4.3.3对数函数的图象与性质（教学课件）数学湘教版必修第一册

4.3 对数函数 4.3.3 对数函数的图象与性质 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 复习引入 由于指数函数是严格单调的，等式中不同的对应于不同的，即每个对应的是确定的，从而对数运算且确定了一个函数，叫作(以为底的)对数函数，它描述的数量关系是.此等式中把和互换位置就成了指数函数的表达式，因此称指数函数和对数函数互为反函数.这时，指数函数的定义域成了对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域. 新知探索 要找寻函数的反函数，可以先把和换位，写成，再把解出来，表示成的形式.如果这种形式是唯一确定的，就得到了的反函数.既然是从解出来的，必有. 既然对数函数描述的数量关系和指数函数表达式的区别不过是把和换位，可见点在的图象上的充要条件，就是点在的图象上.从几何上看，两者的图象关于直线对称.把的图象以直线为对称轴做反射，就得到了的图象.如图，先作出的图象，以轴为对称轴做反射得到的图象； 新知探索 再以直线为对称轴做反射，的图象反射后成为的图象，而的图象反射后成为的图象. 一般地，若和互为反函数，则它们的图象关于直线轴对称.两者中从一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减.因而由指数函数的增减性可得到对数函数的增减性.下面将这两类函数的性质对比列表如下： 新知探索 函数 指数函数 对数函数 图象 定义域 值域 图象经过点 增减性 时递增；时递减 时递增；时递减 新知探索 从动画中看对数函数且的性质，和理性认识相符. 例析 例10 求下列函数的定义域： (1)；(2). 解(1) 要使函数有意义，需，即. 所以函数的定义域是. 解(2) 要使函数有意义，需且，即且. 所以函数的定义域是. 例析 例11 比较下列各组中两个数的大小： (1)和；(2)和. 解(1) 因为函数在上是增函数，且，所以. 解(2) 因为函数在上是减函数，且， 所以. 例析 例11 比较下列各组中两个数的大小： (3)和(且)；(4)和. 解(3) 当时，因为函数在上是增函数，且， 所以； 当时，因为函数在上是减函数，所以. 解(4) 因为函数在上是减函数， 所以. 又因为，所以. 例析 例12 证明函数在区间上递减. 证明 记. 设，是上任意两个实数，且，则 ， 所以，上递增. 因而对于上任意两个实数，，当时， 有. 又在上递减，所以. 例析 例12 证明函数在区间上递减. 因此，函数在上递减. 借助计算机软件可画出函数和的图象， 如下图.由图也可以看出，函数在上递减. 练习 题型一：对数函数的图象问题 例1.(1)在同一直角坐标系中，函数，的图象 可能是( ). 解：当时，函数的图象过定点，在上单调递减，于是函数过定点，在上单调递增.函数过定点，在上单调递减.故选. 练习 例1.(2)如图，若，分别为函数和的图象，则( ). 解：由图知，对数函数在定义域内单调递减，所以.再根据“底大图低”，可知.故选. 练习 方法技巧： 与对数型函数相关的图象问题： (1)利用对数函数的性质，比如定点、定义域、值域和单调性； (2)在研究对数函数的图象时，可以利用图象的平移变换，进而得到目标函数的图象. 练习 变1.画出函数的图象，并写出函数的值域和单调区间. 解：据题意知， 由图可知,其值域为单调递增区间为，单调递减区间为. 练习 题型二：比较对数值的大小 例2.比较下列各组数的大小. (1) 解：(1)对数函数在上单调递增， 而∴. (2) 解：(2)由于，，又对数函数在上单 调递增，且 ∴即.(或者“底大图低”也可以直接判断) (3) 练习 解：(3)(中间值法)∵ ∴. 题型二：比较对数值的大小 例2.比较下列各组数的大小. 练习 比较对数值大小的策略： 1.同底时，根据单调性比较两真数的大小； 2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小； 3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小； 4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较. 练习 变2.(全国卷1)已知，则（ ）. 解：∵ 且即 ∴. 故选. 练习 题型三：解对数不等式 例3.解下列不等式： (1) (2) 解：(2)当时，，解得此时，无解. 当时，，解得此时，. 即不等式的解集为 解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为 练习 例3.解下列不等式： (3) 解：(3)当时，解得即不等式的解集为 当时，，解得即不等式的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为 练习 解对数不等式的方法技巧： 1.形如的不等式，借助对数函数的单调性求解. 2.形如的不等式，应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解. 3.形如的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 注：底数中若含有参数，一定要注意底数的范围，并进行分类讨论. 练习 变3.(1)不等式的解集为____________. 解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为 练习 变3.(2)若则的取值范围是__________. 解：据题意得， ①当时，是增函数，解得，所以； ②当时，是减函数，解得，所以； 综上所述，或. 课堂小结&作业 小结： (1)对数函数的图象性质； (2)比较对数式大小的类型及处理方法. 作业： (1)整理并复习课件题型； (2)课本P121的练习1——4题； (3)课本P121的习题4.3的8——21题. 谢谢学习 Thank you for learning $$