3.1.1基本计数原理（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

3.1.1基本计数原理 主讲： 人教B版2019选择性必修第二册 第3章 排列、组合与二项式定理 在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题。例如： (1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集? (2)由3个数字组成的密码锁，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁? (3)有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，则有多少种不同的站法? 新课导入 1.分类加法计数原理 你能解答下述两个问题吗?试着由此归纳出一般的规律. (1)已知某天从北京到上海的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班, 小张想这一天坐火车从北京到上海去旅游，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择? (2)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.假定火车每 日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种 不同的走法呢? 尝试与发现1 （1）已知某天从甲地到乙地的高铁有43班，动车有2班，其他列车有3班，小张想在这一天坐火车从甲地到乙地旅行，不考虑其他因素，小张有多少种不同的选择？ （2）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。假定火车每日有1班，汽车每日有3班，轮船每日有2班，那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 甲地 乙地 高铁 动车 其他列车 甲地 乙地 火车 汽车 轮船 问题剖析 从甲地到乙地 三类 能独立完成 43种,2种,3种 43+2+3=48种 要做的事情是什么 完成这个事情有几类办法 每类办法中的任一方法能否独立完成这件事情 每类办法中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 1种,3种,2种 1+3+2=6种 尝试与发现1 5 分类加法计数原理 注意： 1.完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立 3.方法总数是各类办法的方法数相加 2.每一类办法中的每一种方法都能独立完成这件事情 尝试与发现1 6 例1.在某设计活动中，李明要用红色和蓝色涂满四个格子，要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 试给出一种满足条件的涂法，在明确要完成的事情是什么的前提下思考： (1)怎样用符号表示填涂结果? (2)可以将填涂结果分类吗? 思考 典例分析1 7 试给出一种满足条件的涂法，在明确要完成的事情是什么的前提下思考： (1)怎样用符号表示填涂结果? (2)可以将填涂结果分类吗? 第一类 第二类 用R表示红色，用B表示蓝色，RBRB 表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色. 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻，则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻. 涂红色的格子相邻的方法有： RRBB,BRRB,BBRR,共3种； 涂红色的格子不相邻的方法有： RBRB.BRBR,RBBR,共3种. 依据分类加法计数原理，李明共有不同的涂法2种. 典例分析1 2.分步乘法计数原理 （1）已知某公园的示意图如图所示，其中从西门到景点A共有3条不同的路，从景点Ａ到东门共有两条不同的路.王瑞从公园的西门进入公园后，想去A景点游玩，然后从东门出公园.只考虑路的选择，王瑞共有多少种不同的走法?你能用适当的符号表示出所有的情况吗? 西门 景点A 东门           尝试与发现2 10 分步乘法计数原理   1.完成一件事，需要若干个步骤，完成每个步骤又有若干种方法。 2.这n个步骤相互联系，每个步骤里的每一种方法都不能独立完成这件事。 3.方法总数是每个步骤的方法数相乘。 说明： 尝试与发现2 例2 用1,2,3,4,5可以排成多少个数字不重复的三位数? 分析：要排成一个三位数，只需分别指定这个三位数的百位、十位、个位上的数字即可，因此可以分成三步完成. 解 排成一个三位数，可以分成三步： 第一步，确定百位上的数字，共有5种方法； 第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法； 第三步，确定个位上的数字，共有3种方法. 依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为 5×4×3=60. 思考：例2的解答有其他的分步方法吗? 如果有的话，得到的结果一样吗? 典例分析2 1.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　) 2.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.(　　) 3.在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.(　　) 4.从甲地经丙地到乙地是分步问题.(　　) × √ √ √ 概念辨析 判断正误 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 内容 完成一件事，如果有类办法，且第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法……第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有： 种不同的方法。 完成一件事，如果有个步骤，且做第一有种不同的方法，做第二步有种不同的方法……做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有： 种不同的方法。 解决问题种类 针对“分类”问题 针对“分步”问题 注意事项 每类办法中的每种方法都能独立完成这件事。 每步完成的只是这件事中的某一环节，个步骤都完成才算完成这件事。 各类办法之间是互斥的，独立的。 各步之间相互依存，不重不漏。 分类加法计数原理和分步乘法计数原理合称为基本计数原理. 学后总结 14 在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题。例如： (1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集? (2)由3个数字组成的密码锁，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁? (3)有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在正中间，则有多少种不同的站法? 现在，大家可以解决解决情境引入中所提出的问题了吗？ 学以致用 ① 张丽的书桌上有3本不同的语文课外读物和2本不同的数学课外读物。现在她 想从中取出一本随身携带，以便外出时阅读，有多少种不同的取法? 如果她想从语文课外读物和数学课外读物中各取一本随身携带，有多少种不同的取法? A组 3+2=5种 3✕2=6种 学以致用 ② 用0,1,2, …,9这十个数字，可以组成多少种不同的银行卡密码?(每个银行卡密码均由六位数字组成，数字可以重复，不考虑其他因素.) ③ (1)用1,2,3,4,5,6可以排成多少个数字不重复的两位数? (2)用1,2,3,4,5,6可以排成多少个数字可以重复的两位数? 10✕10✕10✕10✕10✕10=1000000种 6✕5=30个 6✕6=36个 A组 学以致用 ④ 将代数式(x+y+z)(a+b+c+d+e)展开后，共有多少项? ⑤某城市电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成,其中前面4位数字是固定的,后面四位的每一个数字都是0到9这十个数字中的任意一个。该电话局管辖范围内的不同的电话号码最多能有多少个? 3✕5=15项 10✕10✕10✕10=10000种 A组 学以致用 3.基本计数原理的应用 在实际问题与数学问题的解决中，我们往往需要综合使用分类加法计数 原理和分步乘法计数原理. 例3 某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少要有1位女同学参加，则不同的选法共有多少种? 要做的事情是什么 完成这个事情需要什么原理 分几步 每一步中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 2+3=6种 2种,3种 2步 先分步再分类 选出2人 问题剖析 6+1=7种 6种,1种 一男一女或两女共2类 先分类再分步 选出2人 要做的事情是什么 完成这个事情需要什么原理 可以分成几类 每一类中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 典例分析3 反思感悟 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理. 使用两个原理的原则 B组 ①如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有 3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地 有2条路.要从甲地去丁地，共有多少种不同的走法? 2✕3+4✕2=14种 学以致用 ②已知A，B，C，D，E这五位司机中，A,B既能开大客车，也能开小客车，但C,D,E这三位司机都只能开小客车。现要从这五位司机中选用两人，分别去开一辆大客车和一辆小客车，共有多 少种不同的选用方法? 2✕4=8种 学以致用 B组 ③已知n 是一个小于10的正整数，且由集合A={x|x∈N+,x≤n)中的元素可以排成数字不重复的两位数共20个，求n 的值. 由n✕(n-1)=20，解得n=5 学以致用 B组 ④如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面，抛一次硬币，得到正面记为1,得到反面记为0.现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组(例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为(1,1.0,1,0)),则可得不同的数组共有多少个? 2×2×2×2×2=10个 B组 学以致用 1.知识清单： (1)分类加法计数原理. (2)分步乘法计数原理. 2.方法归纳：分类讨论. 3.常见误区 “分类”与“分步”不清，导致计数错误. 课堂小结 $$