精品解析：河南省驻马店市第二初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

驻马店二中九年级数学上期质量检测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A. a≠1 B. a≥－1且a≠1 C. a＞－1且a≠1 D. a≠±1 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 D. 平行四边形的对角线平分一组对角 3. 用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数随的增大而减小，且与轴的正半轴相交，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，，点在边上，且；将沿对折至，延长交边于点，连结、，下列结论中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 12. 已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为__________． 14. 如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为_______． 15. 如图，在斜边长为1的等腰中作内接正方形（正方形顶点都在边上），在等腰中作内接正方形；在等腰中，作内接正方形；，依次作下去，则第5个正方形的边长为____________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 选择适当的方法求解下列一元二次方程． （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值. 18. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 如图，四边形中，对角线、相交于点,，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 20. 阅读材料：把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法．如（1）用配方法分解因式：． 解：原式 （2），利用配方法求的最小值． 解： ∵， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． （2）用配方法分解因式：． （3）若，求的最小值． 21. 如图，矩形中，厘米，厘米，点P从A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）经过几秒时，的面积等于矩形面积的？ 22. 第19届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，且亚运会的一套吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”． （1）据市场调研发现，某工厂今年8月份共生产5万套“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，10月份该工厂生产了7.2万套吉祥物，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店吉祥物平均每天可销售20套，每套盈利40元，在每套吉祥物降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10套．如果每天要盈利1440元，则每套吉祥物应降价多少元？ 23. （1）数学理解：如图①，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店二中九年级数学上期质量检测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A. a≠1 B. a≥－1且a≠1 C. a＞－1且a≠1 D. a≠±1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案． 【详解】∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程， ∴a-1≠0，a+1≥0， 解得：a≥-1，且a≠1． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 D. 平行四边形的对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，但不一定垂直，错误； B、菱形的对角线垂直，但不一定相等，错误； C、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确； D、平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质．掌握特殊的平行四边形的性质是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程，下面配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化二次项系数为1，把常数项3右移，然后等式两边同时加上一次项系数−的一半的平方，再整理即可． 【详解】解：由原方程得，−x=-3， 配方得：−x+=-3+，即． 故选：A． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方， 4. 已知一次函数随的增大而减小，且与轴的正半轴相交，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质求出a、b的符号，再判断出方程ax2−2x＋b＝0中△的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数y＝ax＋b随x的增大而减小， ∴a＜0， ∵一次函数与y轴的正半轴相交， ∴b＞0， ∴ab＜0， 在方程ax2−2x＋b＝0中，△＝（−2）2−4ab＝4−4ab＞0． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式和一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质求出a、b的符号，判断出△的符号是解题的关键． 5. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可． 【详解】解：如图 ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8， ∴AB==5， 作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值， ∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点， ∴E′在AD上，且E′是AD的中点， ∵AD=AB， ∴AE=AE′， ∵F是BC的中点， ∴E′F=AB=5． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 9. 某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：B． 10. 如图，正方形中，，点在边上，且；将沿对折至，延长交边于点，连结、，下列结论中，正确的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），推出GB=GF，设BG=x，则GF=x，CG=BC-BG=3-x，在Rt△CGE中，GE=x+1，EC=2，CG=3-x，根据CG2+CE2=GE2，构建方程求出x即可判断①正确； 想办法证明∠AGB=∠GCF，即可判断②正确； 根据全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG．得出③正确； 只要证明，得出可得S△FCG=•S△EGC，由此即可判断④正确； 【详解】①∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=CD=3，∠B=∠D=90°， ∵CD=3，CE=2DE， ∴DE=1， ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴DE=EF=1，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°， ∴AF=AB， ∵在Rt△ABG和Rt△AFG中， AG=AG，AB=AF ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）． ∴BG=FG，∠AGB=∠AGF． 设BG=x，则CG=BC-BG=3-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+1． 在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2． ∵CG=3-x，CE=2，EG=x+1， ∴(3-x)2+22=(x+1)2， 解得：x= ∴BG=GF=CG= 即BG=CG，①正确； ②∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴△DAE≌△FAE． ∴∠DAE=∠FAE． ∵△ABG≌△AFG， ∴∠BAG=∠FAG． ∵∠BAD=90°， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45° ∴②正确． ∵CG=GF， ∴∠CFG=∠FCG． ∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF， ∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF． ∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG， ∴∠AGB=∠FCG． ∴AG∥CF． ∴③正确； ④∵EF=DE=1，GF= ∴EG= ∴ ∴S△FGC=•S△EGC= ∴④正确． 故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题）．是一道综合性很强的题目． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 12. 已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC=AB，再根据正方形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵B=60°，AB=BC ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB=4 ∴正方形ACEF的周长=4×4=16． 故答案为16． 【点睛】题考查菱形与正方形的性，熟练掌握性质定理是解题的关键． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键． 利用根与系数的关系结合可得出关于的方程，解之可得出的值，由方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为， ∴， ∴， 解得：， 经检验均为所列方程的解， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴舍去． 故答案为：4． 14. 如图，在矩形中，对角线相交于点，垂足为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在斜边长为1的等腰中作内接正方形（正方形顶点都在边上），在等腰中作内接正方形；在等腰中，作内接正方形；，依次作下去，则第5个正方形的边长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键．过作垂直于，交于点，交于点，由三角形与三角形都为等腰直角三角形，得到为的中点，为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出为的一半，由求出的长，再由为的一半，即为的一半，可得出与的比值，求出的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第个正方形的边长． 【详解】解：过作，交于点，交于点，如图所示： ，， 为斜边为1的等腰直角三角形， ， 又为等腰直角三角形， ， ， 第1个正方形的边长， 同理第2个正方形的边长， 则第个正方形的边长． 第5个正方形的边长为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 选择适当的方法求解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 配方得，即， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 17. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值. 【答案】（1） 证明： ∵ ∴方程有两个不相等的实数根； （2）正整数为1，2 【解析】 【分析】（1）求出即可证出结论； （2）利用求根公式解方程，然后利用有理数的整除性确定a的值. 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 ， ，． ∵ 方程的根均为整数， ∴为整数， ∴或， ∴正整数为1，2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式：当时，方程由两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根. 18. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 19. 如图，四边形中，对角线、相交于点,，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形 又 平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，可推出四边形是平行四边形，从而得到，结合，即可证明四边形是矩形； （2）由，可得到，再由和矩形的性质可知，最后利用即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，且四边形是矩形 四边形是矩形 20. 阅读材料：把代数式通过配凑等手段得到局部完全平方式，再进行有关计算和解题，这种解题方法叫做配方法．如（1）用配方法分解因式：． 解：原式 （2），利用配方法求的最小值． 解： ∵， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______． （2）用配方法分解因式：． （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）当时，有最小值 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特点判断即可； （2）原式配方变形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可； （3）配方变形后，利用非负数的性质求出最小值即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，有最小值． 21. 如图，矩形中，厘米，厘米，点P从A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒． （1）经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ （2）经过几秒时，的面积等于矩形面积的？ 【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或秒 【解析】 【分析】（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB=（6-x）厘米，BQ=2x厘米，根据三角形的面积公式结合△PBQ的面积等于8平方厘米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的，则PB=（6-y）厘米，BQ=2y厘米，根据三角形、矩形的面积公式及△PBQ的面积等于矩形面积的，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设经过x秒时，的面积等于8平方厘米，则厘米，厘米． 根据题意，得， 整理，得， 解得． 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）设经过y秒时，的面积等于矩形面积的， 则厘米，厘米， 根据题意，得，整理，得， 解得：． 答：经过秒或秒时，的面积等于矩形面积的． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 第19届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，且亚运会的一套吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”． （1）据市场调研发现，某工厂今年8月份共生产5万套“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，10月份该工厂生产了7.2万套吉祥物，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店吉祥物平均每天可销售20套，每套盈利40元，在每套吉祥物降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10套．如果每天要盈利1440元，则每套吉祥物应降价多少元？ 【答案】（1）该工厂平均每月生产量增长率是 （2）每套吉祥物应降价4元 【解析】 【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率是，根据8月份共生产5万套，10月份该工厂生产了7.2万套吉祥物，列出方程进行求解即可； （2）设每套吉祥物应降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该工厂平均每月生产量增长率是，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该工厂平均每月生产量增长率是． 【小问2详解】 设每套吉祥物应降价元，由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：每套吉祥物应降价4元． 23. （1）数学理解：如图①，是等腰直角三角形，过斜边的中点作正方形，分别交，于点，，求，，之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角内，找一点，过点作正方形，分别交，于点，，若，求的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长，，交于点，，求，，的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，由正方形的性质可得，，可求，即可得； （2）延长，使，通过证明，可得，通过，可得，，由三角形内角和定理可求的度数； （3）由正方形的性质可得，，由平行线的性质可得，，可得，，即可求，，的数量关系． 【详解】解：（1） 理由如下：∵是等腰直角三角形 ∴，， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）如图，延长，使，连接， ∵四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵，，， ∴，且， ∴ ∴ 同理可得： ∵， ∴ ∴ ∴ （3）∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $