专题3.1 椭圆的标准方程（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.1 椭圆的标准方程 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可求出答案. 【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，， 即动点轨迹方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 3．（23-24高二上·陕西商洛·期末）已知是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】由题意，三角形的周长即点到两焦点的距离和加上焦距，由椭圆的性质即可求得其周长 【详解】解：由题意，，，即 所以三角形的周长为 故选：． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质，利用三角形的位置是解答的关键，属于基础题. 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】连接，得到是三角形的中位线，故，再利用椭圆的定义求出，进而求出线段的长. 【详解】如图，不妨设焦点F为左焦点，右焦点为，连接，因为N是的中点，是的中点，故是三角形的中位线，故， 由得：，由椭圆的定义可知：，因为，所以，故 故选：C 5．（24-25高二·吉林通化·阶段练习）已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据椭圆的定义确定点的轨迹是椭圆，确定得出方程. 【详解】由题意可知，则点的轨迹是焦点在轴且中心为原点的椭圆，且点不在轴上 ，即 故选：C 6．（24-25高二下·河北·开学考试）已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（    ） A．4 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】借助椭圆定义计算即可得. 【详解】由，可得，根据椭圆的定义得， 所以． 故选：B． 7．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若，则M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理列方程，化简求得，从而求得正确答案. 【详解】由于坐标原点O在以AF为直径的圆上，故可设为上顶点，为右焦点，为左焦点. 则， ，由余弦定理得， ，结合解得. 所以的方程为. 故选：A 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知可得三角形是以点P为直角顶点的三角形，设出，根据椭圆的定义求出m，再根据三角形为等腰直角三角形即可求解. 【详解】由题意知，所以点，，在以为圆心，为直径的圆上，连接，则.设， 由于，所以，， 根据椭圆的定义可知，，所以， 所以，则.又， 所以为等腰直角三角形，可得. 由题意知，又，所以， 所以的标准方程为， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：一是圆的性质的应用，即得到；二是椭圆定义的应用，即利用椭圆的定义得到． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：，所以动点的轨迹是椭圆，A选项正确； B选项：，所以动点的轨迹是线段，B选项错误； C选项：，所以动点不存在，C选项错误； 的选项：，所以动点的轨迹是椭圆，D选项正确； 故选：AD. 10．（23-24高二上·福建泉州·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】ACD 【分析】结合椭圆的定义以及椭圆的光学性质求得正确答案. 【详解】依题意， 当小球从A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是， 当小球从点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是， 当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是. 故选：ACD 11．（24-25高二上·重庆大渡口·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（    ） A．7 B．17 C．18 D．19 【答案】AB 【分析】由椭圆定义可得，求出的范围即可得出. 【详解】由椭圆方程可得， 则由椭圆定义可得， 所以， ，， ， 则. 故选：AB. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的形式，焦点在轴上的椭圆分母的大小关系可得. 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆,则 故答案为： 13．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为 . 【答案】24 【分析】利用椭圆方程求出焦距，再利用椭圆定义求出即可作答. 【详解】由椭圆得， 即，而，，则， 于是有，即， 的面积为. 故答案为：24 14．（24-25高三·江西景德镇·阶段练习）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】由可将，均用表示出来，又由得到为直角三角形，利用勾股定理可求得椭圆的离心率. 【详解】解：，又， ，， ， ，即为直角三角形， ， 解得： 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的离心率，灵活利用椭圆的定义以及焦点三角形中边的的关系可快速求解，是基础题. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据长轴长求出，根据焦距求出，从而求出，写出椭圆方程；（2）根据焦点坐标与短轴长求出b，c，从而求出a，写出椭圆方程. 【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设椭圆的方程为（）， ∵长轴长为4，焦距为2， ∴，， ∴，， ∴， ∴椭圆的方程为； （2）焦点坐标为，短轴长为2， 设椭圆的方程为（）， ∴，， ∴， ∴椭圆的方程为． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为，求椭圆的标准方程 【答案】 【分析】根据焦点三角形的周长、面积及椭圆参数关系得到，再解方程组即可得到答案. 【详解】   设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为， 所以，可得， 所以，所以或， 当时，，，不满足题意； 当时，，，满足题意． 所以椭圆C的方程为. 17．（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知命题恒成立;方程表示焦点在轴上的椭圆. （1）若为真命题，求实数的取值范围; （2）若“”为假，“”为真，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由条件可知，，即可求解； （2）根据椭圆的标准方程，求得为真时，，再根据一真一假，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，，是增函数， 所以，即； （2）若为真，则 由题可知，一真一假 故“真假”时，，则， “真假”时， ，无解， 综上，. 18．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的焦点是，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设点P在椭圆上，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意可得，然后根据离心率，求出，．求出椭圆方程即可（2）由在椭圆上，可得，与已知条件联立可求得是直与，据此能够推导出△是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）根据题意，可得， 又，则，， 所以椭圆的方程为： 2）点在椭圆上， ， ； ， △是直角三角形， △的面积． 【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查了余弦定理、直角三角形的判定、直角三角形的面积等知识的运用，属于中档题. 19．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知两定点，动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据椭圆的定义即可求P的轨迹方程； (2)在中利用余弦定理和椭圆定义即可求出，再根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）依题意知， ∴P点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且． 故所求点的轨迹方程为； （2）设，则． 在中，由余弦定理得， ， 解得． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 椭圆的标准方程 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高二上·陕西商洛·期末）已知是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．18 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 5．（24-25高二·吉林通化·阶段练习）已知的周长是20，且顶点B的坐标为，C的坐标为，则顶点A的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北·开学考试）已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（    ） A．4 B．16 C．12 D．8 7．（2024·云南昆明·一模）已知椭圆，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，坐标原点O在以AF为直径的圆上，若，则M的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为2，为坐标原点，点在上且（为椭圆的半焦距），直线与交于另一个点，若，则的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 B．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 C．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．已知点，，动点满足，则点的轨迹是椭圆 10．（23-24高二上·福建泉州·期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 11．（24-25高二上·重庆大渡口·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（    ） A．7 B．17 C．18 D．19 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ． 13．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为 . 14．（24-25高三·江西景德镇·阶段练习）已知分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的一点，为坐标原点，且，，则该椭圆的离心率为 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高二下·四川遂宁·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)一个焦点坐标为，短轴长为2． 16．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为，求椭圆的标准方程 17．（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知命题恒成立;方程表示焦点在轴上的椭圆. （1）若为真命题，求实数的取值范围; （2）若“”为假，“”为真，求实数的取值范围. 18．（23-24高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的焦点是，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设点P在椭圆上，且，求的面积. 19．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知两定点，动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$