和2名新工人每月可安装12辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在(2)的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能的少？ 41．（23-24八年级·河南南阳·期中）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． (1)若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？ (2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？ 42．（2024·广东深圳·二模）某新能源汽车经销商购进A、B两种型号的新能源汽车，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计88万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计92万元． (1)求A、B两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍，设购进a辆A型车，60辆车全部售完获利w万元，该经销商应购进A，B两种型号车各多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？ 43．（23-24八年级·河北邯郸·期中）有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设滑块滑动的时间为，滑块在从左向右滑动过程中，当时，滑块右端离点的距离为，滑块从点出发到最后返回点，整个过程用时（含停顿时间）． (1)求轨道的长度； (2)设滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记． 求的值； 求与之间的函数关系式． 44．（23-24八年级·安徽安庆·期中）某超市需每天从外地调运鸡蛋千克，超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出千克，乙养殖场每天最多可调出千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表： 到超市的路程（千米） 运费（元千克千米） 甲养殖场 乙养殖场 设从甲养殖场调运鸡蛋千克，总运费为元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为__________； (2)求出与的函数关系式； (3)怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？ 45．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）为了增强学生体质，丰富学生的学习生活，某校设置了室外活动课，并决定购买排球和跳绳共件．已知每根跳绳的价格为元，每个排球的价格为元． (1)请写出购买跳绳和排球的总费用为（元）与购买跳绳个数（个）的函数关系式； (2)若购买跳绳的费用不多于元，求出总费用（元）的最小值． 46．（23-24八年级·四川内江·期中）新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于18000元且不少于17400元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)甲型口罩的售价为每箱1390元，销售一箱乙型口罩，利润率为，为了促销，公司决定每售出一箱甲型口罩，返还顾客现金a元，而乙型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求a的值． 【考点9 三角形的三边关系的应用】 47．（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（    ） A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 48．（23-24八年级·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ． 49．（23-24八年级·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ． 【考点10 由三角形的中线求面积最值】 50．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 51．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 【考点11 与平行线有关的三角形的内角和问题】 52．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 53．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①∠BAD的度数是 ； ②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A． (2)如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值． (3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P， ①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值； ②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）． 【考点12 与折叠有关的三角形的内角和问题】 54．（23-24八年级·山东青岛·期中）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接． （1）如图1，已知，分别是和角的平分线， ①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小． ②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________． （2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数． 55．（23-24八年级·安徽安庆·期中）在中，于点 （1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数； （2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； （3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.    【考点13 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 56．（23-24八年级·河南信阳·期中）【情景引入】： （1）如图，、分别是的内角、的平分线，说明的理由． 【深入探究】： （2）①如图，、分别是的两个外角、的平分线，与之间的等量关系是______ ； ②如图，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，与之间的等量关系是______ ． 【拓展应用】： （3）请用以上结论解决下列问题：如图，在中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、． ①，则的度数为______ ； ②，则的度数为______ ．    57．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．    (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 【考点14 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 58．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在四边形中，，，E是直线上一点，连接，． (1)如图1，当点E在线段上时，若，，则________； (2)已知，平分，平分，直线、交于点H，请画出图形，并求的度数（用含α的式子表示） 59．（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 60．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$