专题3.4 一次、二次、分式、分段函数及幂函数的应用（3类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题3.4 一次、二次、分式、分段函数及幂函数的应用 【考点1：一次、二次、分式函数模型】 1 【考点2：分段函数模型】 6 【考点3：幂函数模型】 11 【考点1：一次、二次、分式函数模型】 【知识点：一次、二次、分式函数模型】 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 分式函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)或y＝x＋(a>0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 1．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且．    (1)设米（），求出四边形的面积关于的表达式； (2)为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值． 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） (1)求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； (2)当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 5．（安徽县中联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 6．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 7．（24-25高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 8．（24-25高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【考点2：分段函数模型】 【知识点：分段函数模型求解策略】 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). 1．（23-24高一上·天津·期末）近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（    ） 生活用电实行分段计 电价 0~200度用电量 0.3元/度 201~400度用电量 0.6元/度 401度以上用电量 0.9元/度 A．250度 B．350度 C．450度 D．500度 2．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费计算电费，每月用电不超过100度时，按每度元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度元计算． (1)设月用电量为度时，应交电费元，写出与的函数关系式； (2)小明家第一季度的电费情况如下： 月份 一月 二月 三月 交费金额 76元 63元 元 则小明家第一季度共用电多少度？ 4．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 5．（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 6．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）某技术公司计划购买成本为500万元的先进设备，用于生产某大型电子实验机器，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系式为.据市场调查，每台大型电子实验机器的平均估价为300万元，且依据目前市场的需求状态所有大型电子实验机器均能售完. (1)求年利润关于年产量的函数关系式；（利润=销售额-投入成本-固定成本） (2)试求出年利润的最大值以及利润最大时的年产量. 7．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）某公司为了推广某款新产品，计划投资15万元用于这款新产品的宣传.每生产万件该产品，需另投入成本万元，且.已知该公司这款新产品每件的售价为14元，且生产的所有产品都能销售完. (1)求该公司这款产品的利润（单位：万元）关于产量（单位：万件）的函数关系式. (2)当产量为多少万件时，该公司这款产品的利润最大？最大利润是多少？ 8．（24-25高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【考点3：幂函数模型】 【知识点：幂函数模型】 函数模型 函数解析式 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 2．（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 4．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 5．（24-25高一·上海·课堂例题）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 6．（23-24高一上·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半. （1）求的值； （2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？ 7．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 8．（23-24高一上·云南昭通·期末）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 一次、二次、分式、分段函数及幂函数的应用 【考点1：一次、二次、分式函数模型】 1 【考点2：分段函数模型】 7 【考点3：幂函数模型】 15 【考点1：一次、二次、分式函数模型】 【知识点：一次、二次、分式函数模型】 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 分式函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)或y＝x＋(a>0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 1．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且．    (1)设米（），求出四边形的面积关于的表达式； (2)为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值． 【答案】(1) (2)100 【分析】（1）根据矩形与三角形的面积公式计算，即可; （2）解一元二次不等式即可. 【详解】（1）设米，则， ，， 即； （2）若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即 解得，故AE的长的最大值为100米. 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供万元的创业补助．某企业拟定在申请得到万元创业补助后，将产量增加到万件，同时企业生产万件产品需要投入的成本为万元，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本） (1)求该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； (2)当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】(1)， (2)7万元 【分析】（1）由题意计算销售金额、成本，从而可得该企业获得创业补助后的收益万元与创业补助万元的函数关系式； （2）由（1）得，,，利用基本不等式和对勾函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）依据题意可知，销售金额万元，创业补助万元，成本为万元， 所以收益，． （2）由（1）可知，， 其中，当且仅当，即时，取等号． 所以， 所以当时，该企业所获收益最大，最大值为74万元． 3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润. 【答案】(1) (2)生产万台时，年利润最，最大利润为万元. 【分析】（1）根据题意，结合利润=销售收入-成本，即可得到年利润关于年产量的函数解析式为； （2）由（1）知，当时，，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，年利润关于年产量的函数解析式为： （2）解：由（1）知，当时，， 由基本不等式，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 所以，当年生产万台时，年利润取得最大值，最大利润为万元. 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元 (1)请用表示； (2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 【分析】（1）求出前面墙的长度，再根据题意可得出关于的表达式； （2）利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）前面墙的长度为米， 总报价，其中. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米. 5．（安徽县中联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【详解】（1）由题意可得当时，， 当时，， （2）由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元. 6．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 【答案】(1)2450元 (2)元/件 【分析】（1）表达出，配方后得到最大值； （2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值. 【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 7．（24-25高一上·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)年产量为吨时，最低平均成本为万元 (2)年产量为吨时，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意写出生产每吨产品的平均成本的解析式，由基本不等式求解可得； （2）写出利润的解析式，由二次函数最值可求. 【详解】（1）由题意可得，， 因为， 当且仅当时，即时等号成立，符合题意. 所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元． （2）设利润为，则， 又， 当时，． 所以当年产量为吨时，最大利润为万元． 8．（24-25高一上·浙江台州·开学考试）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得； （3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可. 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； （2）设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 【考点2：分段函数模型】 【知识点：分段函数模型求解策略】 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者). 1．（23-24高一上·天津·期末）近年来，人们对健康环境、生态环境的关注越来越高，因此，低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市对居民计费方法如下表：若某户居民本月缴纳的电费为150元，则此户居民本月的用电量为（    ） 生活用电实行分段计 电价 0~200度用电量 0.3元/度 201~400度用电量 0.6元/度 401度以上用电量 0.9元/度 A．250度 B．350度 C．450度 D．500度 【答案】B 【分析】根据题意，得到本月缴纳的电费和居民用电量的函数关系式，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设某户居民用电量为度，本月缴纳的电费为， 可得， 当某户居民本月缴纳的电费为150元时，可得， 解得，即居民本月的用电量为度. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设年平均利润为，表示出，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即可得解. 【详解】依题意，设年平均利润为，则（）， 当时， 当且仅当，即时取等号； 当时，则当时取得最大值且， 又，所以当时年平均利润取得最大值. 故选：C 3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费计算电费，每月用电不超过100度时，按每度元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度元计算． (1)设月用电量为度时，应交电费元，写出与的函数关系式； (2)小明家第一季度的电费情况如下： 月份 一月 二月 三月 交费金额 76元 63元 元 则小明家第一季度共用电多少度？ 【答案】(1) (2)330度 【分析】（1）由题意可知y关于 x的函数关系式为分段函数，结合题意分和两种情况求解； （2）当时，，由表可知小明家只有三月份用电小于100度，其他两个月均超过100度．将各月电费金额代入相应解析式即可求得当月用电量． 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以所求函数式为 （2）由题意：当，则；当，则； 由表可知小明家只有三月份用电小于100度，其他两个月均超过100度，则有： 一月份：，得度； 二月份：，得度； 三月份：，得度； 所以第一季度共用电：度 故小明家第一季度共用电330度． 4．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元． (1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少． 【答案】(1) (2)游客为30万人时利润最大，最大为205万． 【分析】（1）根据计算可得； （2）分别求出函数在各段的范围（最大值），即可得解. 【详解】（1）依题意， 又， 所以， 即； （2）当时，单调递增，且当时， 所以， 当时，， 则在上单调递增，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，故， ， 综上，游客为万人时利润最大，最大为万． 5．（2024·吉林·模拟预测）师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）. (1)求的函数关系式； (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）由题意可知：，结合题意代入运算即可； （2）分和，结合二次函数和基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题意可知：. （2）由（1）可知：， 若，则，可知其图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值为； 又因为，可知的最大值为， 所以当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是元. 6．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）某技术公司计划购买成本为500万元的先进设备，用于生产某大型电子实验机器，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系式为.据市场调查，每台大型电子实验机器的平均估价为300万元，且依据目前市场的需求状态所有大型电子实验机器均能售完. (1)求年利润关于年产量的函数关系式；（利润=销售额-投入成本-固定成本） (2)试求出年利润的最大值以及利润最大时的年产量. 【答案】(1) (2)年产量为80台时，年利润最大为1040万元 【分析】（1）根据已知条件，分和两种情况，结合已知列函数关系式. （2）当时，通过二次函数的配方法求最大值；当时，使用基本不等式求解最值，最后比较大小即可. 【详解】（1）①当时，； ②当时，. 所以. （2）①当时，， 故当时，取得最大值为625； ②当时，因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 即当时，取得最大值为1040. 因为，所以年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元. 7．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）某公司为了推广某款新产品，计划投资15万元用于这款新产品的宣传.每生产万件该产品，需另投入成本万元，且.已知该公司这款新产品每件的售价为14元，且生产的所有产品都能销售完. (1)求该公司这款产品的利润（单位：万元）关于产量（单位：万件）的函数关系式. (2)当产量为多少万件时，该公司这款产品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元. 【分析】（1）根据给定条件，利用给定模型求出. （2）利用二次函数、基本不等式求出各段上函数最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）当时，； 当时，. 所以. （2）当时，， 则当产量为9万件时，利润达到最大值12万元； 当时，，当且仅当，即时取等号， 则当产量为16万件时，利润达到最大值13万元，而， 所以当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元. 8．（24-25高一上·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为3680万元 【分析】（1）根据题意求出，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【详解】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时，， 当时，， 综上． （2）①当时，单调递增，所以； ②当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号， 所以此时的最大值为， 综合①②知，当时，取得最大值为3680万元． 【考点3：幂函数模型】 【知识点：幂函数模型】 函数模型 函数解析式 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【答案】125 【分析】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为： 2．（2024·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 3．（2024·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【答案】B 【分析】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【详解】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B 4．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的42%，则他复习背诵时间需大约在（    ） （参考数据: ） A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，， ∵， ∴x的估计值可取0.5，即他复习背诵时间需大约在14：30. 故选：A. 5．（24-25高一·上海·课堂例题）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 【答案】 【分析】首先建立函数关系式，并代入求值. 【详解】由题意可知，，，则， 即，当时，. 所以气体通过半径为的管道时的速率为. 6．（23-24高一上·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半. （1）求的值； （2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？ 【答案】（1）；（2）年. 【解析】（1）设今年碳排放量为，则由题意得，从而可求出的值； （2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，再把代入解关于的不等式即可得答案 【详解】解：设今年碳排放量为. （1）由题意得， 所以，得. （2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的， 则， 将代入得， 即，得. 故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的. 7．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 8．（23-24高一上·云南昭通·期末）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式； （2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大? （3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金) 【答案】（1）生产芯片的毛收入，生产芯片的毛收入；（2）答案见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 【分析】（1）根据芯片的毛收入与投入的资金成正比，且每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元求解；根据芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，将，代入求解； （2）由（1）的结果，比较即可. （3）设投入千万元生产芯片，投入千万元资金生产芯片，由（1）的结果，建立利润函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入. 将，代入，得， ∴， 生产芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得. ∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大 （3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片， 投入千万元资金生产芯片， ∴公司所获利润， 故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$