第23章 解直角三角形（单元综合双卷检测）数学沪科版九年级上册

第23章 解直角三角形章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的定义可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键． 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4．（2024·云南·中考真题）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半． 先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，． 【详解】解：连接，如图，    ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 7．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长交格点于点，连接，分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出，解直角三角形求得的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交格点于点，连接，分别在格点上， 依题意，， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ 故选：B． 9．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 二、填空题 11．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可． 【详解】解：如图，过点F作，垂足为H， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 13．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 【详解】解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 14．（2022·山东滨州·中考真题）在中，，则 ． 【答案】 【分析】根据，得，结合解答即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键． 【详解】解：根据，得， 故． 故答案为：． 三、解答题 15．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．    【答案】， 【分析】根据菱形的性质得出，中，勾股定理求得的长，根据正切的定义即可求解． 【详解】在菱形中，． ∵，∴． 在中，∵为中点， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（2023·江苏盐城·中考真题）计算：. 【答案】 【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂分别化简，进而得出答案． 【详解】原式． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 17．（2024·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得 【详解】解： ． 18．（2023·山东日照·中考真题）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接与交于O，先由平行四边形对角线互相平分得到，再利用证明得到，进而证明，得到，由此即可证明平行四边形是菱形； （2）先由菱形的性质得到，再解， 得到，利用勾股定理求出，则，，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；    （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 19．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． （1）直接根据矩形的判定证明即可； （2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形是矩形． 所以； （2）解：在中，，， 所以， 因为四边形是矩形， 所以，． 因为，所以． 过点O作于点F，则， 所以， 在中，， 所以． 20．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)求证四边形为菱形； (3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据在中，，根据矩形的折叠与勾股定理即可求解； （2）根据（1）的结论分别求得，根据四边相等的四边形是菱形即可得证； （3）分和两种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：如图 四边形是矩形，，， ，， 将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 中，， ， ， 四边形为菱形； （3），设，是直角三角形 设 由（2）可得 ①当时，如图， ，, 解得； ②当时， 同理可得 综上所述，或 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    22．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 23．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知特殊角的三角函数值，求角度，根据，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选A． 2．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，特殊角的三角函数值．先根据特殊三角函数值求出点坐标，再根据对称性解答． 【详解】解：，， 点． 点关于轴对称点的坐标， 关于轴的对称点的坐标是． 故选：B． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 6．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，角的正弦值，能够作出辅助线得到直角三角形是解题关键． 如图，取格点，可通过勾股定理算出三者长度，再通过勾股定理逆定理得到为直角三角形，进而通过正弦的定义即可解题． 【详解】解：取格点，通过勾股定理可算出 ，， 得到 ∴为直角三角形，且 ∴ 故选：A． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的高，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 10．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 二、填空题 11．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在A'处，若的延长线恰好过点C，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键． 先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在中，， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）正方形的边长为6，点E为线段垂直平分线上一点，，连接，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是正方形性质、勾股定理的应用、矩形的判定与性质及求三角函数值计算，分两种情况：当点E在正方形内部或外部时，分别在或中求三角函数值即可． 【详解】解：设线段垂直平分线与边交点为， 在正方形中，， ， 四边形是矩形， ， 当点E在正方形内部时， 在中，， ， ， ， ， ； 当点在正方形外部时， 同理， ， ， ， ； 故答案为：或． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 14．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ． 【答案】1或13 【分析】过点作于点，分高在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解． 【详解】解：过点作于点，分两种情况讨论： ①当在的外部时，如图：    ∵， ∴设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的内部时，如图：    同法可得：， ∴； 综上：1或13； 故答案为：1或13． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 三、解答题 15．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算绝对值、特殊角的三角函数值、乘方、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算： （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． (1)求证： (2)求 的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形与正切．熟练掌握相似三角形的判断和性质，勾股定理解直角 三角形，正切定义，是解决问题的关键． （1）根据中点性质得到，根据，得到，根据，即得； （2）根据相似三角形性质，得到，得到，得到，根据勾股定理得到，，即得． 【详解】（1）∵，  E为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，证明出相似是解题的关键． （1）根据矩形的性质和垂直的意义得到，而由，得到，根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，则． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)，， (2)的长为3 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键， （1）利用勾股定理求出的长，然后由三角函数的定义进行解题； （2）由（1）中正弦三角函数值可以求得斜边的长度，然后根据勾股定理求出的长度，则． 【详解】（1）解：在中， ， ， ，，； （2），， 在中，， ， ， ， ． 20．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）（1）计算：； （2）如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高20米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，求坝底的长度．（精确到0.1米，参考数据：．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）． 【答案】（1）；（2）90.6米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． （1）先计算出特殊的三角函数值，按照运算顺序计算即可； （2）作，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形，利用坡度和正切的定义分别求出米，米．即可求出的长度． 【详解】解：（1）原式 （2）作，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形， 由题意得，米，米，斜坡的坡度为， 在中，， 米． 在中，， 米， （米）． 故坝底AD的长度约为90.6米． 21．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 22．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 【答案】(1)、两地的距离约为339.4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点作于点，可求出，利用含的直角三角形的性质得出，在中，利用正弦定义可求出，即可求解； （2）过点作于点，在中，利用正弦定义可求出、，在中，利用含的直角三角形的性质可求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 由题意知，， ，， ，， 在中，米， （米）， （米）． 答：、两地的距离约为339.4米； （2）解：过点作于点， 由（1）得（米）， ，，， ， ， 在中，，， （米）， 在中，， （米）， （米）． 23．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图1，已知四边形是矩形，，，是，边上的点，以直线为对称轴将矩形进行折叠，点，的对称点分别是，，点落在边上，交于点． (1)如图2，当点与点重合时，连接，求证：四边形是菱形： (2)当时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠得出，，，根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论； （2）如图，过作于，则四边形为矩形，可得，，证明四边形为正方形，而，，可得，，由对折可得：，由，可得，可得，，同理可得：，再进一步可得答案. 【详解】（1）证明：∵以直线为对称轴将矩形进行折叠，点与点重合， ，，， 四边形是矩形，点与点分别是线段，上的点， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）解：如图，过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形，而，， ∴，，，， ∴， ∴， 由对折可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，， 而， ∴. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活运用，本题难度很大，选择合适的方法解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 解直角三角形章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 4．（2024·云南·中考真题）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 7．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川达州·中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，，其中点，，都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D．3 9．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 12．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为 ． 13．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 14．（2022·山东滨州·中考真题）在中，，则 ． 三、解答题 15．（2024·广东深圳·中考真题）计算：． 16． （2023·江苏盐城·中考真题）计算：. 17．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．    18．（2023·山东日照·中考真题）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 19．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，． (1)求证：； (2)点E在边上，满足．若，，求的长及的值． 20．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)求证四边形为菱形； (3)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 22．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 23．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）点关于x轴对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在A'处，若的延长线恰好过点C，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）正方形的边长为6，点E为线段垂直平分线上一点，，连接，则 ． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，，，则 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 16．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 17．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，四边形 中， ， ， ， E为的中点， 连接、． (1)求证： (2)求 的值 18．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，E是矩形的边上的一点，于点F． (1)求证：； (2)若，，则的值是________． 19．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，D是边上一点，，设． (1)求的值； (2)若，求的长． 20．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）（1）计算：； （2）如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高20米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，求坝底的长度．（精确到0.1米，参考数据：．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）． 21．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 22．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，为景区大门，，，分别为三个风景点．经测量，，，在同一直线上，且，在的正北方向，米，点在点的南偏东方向，在点的东南方向．（参考数据：，） (1)求，两地的距离；（结果精确到0.1米） (2)大门在风景点的南偏西方向，景区管理部门决定重新翻修之间的步道，求间的距离． 23．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图1，已知四边形是矩形，，，是，边上的点，以直线为对称轴将矩形进行折叠，点，的对称点分别是，，点落在边上，交于点． (1)如图2，当点与点重合时，连接，求证：四边形是菱形： (2)当时，若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$