第03章 圆的基本性质 章节整合练习（19个知识点+40题练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03章 圆的基本性质 章节整合练习（19个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点8．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点9．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点10．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点11．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点12．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点13．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点14．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点15．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点16．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点17．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点18．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点19．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 章节题型整合练习 一．圆的认识 1．（2023秋•拱墅区校级月考）如图，是的半径，为上一点（且不与点、重合），过点作的垂线交于点．以、为边作矩形，连结．若，，则的长为　　 A．6 B．5 C．4 D．2 2．（2024秋•诸暨市校级月考）已知的半径为，则最长的弦为 　　． 二．垂径定 3．（2024•西湖区一模）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，，则的半径长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2024•浙江校级模拟）如图，在△中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，以为直径的圆交直线于点，．若为的中点，，则　　． 5．（2023秋•新昌县期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，过点，的与该直线相交于点，连结，． （1）求点到轴的距离． （2）连结，求的长． 三．垂径定理的应用 6．（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　　米． 7．（2023秋•北仑区期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 四．圆心角、弧、弦的关系 8．（2022秋•越城区期末）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为　　 A． B． C． D． 9．（2024秋•杭州月考）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则的度数为 　　． 10．（2023秋•慈溪市校级期中）如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点． （1）求证：； （2）过作于点，当，时，求的半径． 五．圆周角定理 11．（2023•宜都市二模）如图，是的直径，，是上两点，若，则　　 A． B． C． D． 12．（2024•浙江模拟）如图，是半径为5的的直径，是的中点，连接交于点，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长． 六．圆内接四边形的性质 13．（2023秋•鹿城区校级月考）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•义乌市期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 　　． 15．（2023秋•义乌市月考）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 七．相交弦定理 16．（象山县期末）如图，在中，弦，交于点，延长，交于点，，，若，则的长为 　　． 八．点与圆的位置关系 17．（2024秋•诸暨市校级月考）已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 18．（2022秋•定海区校级月考）已知为外一点，若点到上的点的最短距离为2，最长距离为4，则的半径为 　　． 九．确定圆的条件 19．（2024秋•杭州月考）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是　　 A． B． C． D． 20．（龙湾区期中）在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　　． 一十．三角形的外接圆与外心 21．（2023秋•金东区期末）如图，，在中，，，，当点，分别在射线，上滑动时，连结，则的最大值为 　　． 22．（2022秋•莲都区期中）如图所示，在中，，是的外接圆，的延长线交边于点． （1）若，，求的半径； （2）当是等腰三角形时，求的大小． 一十一．正多边形和圆 23．（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是　　 A．1 B． C．2 D． 24．（2024•宁波模拟）如图，正六边形的顶点，分别在正方形的边，上，设正六边形的面积为，正方形的面积为，则　　． 25．（2023秋•东阳市期末）如图，在正六边形中，，点在边上，且．若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 　　． 一十二．弧长的计算 26．（2023秋•诸暨市期末）如图，在中，，，以为直径作圆，交于点，交于点，则弧的长是　　． A． B． C． D． 27．（2024•温州三模）在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为 　　． 一十三．扇形面积的计算 28．（2023秋•浙江期末）如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•桐乡市期末）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． （1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积； （2）若，，，求的长． 一十四．生活中的旋转现象 30．（2021秋•沙市区校级期中）以如图的右边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转，所得到的图形是　　 A． B． C． D． 31．（2024•玉环市三模）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为 　　． 一十五．旋转的性质 32．（2024•瓯海区校级三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则　　 33．（2024•海宁市三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到△；再以点为中心，将△ 顺时针旋转，得到△；连结． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，探究与的位置关系，并说明理由． 一十六．旋转对称图形 34．（2023秋•椒江区校级期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用，其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点，如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取　　 A．60 B．90 C．120 D．180 35．（2023秋•义乌市期中）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为 　　． 一十七．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 36．（2023秋•舟山月考）如图所示，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；，依次类推，经过第2023次翻滚，点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•温岭市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，连接． （Ⅰ）求的度数； （Ⅱ）求出点的坐标． 一十八．作图-旋转变换 38．（2024•拱墅区二模）如图，在边长为10的正方形内部（不含边界）有一点，连结．过点作，且．连结，将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在点上，则的长为 　　． 39．（2024•浙江模拟）在的正方形网格纸中，请按下列要求用无刻度的直尺画图． （1）在图1中先画出一个以为底边的等腰三角形（顶点均在格点上），再画出△，△与△关于点成中心对称． （2）在图2中画出△的角平分线． 一十九．利用旋转设计图案 40．（2023秋•仙居县期末）如图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图，其作图过程为：取正八边形中心点，延长，交于点，以为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03章 圆的基本性质 章节整合练习（19个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点7．相交弦定理 （1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）． 几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD（相交弦定理）　　（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．　　　　几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝PA•PB（相交弦定理推论）． 知识点8．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点9．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点10．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点11．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点12．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点13．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点14．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点15．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点16．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点17．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点18．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点19．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 章节题型整合练习 一．圆的认识 1．（2023秋•拱墅区校级月考）如图，是的半径，为上一点（且不与点、重合），过点作的垂线交于点．以、为边作矩形，连结．若，，则的长为　　 A．6 B．5 C．4 D．2 【分析】如图，连接，在中，求出即可解决问题． 【解答】解：如图，连接． 四边形是矩形， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查圆，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2024秋•诸暨市校级月考）已知的半径为，则最长的弦为 　4　． 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【解答】解：圆的直径为圆中最长的弦， 中最长的弦长为． 故答案为：4． 【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 二．垂径定 3．（2024•西湖区一模）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接．若，，则的半径长为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】设的半径是，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的半径长为10． 【解答】解：设的半径是， 弦， ， ， ， ， ， ， 的半径长为10． 故选：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理得到． 4．（2024•浙江校级模拟）如图，在△中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，以为直径的圆交直线于点，．若为的中点，，则　　． 【分析】连接，，证明点，，在同一条直线上，过点，作直线的垂线，垂足为，，设的中点为，过点作于，连接，证明△和△全等得，再根据点为的中点得，由此可得，，进而得，，则，由此得，证明△△得，同理可证△△得，证明为梯形的中位线，则，然后在△中由勾股定理求出，进而可得的长． 【解答】解：连接，， 四边形和四边形均为正方形， ，，，，， 在△中，， ， 点，，在同一条直线上， 过点，作直线的垂线，垂足为，，设的中点为，过点作于，连接，如图所示： 四边形和四边形均是正方形， ，，，， ， 又， ， 在△和△中， ， △△， ， 点为的中点， ， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 即， ，， 在△中，， 由勾股定理得：， 在△中，， 由勾股定理得：， ， 为的直径， ， ，， ，， ， 又， △△， ， 即， ， 同理可证：△△， ， 即， ， ，，，点为的中点， 为梯形的中位线， ， 在△中，，， 由勾股定理得：， 点为的圆心，， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解垂径定理，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 5．（2023秋•新昌县期末）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点，，过点，的与该直线相交于点，连结，． （1）求点到轴的距离． （2）连结，求的长． 【分析】（1）过点作轴于点，如图，先确定，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）连结，，如图，先求出，则可判断为等腰直角三角形，所以，再根据圆周角定理得到，所以为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出的长． 【解答】解：（1）过点作轴于点，如图， 当时，，解得， ， ， ， 在中，， 点到轴的距离为； （2）连结，，如图， 当时，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征． 三．垂径定理的应用 6．（2024•温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　20　米． 【分析】根据题意，利用垂径定理及勾股定理即可解决问题． 【解答】解：由题知， 垂直平分， 所以圆弧所在圆的圆心在延长线上． 连接， 因为垂直平分， 所以（米． 令的半径为米， 则米． 在中， ， 解得， 所以这个弧形石拱桥设计的半径我20米． 故答案为：20． 【点评】本题考查垂径定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 7．（2023秋•北仑区期中）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米时，是否要采取紧急措施？ 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在△中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【解答】解：（1）连接， 由题意得：（米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得，（米； （2）连接， 米， 在△中，由勾股定理得：，即：， 解得：（米． （米． ， 不需要采取紧急措施． 【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 四．圆心角、弧、弦的关系 8．（2022秋•越城区期末）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；然后由圆的周长公式进行计算． 【解答】解：如图，连接、． 是的直径，四边形内接于，， ， ． 又， 是等边三角形， ， 的周长． 故选：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 9．（2024秋•杭州月考）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则的度数为 　　． 【分析】根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 10．（2023秋•慈溪市校级期中）如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点． （1）求证：； （2）过作于点，当，时，求的半径． 【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出即可； （2）根据垂径定理，勾股定理求出，进而求出即可． 【解答】（1）证明：为的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ，， 在△中，由勾股定理得：， 半径为． 【点评】此题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． 五．圆周角定理 11．（2023•宜都市二模）如图，是的直径，，是上两点，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】由邻补角的性质求出的度数，由圆周角定理，即可求出的度数． 【解答】解：，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质，关键是掌握圆周角定理． 12．（2024•浙江模拟）如图，是半径为5的的直径，是的中点，连接交于点，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长． 【分析】（1）根据题意得出，即可证明，得到垂直平分，即可证明结论． （2）延长交于点．连结．证明，根据相似三角形的性质得到比例关系计算即可； （3）解法一：延长交于点．利用勾股定理证明，再证明，根据相似三角形的性质得到比例关系计算即可； 解法二：设．利用勾股定理列出等式求解即可． 【解答】解：（1）如图，连接． 是的中点， ， ． ， 垂直平分， ． （2）如图．延长交于点．连接． ， ， 是直径， ， ， ， ， ． ，， ，， ， 在中，． （3）解法一：如图．延长交于点． ， ． ，， ，， ，， ， ． ，，， ， ． ， ． ， ． ， ， ． ，， ， 解得． 解法二：， ． ，， ，， ． 是的直径， ， ． ， ． ， ， ， ，即． 设．在中，，解得． ， ． 【点评】本题主要考查圆的性质定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 六．圆内接四边形的性质 13．（2023秋•鹿城区校级月考）如图，四边形内接于圆，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质得出，再代入求出答案即可． 【解答】解：四边形内接于， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 14．（2023秋•义乌市期末）如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数是 　　． 【分析】由圆周角定理得到，然后利用是直径求得，从而求得答案． 【解答】解：， ， 是直径， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是将已知条件转化到中，难度不大． 15．（2023秋•义乌市月考）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可； 【解答】解：（1）是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形； （2）是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 七．相交弦定理 16．（象山县期末）如图，在中，弦，交于点，延长，交于点，，，若，则的长为 　　． 【分析】如图，作交于．设．想办法用 表示，利用相交弦定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，作交于．设． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， （负根已经舍弃）， ． 故答案为． 【点评】本题考查相交弦定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题． 八．点与圆的位置关系 17．（2024秋•诸暨市校级月考）已知圆的半径为，同一平面内一点到圆心的距离是，则这点在　　 A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定 【分析】根据点与圆的位置关系即可得． 【解答】解：， 这点在圆外， 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 18．（2022秋•定海区校级月考）已知为外一点，若点到上的点的最短距离为2，最长距离为4，则的半径为 　1　． 【分析】先表示距离，再确定最值条件． 【解答】解：如图： 连接并延长交圆于点，两点，点到上的点的最短距离线段的长，最长距离为线段的长度． 设圆的半径为，则：， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查求圆的半径，确定到圆上的点的最大距离和最小距离对应的线段是求解本题的关键． 九．确定圆的条件 19．（2024秋•杭州月考）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【解答】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点在直线上，该三点不能构成圆． 故选：． 【点评】考查了确定圆的条件及坐标与图形性质，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大． 20．（龙湾区期中）在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　　． 【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解． 【解答】解：，，不在同一直线上 经过点，，可以确定一个圆 该圆圆心必在线段的垂直平分线上 设圆心坐标为 则点在线段的垂直平分线上 由勾股定理得： 圆心坐标为 故答案为：． 【点评】本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键． 一十．三角形的外接圆与外心 21．（2023秋•金东区期末）如图，，在中，，，，当点，分别在射线，上滑动时，连结，则的最大值为 　　． 【分析】在的下方作等腰直角，，作于，勾股定理得，点在以点为圆心，为半径的圆上，当点、、共线时，最大，再求出的长即可． 【解答】解：如图，在中，由勾股定理得， 在的左侧作等腰直角，，作于， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 点、、、共圆， ， 当点、、共线时，最大， 此时，，， 的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰直角三角形的性质，定边对定角确定点的运动路径，以及对角互补模型是解题的关键，难度较大． 22．（2022秋•莲都区期中）如图所示，在中，，是的外接圆，的延长线交边于点． （1）若，，求的半径； （2）当是等腰三角形时，求的大小． 【分析】（1）连接并延长交于，证明和即可得结论； （2）设为，用表示出有关的角，再列方程即得答案． 【解答】解：（1）连接并延长交于， ， ， 过圆心， 垂直平分， 平分，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故的半径为8； （2）设， 由（1）知， ， 是等腰三角形， ①若， 则， ， ， 在中，， ， 解得， ， ②若，则， ， 在中，， ， ， ， 综上所述，是等腰三角形，为或． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用． 一十一．正多边形和圆 23．（2022秋•慈溪市期末）如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】连接，，根据等边三角形的性质可得的半径，进而可得出结论． 【解答】解：连接，， 多边形是正六边形， ， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长是12， ， 的半径是2． 故选：． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 24．（2024•宁波模拟）如图，正六边形的顶点，分别在正方形的边，上，设正六边形的面积为，正方形的面积为，则　　． 【分析】先设正六边形的边长为，根据正六边形的性质求出正方形的边长，再分别求出面积即可解答． 【解答】解：设正六边形的边长为， 由正六边形的性质可得， ，，， ， ， 正方形的面积为， 连接，交于点，过点作，如图， 则，， 正六边形的面积为， ． 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，正六边形的性质，设出参数分别表示出两个图形的面积是解题关键． 25．（2023秋•东阳市期末）如图，在正六边形中，，点在边上，且．若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 　　． 【分析】经过正六边形中心的直线可以将正六边形的面积二等分，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接、交于点，连接并延长，交于点，作于， 将正六边形的面积二等分， 在正六边形中，，， ，， ， ， ， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了正多边形的性质，解题根据明确正多边形是中心对称图形，利用勾股定理求出线段长． 一十二．弧长的计算 26．（2023秋•诸暨市期末）如图，在中，，，以为直径作圆，交于点，交于点，则弧的长是　　． A． B． C． D． 【分析】连接，，，由圆周角定理推出，由等腰三角形的性质求出，由圆周角定理得到，由弧长公式即可求出弧的长． 【解答】解：连接，，， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， 弧的长． 故选：． 【点评】本题考查弧长的就是，等腰三角形的性质，圆周角定理，关键是由等腰三角形的性质求出，由圆周角定理得到；由弧长公式即可计算． 27．（2024•温州三模）在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为 　　． 【分析】设的弧所对的圆心角为，利用弧长公式得到，解得，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：设的弧所对的圆心角为， 则，解得， 即该弧所对的圆心角为， 所以该弧所对的圆周角的度数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 一十三．扇形面积的计算 28．（2023秋•浙江期末）如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点运动到点时，线段扫过的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接，，，交于点．线段扫过的面积． 【解答】解：如图，连接，，，交于点． 由题意，， △，△都是等边三角形， ，， ，， ， 由题意，线段扫过的面积． 故选：． 【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出△，△都是等边三角形． 29．（2023秋•桐乡市期末）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． （1）若正方形的边长是8，．求阴影部分面积； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，则，；以为圆心，画弧交于点，如图，易得扇形的面积扇形，则图形的面积图形的面积，于是，然后根据扇形的面积公式计算即可； （2）连，利用得到，，，，易得为等腰直角三角形，则，，则，然后在中根据勾股定理计算即可得到的长． 【解答】解：（1）把旋转到的位置， ， ，， 以为圆心，画弧交于点，如图， 扇形的面积扇形， 图形的面积图形的面积， ； （2）连， ， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， ， ． 【点评】本题考查了扇形的面积公式：（其中为扇形的圆心角的度数，为半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 一十四．生活中的旋转现象 30．（2021秋•沙市区校级期中）以如图的右边缘所在直线为轴将该图案向右翻折后，再绕中心旋转，所得到的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用中心对称图形的概念得出即可． 【解答】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转后，黑圆在右上角， 再按顺时针方向旋转，黑圆在左下角． 故选：． 【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念，利用中心对称旋转180度后重合得出是解题关键． 31．（2024•玉环市三模）如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为 　　． 【分析】根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解． 【解答】解：与地面的夹角为， ， 即旋转角为， 箕面绕点旋转的度数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到的度数．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 一十五．旋转的性质 32．（2024•瓯海区校级三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则　　 【分析】由旋转得，，，则，再根据可得答案． 【解答】解：由旋转得，，， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 33．（2024•海宁市三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到△；再以点为中心，将△ 顺时针旋转，得到△；连结． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，探究与的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，根据旋转的性质得到，，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，于是得到； （2）作，过作于，得到，，根据旋转的性质得到，，，，根据全等三角形的性质定理得到，推出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）以点为中心，将顺时针旋转，得到△， ，， 以点为中心，将△ 顺时针旋转，得到△， ，， ，， 四边形是正方形， ； （2）． 理由：过作，过作于， ，， 以点为中心，将顺时针旋转，得到△， ，， 以点为中心，将△ 顺时针旋转，得到△， ，， ， △， ， 四边形是矩形， ， ． 【点评】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 一十六．旋转对称图形 34．（2023秋•椒江区校级期中）浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用，其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点，如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转后能与原图案重合，则可以取　　 A．60 B．90 C．120 D．180 【分析】将除以转子叶片个数即可求出的值． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查旋转对称图形的性质，理解旋转角的意义是解题的关键． 35．（2023秋•义乌市期中）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转后能与原来的图案互相重合，则的最小值为 　72　． 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为72． 故答案为72． 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 一十七．坐标与图形变化-旋转（共2小题） 36．（2023秋•舟山月考）如图所示，长方形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；，依次类推，经过第2023次翻滚，点的对应点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点对应点一循环，先求出的商和余数，从而解答本题． 【解答】解：如图所示： 观察图形可得经过4次翻滚后点对应点一循环， ， 点，长方形的周长为：， ， 经过505次翻滚后点对应点的坐标为，即． 故选：． 【点评】本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律． 37．（2023秋•温岭市校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到△，连接． （Ⅰ）求的度数； （Ⅱ）求出点的坐标． 【分析】（Ⅰ）利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质解决问题即可． （Ⅱ）过点作垂直于轴，垂足为．解直角三角形求出，即可． 【解答】解：（Ⅰ）△， ， 又， ． （Ⅱ）过点作垂直于轴，垂足为． ，， ，， ， 在中，， ， ，． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 一十八．作图-旋转变换 38．（2024•拱墅区二模）如图，在边长为10的正方形内部（不含边界）有一点，连结．过点作，且．连结，将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在点上，则的长为 　　． 【分析】设，将绕着点顺时针旋转 到，连接、，则，，，，，，，由旋转的性质可知，，，证明四边形是正方形，则，，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【解答】解：设，如图，将绕着点顺时针旋转 到，连接、， ，，，， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又：，， 四边形是正方形， ，， ，， 由勾股定理得，， 解得，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦是解题的关键． 39．（2024•浙江模拟）在的正方形网格纸中，请按下列要求用无刻度的直尺画图． （1）在图1中先画出一个以为底边的等腰三角形（顶点均在格点上），再画出△，△与△关于点成中心对称． （2）在图2中画出△的角平分线． 【分析】（1）作格点，使，再作，，关于点的对称点，，即可； （2）取格点，使，再作的中点，连接交于，即可得到答案． 【解答】解：（1）如图： △，△即为所求（答案不唯一）； （2）如图： 线段即为所求． 【点评】本题考查作图旋转变换和角平分线，解题的关键是掌握网格的特征． 一十九．利用旋转设计图案 40．（2023秋•仙居县期末）如图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图，其作图过程为：取正八边形中心点，延长，交于点，以为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则　　． 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．设，则，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点． 正八边形中，，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查利用旋转设计图案，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$