第03章 位置与坐标 章节整合练习（7个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03章 位置与坐标 章节整合练习（7个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点3．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点4．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点5．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点6．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点7．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 章节题型整合练习 一．点的坐标 1．（2024秋•高新区校级月考）若点在轴上，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024春•武都区期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为　　 A．4 B．3 C． D． 3．（2023秋•黄渤海新区期末）在平面直角坐标系内，点到轴的距离是 　　． 4．（2024春•海安市期中）若点在第二象限，且点到轴的距离为5、到轴的距离为4，则点的坐标是 　　． 5．（2024秋•市中区校级月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶智慧点” 为常数，且．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． （1）点的“3阶智慧点”的坐标为 　　． （2）若点的“4阶智慧点”为，求点的坐标． （3）若点的“阶智慧点”到轴的距离为1，求的值． 6．（2024春•文峰区校级期中）阅读理解，解答下列问题． 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为的“级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即． （1）已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并写出点到轴的距离； （2）已知点的“4级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限． 二．坐标确定位置 7．（2024秋•历城区校级月考）小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第1行第3列应当表示为　　 A． B． C． D． 8．（2024秋•金水区校级月考）如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，，按照规定的目标表示法，目标，的位置表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示不正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•天桥区校级月考）如果用有序数对表示第一单元4号的住户，那么第二单元8号的住户用有序数对表示为 　　． 10．（2023秋•威海期末）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系中，已知黑棋（甲的坐标为，黑棋（乙的坐标为，则白棋（甲的坐标为 　　． 11．（2024春•邢台校级月考）国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种．国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．如图甲是一个的小方格棋盘，图中的“皇后”能控制图中虚线所经过的每一个小方格． （1）在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后”，她所在的位置可用“”来表示，请说明“皇后”所在的位置是第几列第几行？并用这种表示方法分别写出棋盘中不能被该“皇后”所控制的四个位置． （2）如图丙也是一个的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后”，使这四个“皇后”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母即可）． 三．坐标与图形性质 12．（2024秋•碑林区校级月考）已知点，点，直线轴，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2024春•中山市期末）在平面直角坐标系中，过点和点作直线，则直线　　 A．平行于轴 B．平行于轴 C．与轴相交 D．经过原点 14．（2023秋•咸宁期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点作．若，轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 　　． 15．（2024春•江津区期末）已知平面直角坐标系中有点，过点作直线轴，如果，且点位于第三象限，则点的坐标为 　　． 16．（2024春•无为市期末）已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 17．（2024春•新市区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线上一点．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动；同时，点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动． （1）当点在线段上移动时，几秒后？ （2）若以，，，为顶点的四边形的面积是10，求点的坐标． 四．两点间的距离公式 18．（2024春•城厢区校级月考）在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 19．（2023秋•蕉城区期中）已知点的坐标为，点是轴上的一个动点，当、两点间的距离最短时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•泗洪县期末）已知点，点，若轴，则线段的长为 　　． 21．（2023秋•松江区期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　　． 22．（2024春•玉州区期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． （1）已知，，试求，两点的距离； （2）已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 23．（2023秋•金溪县校级期中）在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）当轴时，求、两点间的距离； （2）当点到轴的距离为2时，求点的坐标． 五．关于x轴、y轴对称的点的坐标 24．（2024春•大英县期末）平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•泗阳县期末）已知点与点关于轴对称，则　　． 26．（2024春•海港区期末）点关于轴对称的点的坐标为 　　． 27．（2024秋•南岗区校级月考）已知点，． （1）若点，关于轴对称，求，的值； （2）若点，关于轴对称，求的值． 28．（2023秋•肥城市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 　　； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 　　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 六．坐标与图形变化-对称 29．（2024•昭平县三模）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 30．（2024春•瑞安市月考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 31．（2024秋•东昌府区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，△是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 　　． 32．（2022秋•七星关区期末）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为 　　． 33．（2023秋•安次区期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，，，与△关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点坐标是 　　，点坐标是 　　； （3）求△的面积． 34．（2023秋•山阳县校级期中）已知点与关于轴对称，求的值． 七．关于原点对称的点的坐标 35．（2024秋•青秀区校级月考）已知，点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 36．（2023秋•兰陵县期末）点和的位置关系是　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．轴 37．（2024春•阳信县期末）已知点与点关于原点对称，则的值为 　　． 38．（2023秋•安州区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则　　． 39．（2022秋•盐池县校级期中）对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下： ①，，．如：，，； ②，，．如：，，； ③，，．如：，，；例如：，，， 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若，且，则，，；反之若，，，则，且． ②，，，； ，，，． 例如：，，，，，，，． 请回答下列问题： （1）化简：　　（填写坐标）； （2）化简：，，　　（填写坐标）； （3）若，，，，，且为整数，点在第四象限，求满足条件的的所有可能取值． 40．（2020秋•饶平县校级期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）分别写出各个顶点的坐标； （2）分别写出顶点关于轴对称的点的坐标、顶点关于轴对称的点的坐标及顶点关于原点对称的点的坐标； （3）求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 位置与坐标 章节整合练习（7个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点3．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点4．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 知识点5．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点6．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点7．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 章节题型整合练习 一．点的坐标 1．（2024秋•高新区校级月考）若点在轴上，则点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】直接利用轴上点的坐标得出，进而得出点坐标，即可所在象限． 【解答】解：点在轴上， ， ，， 则点即在第二象限． 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标，熟知轴上点的坐标特点是解题的关键． 2．（2024春•武都区期末）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为　　 A．4 B．3 C． D． 【分析】根据点到轴的距离即为纵坐标的绝对值即可得出结果． 【解答】解：根据点的坐标的几何意义，点到轴的距离为纵坐标的绝对值即为3， 故选：． 【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义，横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到轴的距离． 3．（2023秋•黄渤海新区期末）在平面直角坐标系内，点到轴的距离是 　　． 【分析】根据点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到轴的距离是其横坐标的绝对值进行计算即可． 【解答】解：点到轴的距离是9． 故答案为：9． 【点评】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离．掌握点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到轴的距离是其横坐标的绝对值是解题关键． 4．（2024春•海安市期中）若点在第二象限，且点到轴的距离为5、到轴的距离为4，则点的坐标是 　　． 【分析】根据到轴的距离可得的纵坐标的绝对值，根据到轴的距离可得的横坐标的绝对值，根据第二象限的点的符号特点可得点的坐标． 【解答】解：点到轴的距离是5，到轴的距离是4， 的纵坐标的绝对值为5，横坐标的绝对值为4， 点在第二象限内， 横坐标的符号为负，纵坐标的符号为正， 的坐标为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，点到轴的距离为点的横坐标的绝对值． 5．（2024秋•市中区校级月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶智慧点” 为常数，且．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． （1）点的“3阶智慧点”的坐标为 　　． （2）若点的“4阶智慧点”为，求点的坐标． （3）若点的“阶智慧点”到轴的距离为1，求的值． 【分析】（1）依据“阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）设点的坐标为，根据题意即可得到关于，的方程组，进而得解； （3）点的“阶智慧点”到轴的距离为1，即可得到关于的方程，进而得到的值． 【解答】解：（1）由题意可得：为，， 即坐标为； 故答案为：； （2）设点的坐标为， 点的“4阶智慧点”为， ， 解得， 点的坐标为； （3）点， 点的“阶智慧点”为． 由题意可得：， 或． 解得或． 【点评】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“阶智慧点”的定义，灵活运用方程组来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． 6．（2024春•文峰区校级期中）阅读理解，解答下列问题． 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点为的“级牵挂点”，如点的“2级牵挂点”为，即． （1）已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并写出点到轴的距离； （2）已知点的“4级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限． 【分析】（1）根据“级牵挂点”的定义判定结论； （2）设，根据点的“4级牵挂点”为可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可． 【解答】解：（1）点的“级牵挂点”为， ，， 即， 点到轴的距离为2； （2）点的“4级牵挂点”为， 设． 则有， 解得， ，点在第一象限． 【点评】本题考查了点的坐标，掌握“级牵挂点”的定义是解答本题的关键． 二．坐标确定位置 7．（2024秋•历城区校级月考）小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第1行第3列应当表示为　　 A． B． C． D． 【分析】根据用数对表示位置和数对的写法即可得出答案． 【解答】解：因为小明坐在教室的第1行第3列，所以用数对表示为． 故选：． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据列数是横坐标，行数是纵坐标来解答． 8．（2024秋•金水区校级月考）如图，雷达探测器测得六个目标，，，，，，按照规定的目标表示法，目标，的位置表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示不正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别判断各选项即可得解． 【解答】解：由题意可知、、、的坐标可表示为：，故正确，不符合题意； ，故正确，不符合题意； ，故正确，不符合题意； ，故错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了学生的阅读理解能力，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键． 9．（2024秋•天桥区校级月考）如果用有序数对表示第一单元4号的住户，那么第二单元8号的住户用有序数对表示为 　　． 【分析】根据有序数对表示第一单元4号的住户，得出数字对应情况，进而得出答案 【解答】解：第一单元4号的住户用有序数对表示， 第二单元8号的住户用有序数对表示为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出有序实数对的意义是解题关键． 10．（2023秋•威海期末）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系中，已知黑棋（甲的坐标为，黑棋（乙的坐标为，则白棋（甲的坐标为 　　． 【分析】先利用黑棋（甲的坐标为画出直角坐标系，然后可写出白棋（甲的坐标． 【解答】解：如图， 白棋（甲的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征． 11．（2024春•邢台校级月考）国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种．国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．如图甲是一个的小方格棋盘，图中的“皇后”能控制图中虚线所经过的每一个小方格． （1）在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后”，她所在的位置可用“”来表示，请说明“皇后”所在的位置是第几列第几行？并用这种表示方法分别写出棋盘中不能被该“皇后”所控制的四个位置． （2）如图丙也是一个的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后”，使这四个“皇后”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母即可）． 【分析】（1）根据图乙得到皇后”所在的位置是第2列第3行；根据坐标的意义和国际象棋中的规则可写出能被该“皇后”所控制的四个位置； （2）利用国际象棋中的规则找出四个位置，写上即可． 【解答】解：（1）图乙中，皇后”所在的位置是第2列第3行；不能被该“皇后”所控制的四个位置为、，，； （2）如图：． 【点评】本题考查了坐标确定位置：直角坐标系内的点与有序实数对一一对应．记住平面内特殊位置的点的坐标特征：（1）各象限内点的坐标特征：①第一象限：，；②第二象限：，；③第三象限：，；④第四象限：，．（2）坐标轴上点的坐标特征：①轴上：为任意实数，；②轴上：为任意实数，；③坐标原点：，． 三．坐标与图形性质 12．（2024秋•碑林区校级月考）已知点，点，直线轴，则的值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行于轴的直线上的点纵坐标相同进行求解即可． 【解答】解：点，点，直线轴， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，正确记忆相关知识点是解题关键． 13．（2024春•中山市期末）在平面直角坐标系中，过点和点作直线，则直线　　 A．平行于轴 B．平行于轴 C．与轴相交 D．经过原点 【分析】根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为平行于轴的直线上的点，纵坐标均相等； 平行于轴的直线上的点，横坐标均相等， 又，， 则，两点的纵坐标相等， 所以直线平行于轴． 故选：． 【点评】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 14．（2023秋•咸宁期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点作．若，轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 　　． 【分析】过点作轴于点，根据“”证明，从而得到，进而得出点在平行于轴与轴距离为6的直线上运动，则当垂直于这条直线时，最短，求解即可． 【解答】解：过点作轴于点， ， ， ，， ， ， ， ， 点在平行于轴与轴距离为6的直线上运动，如图：当垂直于这条直线时，最短，此时， 故答案为：6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出点的运动轨迹是解本题的关键． 15．（2024春•江津区期末）已知平面直角坐标系中有点，过点作直线轴，如果，且点位于第三象限，则点的坐标为 　　． 【分析】由，过点作直线轴，可得点的横坐标为，又由，且点位于第三象限，可知点的纵坐标为，进而可得出答案． 【解答】解：，过点作直线轴， 点的横坐标为， ，且点位于第三象限， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 16．（2024春•无为市期末）已知点，解答下列各题． （1）点在轴上，求出点的坐标； （2）点的坐标为，直线轴；求出点的坐标； （3）若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【分析】（1）根据在轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答． （2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标互为相反数，即，解出，再把代入，即可作答． 【解答】解：（1）点在轴上， 点的纵坐标为0， ， 解得：， ， ． （2）直线轴， ， 解得：， ， ． （3）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ． 解得：． ． 【点评】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 17．（2024春•新市区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，为直线上一点．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动；同时，点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动． （1）当点在线段上移动时，几秒后？ （2）若以，，，为顶点的四边形的面积是10，求点的坐标． 【分析】（1）根据题意可得点的纵坐标为4，点的纵坐标为0，再由点的坐标为，可得，然后根据点从点出发，以每秒2个单位的速度沿直线向左移动，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向右移动，可得，，根据题意可得，从而得到关于的方程，即可求解； （2）分两种情况讨论：当点在轴右侧时；当点在轴左侧时，即可求解． 【解答】解：（1）过点的直线垂直于轴，点在直线上，点在轴上， 点的纵坐标为4，点的纵坐标为0， 点的坐标为， ， 点从点出发，以每秒2个单位的速度沿直线向左移动，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向右移动， ，， 当点在线段上移动时，， ， ， 解得：， 当点在线段上移动时，3秒后； （2）点的坐标为， ， 当点在轴右侧时，， ， 解得 当时，， 点的坐标为； 当点在轴左侧时，， ， 解得，， 当时，， 点的坐标为，， 综上所述：点的坐标为或，． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，运用数形结合与方程思想是解题的关键． 四．两点间的距离公式 18．（2024春•城厢区校级月考）在平面直角坐标系中，点，，当线段最短时，的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先判断点的位置，再根据垂线段最短可得答案． 【解答】解：由题可知，点在过且垂直于轴的直线上， 根据垂线段最短，可得当时，有最小值，最小值为． 故选：． 【点评】本题考查图形与坐标、勾股定理，根据垂线段最短即可求得的值是解题的关键． 19．（2023秋•蕉城区期中）已知点的坐标为，点是轴上的一个动点，当、两点间的距离最短时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据当轴于点时，、两点间的距离最短，即可得到答案． 【解答】解：点的坐标为，点在轴上， 当轴于点时，、两点间的距离最短， 此时点与点的横坐标相同， 点的坐标是， 故选：． 【点评】此题考查了点的坐标、垂线段最短，熟练掌握点的坐标规律是解题的关键． 20．（2023秋•泗洪县期末）已知点，点，若轴，则线段的长为 　　． 【分析】根据平行于轴的直线上点的特征可得点与点的纵坐标相等，求得，，即可求解． 【解答】解：， 点与点的纵坐标相等， ， 解得：， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，点的坐标特征，熟练运用平行于轴的直线上点的特征求得点的坐标是解题的关键． 21．（2023秋•松江区期末）如果点的坐标为，点的坐标为，那么、两点的距离等于 　　． 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：由两点间的距离公式得，， 故答案为：5． 【点评】本题考查两点间的距离公式，两点，，，，则这两点间的距离为． 22．（2024春•玉州区期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． （1）已知，，试求，两点的距离； （2）已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 【分析】（1）直接根据两点间距离公式计算即可； （2）直接根据两点间距离公式计算即可； （3）先根据两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再进行比较即可． 【解答】解：（1），， ； （2），在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ； （3），理由如下： ，，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了两点间距离公式，准确理解题意是解题的关键． 23．（2023秋•金溪县校级期中）在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）当轴时，求、两点间的距离； （2）当点到轴的距离为2时，求点的坐标． 【分析】（1）根据轴可知点、的纵坐标一样解得的值，再求解的横坐标，最后即可求得两点间的距离； （2）根据点到轴的距离为2，可得，求出的值即可得出点的坐标； 【解答】解：（1）由轴可得，， ， ， 、两点间的距离为； （2）由题意得， 即或， 或， 点的坐标为或． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，两点之间的距离，熟练掌握性质是解题的关键． 五．关于x轴、y轴对称的点的坐标 24．（2024春•大英县期末）平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于轴对称的点的坐标的关系进行解答即可． 【解答】解：关于轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数， 所以点关于轴的对称点的坐标是， 故选：． 【点评】本题考查关于轴对称的点的坐标，掌握“关于轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键． 25．（2023秋•泗阳县期末）已知点与点关于轴对称，则　　． 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特点解答即可． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了关于轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 26．（2024春•海港区期末）点关于轴对称的点的坐标为 　　． 【分析】直接利用关于轴对称点的性质分析得出答案． 【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 27．（2024秋•南岗区校级月考）已知点，． （1）若点，关于轴对称，求，的值； （2）若点，关于轴对称，求的值． 【分析】（1）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列出二元一次方程组，然后解方程即可求解； （2）把，的值代入求值即可． 【解答】解：（1）点与关于轴对称， ， 解得：， ，； （2）由（1）得：，， ． 【点评】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 28．（2023秋•肥城市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 　　； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 　　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）根据关于轴对称的点的性质即可得答案； （3）设点的坐标为，则，求出的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）的面积为； 故答案为：4； （2）点与点关于轴对称， 点的坐标为； 故答案为：； （3）设点的坐标为， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【点评】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 六．坐标与图形变化-对称 29．（2024•昭平县三模）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 【分析】由题意轴，所以过中点且垂直于轴的直线即为所求的直线，然后根据选项内容进行判断． 【解答】解：点，点， 轴， 设的中点为， 则点坐标为，即， 点与点关于经过点且垂直于轴的直线对称， 即点与点关于轴对称，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查的是坐标与图形变化对称，点的坐标，掌握轴对称的性质及平面直角坐标系内点的特点是解题的关键． 30．（2024春•瑞安市月考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解． 【解答】解：与对称， 对称轴为直线， 与点关于直线对称， 点的坐标为． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握对称点到对称轴的距离相等是解答本题的关键． 31．（2024秋•东昌府区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，△是关于直线的轴对称图形，则点的坐标为 　　． 【分析】根据轴对称的性质可知，点和点到的距离相等，是3个单位长度，且轴，据此即可获得答案． 【解答】解：根据题意，点和点是关于直线对称的对应点， 它们到的距离相等，是3个单位长度，且轴， 点的坐标为， 点的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 32．（2022秋•七星关区期末）蝴蝶标本可以近似地看作轴对称图形．如图，将一只蝴蝶标本放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为 　　． 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案． 【解答】解：由题意知，图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 33．（2023秋•安次区期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点，，，，与△关于某直线成轴对称． （1）在网格内完善平面直角坐标系； （2）点坐标是 　　，点坐标是 　　； （3）求△的面积． 【分析】（1）根据，确定原点位置，然后作出坐标系即可； （2）根据点的位置写出点的坐标即可，根据图形可知与△关于轴对称，即可得到点坐标； （3）分割法求出△的面积即可． 【解答】解：（1）如图所示：建立直角坐标系如图， （2）由图可知，， ，，， 与△关于轴对称，如图， ； 故答案为：，； （3）△的面积为． ，点，，，，与△关于某直线成轴对称． 【点评】本题考查坐标与轴对称，根据已知点的坐标，确定原点的位置是解题的关键． 34．（2023秋•山阳县校级期中）已知点与关于轴对称，求的值． 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出，的值，再代值计算即可． 【解答】解：点与关于轴对称， ，， ，， ． 【点评】本题考查坐标与图形变化轴对称，代数式求值．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 七．关于原点对称的点的坐标 35．（2024秋•青秀区校级月考）已知，点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于原点中心对称的对称点的坐标的横纵坐标与原坐标的横纵坐标互为相反数即可得解． 【解答】解：点的坐标是，则点关于原点中心对称的对称点的坐标是， 故选：． 【点评】本题考查了求关于原点中心对称的对称点的坐标，明确关于原点中心对称的对称点的坐标的横纵坐标与原坐标的横纵坐标互为相反数是解题法的关键． 36．（2023秋•兰陵县期末）点和的位置关系是　　 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．轴 【分析】根据两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同做出判断． 【解答】解：点和的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 点和关于轴对称． 故选：． 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标和关于坐标轴对称的点的坐标，关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是． 37．（2024春•阳信县期末）已知点与点关于原点对称，则的值为 　　． 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出，的值，求出答案即可． 【解答】解：点与点关于原点对称， ，， 则的值为：． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 38．（2023秋•安州区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则　　． 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：点关于原点对称的点为， ，， 则． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键． 39．（2022秋•盐池县校级期中）对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下： ①，，．如：，，； ②，，．如：，，； ③，，．如：，，；例如：，，， 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若，且，则，，；反之若，，，则，且． ②，，，； ，，，． 例如：，，，，，，，． 请回答下列问题： （1）化简：　　（填写坐标）； （2）化简：，，　　（填写坐标）； （3）若，，，，，且为整数，点在第四象限，求满足条件的的所有可能取值． 【分析】根据新定义进行化简即可． 【解答】解：（1），，，； 故答案为：； （2），， ，， ，， ； 故答案为：； （3），，，，， ，，，，， ，，，，， ，，， ，，时，且， ，， ，， 坐标在第四象限， ，， ，， ， 是整数， ，，0，1． 【点评】本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力．也考查了阅读理解能力． 40．（2020秋•饶平县校级期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）分别写出各个顶点的坐标； （2）分别写出顶点关于轴对称的点的坐标、顶点关于轴对称的点的坐标及顶点关于原点对称的点的坐标； （3）求线段的长． 【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可； （2）利用关于坐标轴对称点的性质分别得出答案； （3）直接利用勾股定理得出答案． 【解答】解：（1），，； （2）如图所示：点的坐标为：，的坐标为：，点的坐标为：； （3）线段的长为：． 【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$