第23章 解直角三角形（章末重难点题型复习）数学沪科版九年级上册

第23章 解直角三角形重章末难点题型复习 题型一 解直角三角形的有关概念（锐角三角函数、解直角三角形） 【例题1】（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【变式3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知：如图，等腰中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 题型二 特殊角的三角函数值与实数的运算 【例题2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）解方程：．     （2）计算：． 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)||． 【变式3】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：； （2） 计算：． 题型三 解直角三角形的特殊方法（化斜为直法、补形法） 【例题3】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，求． 【变式1】（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，求长， 【变式2】（22-23九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，求长． 【变式3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，求的长． 题型四 解直角三角形的应用 【例题4】（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 题型五 三个数学思想 思想1：数形结合思想 【例题5】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 【变式3】（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 思想2：分类讨论思想 【例题6】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）等腰三角形的两条边长分别是和，则它底角的正弦值是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形ABCD中，BC＝3AB，点P在直线BC上，且PC＝AB，则∠APB的正切值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，点E在上，，，，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·四川成都）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴轴于A，B两点，点A的坐标为，，过点B的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)点D是直线上一点，当的面积为3时，求点D的坐标； (3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 思想3：方程思想 【例题7】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024九年级上·山东济南·专题练习）中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，等腰、中，，，，于M，连接，若，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上一点，当点不与点重合时，过点作于点，以为边向右侧作正方形． (1)______； (2)当是等腰直角三角形时，求线段的长； (3)连接，求线段的最小值； (4)连接，设线段与线段交点为，当点为线段的三等分点时，直接写出此时的线段的长． 题型六 一个易错点——未明确斜边，易漏解出错 【例题8】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（九年级上·全国·单元测试）在中，，，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（20-21九年级上·江苏泰州·期末）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为 ． 【变式3】（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，四边形中，，对角线，，，点为折线上的点． (1)求的长； (2)若点在的平分线上，求的长； (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23章 解直角三角形重章末难点题型复习 题型一 解直角三角形的有关概念（锐角三角函数、解直角三角形） 【例题1】（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在中，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的运算，根据正弦值是对边与斜边的比值，余弦值是邻边与斜边的比值，正切值是对边与邻边的比值，进行逐个计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键 【变式2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 【变式3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知：如图，等腰中，，于点，点是线段的中点，连接、，过点作交线段的延长线于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，得到，结合点是线段的中点，得到，得到，继而得到，证明即可. （2）代入中，求得，，得到，过点D作于点M，根据，求得，利用勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵，，点是线段的中点， ∴， 过点D作于点M， ∴， 解得， ∴， 根据勾股定理，得， ∴. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握相似的判定性质，直角三角形的特征量，勾股定理，三角函数是解题的关键. 题型二 特殊角的三角函数值与实数的运算 【例题2】（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）解方程：．     （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的混合运算． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：（1） ∴， ∵， ∴， 解得； （2） ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）计算： (1)； (2)||． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的锐角三角函数的混合运算． （1）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可； （2）利用特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【变式3】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ， ． 题型三 解直角三角形的特殊方法（化斜为直法、补形法） 【例题3】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值. 过点A作交于点D，借助特殊角三角函数值求出，然后求出，即可求解． 【详解】解：过点A作交于点D， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，求长， 【答案】 【分析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，， ， ， 在中，， ， 设，， ， ∴， 或（舍去）， ， ， 长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，求长． 【答案】 【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得BC的长度． 【详解】解：过点A作，垂足为 在中，， ， 在中， 长为 【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，掌握利用三角函数求线段长度的方法是解决本题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，求的长． 【答案】34 【分析】本题考查了解直角三角形，如图，延长与交于点E，在中利用三角函数求得，利用勾股定理求得，然后在中利用三角函数的定义求出，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长与延长线交于点E． 在中， ，， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为34． 题型四 解直角三角形的应用 【例题4】（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意画出图形，易得，再解直角三角形，运用三角函数即可求得渔船与灯塔的距离. 【详解】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）某班的同学想测量一教楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度 ，在离C点30米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37°，则一教楼的高度约为（    ）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，， ） A．24.1 B．23.7 C．18.1 D．20.2 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点， 在中利用坡度的定义求得的长，则即可求得，然后在直角中利用三角函数求得的长，进而求得的长. 【详解】延长交直线于点， ∵在中， ， ∴设， 则， 又∵， ∴， ， ∵， ， 在中， ， (米)， ∵， ∴(米)， 故选： B. 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，小华站在长江大堤上的点E处，看见江中有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角，若小华的眼睛与地面的距离是米，米，平行于所在的直线，迎水坡的坡度，坡长为5米，点A，B，C，D，F，E在同一平面上，则此时小船C到岸边的距离的长是 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 把和都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点和点到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得长度即为长度. 【详解】过点作于点， 延长交于点， 得和矩形. 米， 米， 米， 米， 米， (米)， (米)， 在中， 米， 米， 又， 即 (米)， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的．使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，作于点，进而求出的长，再求出的长，即可得出答案．熟练应用锐角三角函数关系是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，作于点， ∵，，， ∴， ∴四边形矩形， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：此时灯罩顶端到桌面的高度是． 题型五 三个数学思想 思想1：数形结合思想 【例题5】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查网格中求三角函数值，涉及网格性质、勾股定理、相似的判定与性质，网格中求角的角的正切值等知识，利用网格中小正方形对角线垂直或平行，作出辅助线，如图所示，再结合相似三角形的判定与性质得到，最后在中，利用正切函数值定义，数形结合代值求解即可得到答案，利用网格性质构造辅助线是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形网格中每个小正方形的边长为个单位长度，如图所示： ，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数． 由勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据正切的定义即可解答． 【详解】∵， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D 【变式2】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、正弦等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关键．结合网格，取的中点为格点，先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，结合网格，取的中点为格点， 设网格纸中的每个小正方形的边长为1， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，，，连接交于点，，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了正切，勾股定理，平行线的性质等知识．熟练掌握正切，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． （1）由，可得，即，设，则，，由勾股定理得，，可求，进而可求； （2）如图，过C作于F，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：如图，过C作于F， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴的长为． 思想2：分类讨论思想 【例题6】（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）等腰三角形的两条边长分别是和，则它底角的正弦值是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了分类讨论的思想和锐角三角函数的概念．此题应分为两种情况：当腰长是时或当腰长是时．如图，作底边上的高，根据等腰三角形的三线合一求得，利用勾股定理求出，从而求得三角形底角的正弦值． 【详解】解：当该三角形的腰长是，底边是时，如图所示， ， 是等腰三角形， ，， ， 底角的正弦值； 当该三角形的腰长是，底边是时，如图所示， 同理得，， 底角的正弦值； 故选：D． 【变式1】（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在矩形ABCD中，BC＝3AB，点P在直线BC上，且PC＝AB，则∠APB的正切值为 ． 【答案】或/或 【分析】由题意可知当P在AB上时，P是AB的中点，即AB=BP；当P在AB延长线上时，BP=3AB，在直角三角形中由正切公式求出即可． 【详解】解：（1）如图1所示， ∵BC=3AB，PC=AB， ∴BP=2PC， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴tan∠APB=； （2）如图2所示， ∵BC=3AB．PC=AB， ∴BP=4AB， ∴tan∠APB=． 综上所述∠APB的正切值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形性质和三角函数的定义，注意分类讨论思想的运用，解题的关键是分两种情况求出AB与BP的关系． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，点E在上，，，，则 ． 【答案】或30 【分析】过点B作交的延长线于点F，延长，交于点P，作交的延长线于点H，过点D作于点G，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，设， 根据，，得出，，求出或，分别根据x的值，分两种情况求出结果即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于点F，延长，交于点P，作交的延长线于点H，过点D作于点G，如图所示：    则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∵， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：或， 经检验或都是所列方程的解， 当时，， 设，则， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时，， 设，则， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：或30． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式3】（24-25九年级上·四川成都）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴轴于A，B两点，点A的坐标为，，过点B的直线与x轴交于点． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)点D是直线上一点，当的面积为3时，求点D的坐标； (3)点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，Q点的坐标为或或或 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质与勾股定理求出，再利用待定系数法即可求解； (2) 设，则，利用含角的直角三角形的性质，得到直角，利用三角形的面积公式，利用解直角三角形的知识，解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法画出符合题意的图形，再利用菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， 直线的解析式为，在直线上， ， 直线的解析式为 点C在x轴上， 令，则． （2）解：∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵点D在直线上， 不妨设， 则， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， 解得， 故或． （3）解：存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， Q点的坐标为或或或．理由： 由题意：，， ， ①过点A作直线，当点Q在直线a上时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，， ，； ②当以为一边时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，， ③当以为一条对角线时，如图， 以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，，， 设， ， 由勾股定理得：， ， ， 综上，存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，菱形的性质，分类讨论的思想方法．利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键． 思想3：方程思想 【例题7】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在Rt中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴由勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选：． 【变式1】（2024九年级上·山东济南·专题练习）中国古代数学家赵爽用四个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为，为直角三角形中的较大锐角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】解：∵小正方形与每个直角三角形面积均为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的边长为，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，(不符合题意，舍去)， ． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，等腰、中，，，，于M，连接，若，则 ． 【答案】/0.8 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义、勾股定理、锐角三角函数等知识．证明，则，得到，由于M得到，则，设则求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于M， ∴， 则， 设则 ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，，点为边上一点，当点不与点重合时，过点作于点，以为边向右侧作正方形． (1)______； (2)当是等腰直角三角形时，求线段的长； (3)连接，求线段的最小值； (4)连接，设线段与线段交点为，当点为线段的三等分点时，直接写出此时的线段的长． 【答案】(1)1 (2)线段的长为5或； (3)线段的最小值为； (4)线段的长为或． 【分析】（1）作于点，利用三角二次函数的定义结合勾股定理求得，，，得到是等腰三角形，据此即可求解； （2）分两种情况讨论，当，时，利用平行线分线段成比例定理即可求解，点与点重合时，； （3）以为对角线，构造正方形，点在线段上，当时，线段取得最小值，据此求解即可； （4）分两种情况讨论，当和时，推出，利用平行线分线段成比例定理即可求解即可． 【详解】（1）解：作于点， ∵，∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）解：当，时，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， 由题意知， ∴，即， ∴； 显然，点与点重合时，是等腰直角三角形， 此时，； 综上，线段的长为5或； （3）解：如图，以为对角线，构造正方形，连接， ∴，， ∴点在线段上，当时，线段取得最小值， 由题意得， ∴， ∵， ∴， 即线段的最小值为； （4）解：设正方形的边长为， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴， 解得，经检验是原方程的解， 即，， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，解得， 经检验是原方程的解， 即，， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角函数的定义等知识；本题综合性强，熟练掌握三角函数定义、分类讨论是解题的关键． 题型六 一个易错点——未明确斜边，易漏解出错 【例题8】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求角的余弦值．根据余弦值的定义邻边比斜边，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：①当为直角边时， ∵， ∴， ∴； ②当为斜边时， ∵， ∴， ∴． 综上：或； 故选C． 【变式1】（九年级上·全国·单元测试）在中，，，则的值等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】题目中没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：当为直角三角形时，存在两种情况： ①当为斜边，． ，， ． ； ②当为斜边，． 由勾股定理得：． ； 综上所述，的值等于或， 故选C． 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论 【变式2】（20-21九年级上·江苏泰州·期末）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为 ． 【答案】3或 【分析】过A作AD⊥BC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案． 【详解】解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠B＝30°，AB＝4， ∴AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝． 在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC＝， ∴ ∴BC＝BD+DC＝； 如图2，同理可得， AD＝AB＝2，BD＝AB•cos30°＝4×＝，， ∴BC＝BD﹣DC＝． 综上所述，BC的长为或； 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式3】（23-24九年级上·河北承德·期末）如图，四边形中，，对角线，，，点为折线上的点． (1)求的长； (2)若点在的平分线上，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，证明，可得，代入数值进行计算即可得出答案； （2）设，则，过点作，由角平分线的性质定理可得，证明得出，代入数值进行计算即可得出答案； （3）分两种情况：当点在边上；当点在边上，过点作于，作交的延长线于点；分别根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，设，则，过点作， ∵为的平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：分两种情况： 当点在边上，如图， ， 则，则， 当点在边上，如图，过点作于，作交的延长线于点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， 综上所述。或． 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