第二十八章 圆的压轴训练（单元复习 7类压轴）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十八章 圆的压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用垂径定理求平行弦问题 1 压轴题型二　90度的圆周角所对的弦是直径 6 压轴题型三　求某点的弧形运动路径长度 10 压轴题型四　求图形旋转后扫过的面积 13 压轴题型五　求其他不规则图形的面积 15 压轴题型六　利用圆周角定理解决圆中综合问题 17 压轴题型七　利用垂径定理解决圆中的综合问题 30 02 压轴题型 压轴题型一　利用垂径定理求平行弦问题 例题：（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 2．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 【答案】或 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】根据题意，分析两种AB的位置情况进行求解即可； 【详解】解：①如图，AB//CD，过点O作 在中 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵AB//CD ∴AB与CD之间的距离即GH ∴AB与CD之间的距离为 ②如图，作，连接AD 则有四边形PEFD是矩形， ∴EF=PD ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题主要圆的的性质、三角形的全等，勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键． 3．（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 【答案】和之间的距离为7或17 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 压轴题型二　90度的圆周角所对的弦是直径 例题：（23-24九年级下·广东茂名·期中）如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，过点C作于点F，连接．面积的最小值为 ． 【答案】 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、根据矩形的性质求线段长 【分析】取得中点O，由，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上，即可求解． 【详解】解：取得中点O， ∵ ∴F在以O为圆心，为直径的圆上 ∴F到的最小距离为 ∴面积的最小值为 故答案为：8． 【点睛】本题考查了动点的轨迹问题，关键是根据，判断出F在以O为圆心，为直径的圆上． 巩固训练 1．（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．由，知点P在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴米，米，． ∵，∴， ∴点P在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P运动了米， ∴点P运动了秒． 故答案为：． 2．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，圆周角定理，点到圆上的最短距离，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 过点作轴，交的延长线于点，利用判定出得到，再根据推出点的运动轨迹，取的中点，连接，用勾股定理求出的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点作轴，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵，轴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， ∴当点三点共线时，有的最小值为； 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点E、F为正方形的边上两个动点，且，，于M，连，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、90度的圆周角所对的弦是直径、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及圆的有关性质等知识，延长交的延长线于点H，得求出，得点M在以为直径的圆上运动，取的中点O，由勾股定理得出，从而可得出的最小值 【详解】解：延长交的延长线于点H，如图， 在正方形中， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ 即点M在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点O，连接交于点，则， 当三点共线时，，此时，值最小， 过点O作于点G，则， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴的最小值为 故答案为： 压轴题型三　求某点的弧形运动路径长度 例题：如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示） 【答案】 【分析】A点坐标为已知，求出长度，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解： 如图，由题意A点以原点O旋转中心旋转了 点A经过的路径的长度 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的旋转、弧长等知识点，需要熟练掌握弧长计算公式． 巩固训练 1．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．    【答案】 【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可． 【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．    在直角中，，则， 则． ∴． 由旋转性质可知，，又， ∴是等边三角形． ∴． 由旋转性质知，． 故弧的长度为：； 故答案为： 【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹． 2．如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ． 【答案】 【分析】根据三角形内角和和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可． 【详解】∵， ∴， ∵三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴弧的长度， 即点所转过的路径长为． 答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了弧长公式． 压轴题型四　求图形旋转后扫过的面积 例题：如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．      【答案】 【分析】结合已知条件及旋转性质，根据面积的和差可得，然后利用扇形面积公式计算即可． 【详解】∵，， ∴为等边三角形， ∴， 由旋转性质可得，，， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形的面积及旋转性质，结合已知条件将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键． 巩固训练 1．如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由于将绕点C旋转得到可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，在计算其差即可． 【详解】解：从图中可以看出，线段扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是，小圆半径是，圆心角是，所以阴影面积大扇形面积小扇形面积 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键． 2．如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得：，，，因此直角边扫过的图形面积为，因为，因此，代入数值即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得：，，，， 所以直角边扫过的图形面积为， 由于， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轨迹问题，关键是根据旋转的性质，找出扫过的面积构成，利用扇形的面积公式计算即可． 压轴题型五　求其他不规则图形的面积 例题：图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，可以求得的长，再根据图形，可知阴影部分的面积扇形的面积的面积扇形的面积，计算即可． 【详解】解：连接，    由题意可得，，，， ， ， ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 巩固训练 1．如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    【答案】 【分析】连接，，由，得，求出，根据公式求出，即可得到阴影面积． 【详解】如图，连接，， 由题意，得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正多边形的性质，正确理解图形面积的计算方法连接辅助线是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，即可求解． 【详解】解：连接，如图： 四边形是矩形， ，， ， ， ， 扇形的面积为：， ∵， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，扇形的面积，三角形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质． 压轴题型六　利用圆周角定理解决圆中综合问题 例题：（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、三线合一、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，结合等腰三角形三线合一，即可求证； （2）根据圆周角定理和等边对等角推出，则，由（1）可得，，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵， ∴． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径， 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质； （1）根据圆内接四边形的性质得到，再证明即可得到； （2）连接并延长交于F，连接，则，根据已知条件得到，，求得，根据直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）证明：∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于F，连接， 则， ∵D是弧的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接、． (1)若，，求的半径； (2)在（）的条件下，求弦的长． 【答案】(1)半径为 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质推得，再结合勾股定理即可求得直径，从而求得半径． （2）证明，根据相似三角形的性质得到求出，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：是直径， ， 即， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 的半径为． （2）解：，， ， ，， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，正方形的四个顶点都在上，若点E是弧上的一点，F是上的一点，且．①试说明：；②若，求半径． 【解决问题】如图2，若点E在弧上，过点A作，请说明线段之间满足等量关系：． 【答案】【问题发现】①见解析；② 【解决问题】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、同弧或等弧所对的圆周角相等、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】【问题发现】①由同弧对的圆周角相等及可证明；②连接，则；由得，，，则可得是等腰直角三角形，从而求得与，由勾股定理即可求得直径，从而求得圆的半径； 【解决问题】在上取，连接，则可证明，得，，则得；由及，从而可得，，则有，最后即可得． 【问题发现】解：①∵， ∴； ∵四边形为正方形， ∴，； ∵ ∴； ②如图，连接， ∵， ∴为的直径， ∴； ∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，； 由勾股定理得， ∴的半径为； 【解决问题】解：如图，在上取，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，90度圆周角对的弦为直径，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，涉及的知识点较多，证明三角形全等是解题的关键． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)10． 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得，再由圆周角定理及等量代换得出，利用等角对等边即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由等量代换确定，根据等边三角形的判定即可证明； （3）设，根据等边三角形的性质及圆周角定理，利用全等三角形的判定得出，结合图形，根据其性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ； （2）证明：如图：弧弧， ，且， ， ， 且， 为等边三角形； （3）解：如图：设， 为等边三角形， ， ， 弧弧， ， ， 弧弧， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 在上截取，且， 是等边二角形， ， ，且， ， ， ． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）利用圆美四边形和美角的定义解答即可； （2）①作出的直径，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可； ②延长至点，使，连接，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则为等边三角形；利用，求出△的面积的最大值即可得出结论； （3）延长交的延长线于点，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径， ， 由（1）知：， ， 的半径为8， ． ． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：， ， 平分， ． ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 在△和△中， ， ， ， ， 为等边三角形． ，， ． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大， 当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由： 延长交的延长线于点，如图， 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义并熟练应用，连接直径所对的圆周角是解题的关键 压轴题型七　利用垂径定理解决圆中的综合问题 例题：（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】证明四边形是正方形、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形． （2）连接，根据定义，利用圆周角定理证明． （3）分P等垂点在圆内和圆外两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，，， ∴四边形是矩形， ∵， 根据垂径定理，得 ∴四边形是正方形． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，设，交点为G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为 【知识点】利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理． （1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可． （2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图，过点作于点，连接， 由（1）知： ∴， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴圆心在的垂直平分线上， ∴， 设的半径为r， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理以及垂径定理和勾股定理； （1）根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到； （2）根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，又， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，即． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． (1)求的度数，并求的长； (2)求弧的长； (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）设圆心为O，连接．根据垂径定理及其推论，特殊角的三角函数，求的度数，的长即可． （2）根据求得，得到优弧对的圆心角，利用弧长公式求弧的长即可． （3）分圆心O在的上方和下方两种情形求解即可． 【详解】（1） 如图，设圆心为O，连接． ∵在弧的中点M处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． （2）解：如上图，∵，， ∴，， ∴优弧对的圆心角，， ∴弧的长为． （3）解：根据题意，得，， ∴， 当圆心O在的下方时， ； 当圆心O在的上方时， ； 故水深或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理，弧长公式是解题的关键． 4．（2024·上海虹口·模拟预测）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，理解和灵活运用垂径定理，并能够熟练地解直角三角形是解答本题的关键． （1）过点，交于点M．连接．根据已知条件求出、，由勾股定理计算的长度； （2）设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N．由垂径定理求得、，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离． 【详解】（1）解：过点G作，交于点M．连接． 由题意可得：，， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N． 由垂径定理，得， ∴． ∴． ∵，，且， ∴， ∴，即， 解得． ∴． ∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 圆的压轴训练 01 压轴总结 目录 压轴题型一　利用垂径定理求平行弦问题 1 压轴题型二　90度的圆周角所对的弦是直径 6 压轴题型三　求某点的弧形运动路径长度 10 压轴题型四　求图形旋转后扫过的面积 13 压轴题型五　求其他不规则图形的面积 15 压轴题型六　利用圆周角定理解决圆中综合问题 17 压轴题型七　利用垂径定理解决圆中的综合问题 30 02 压轴题型 压轴题型一　利用垂径定理求平行弦问题 例题：（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 巩固训练 1．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 2．（2022·黑龙江牡丹江·二模）在半径为4cm的中，弦CD平行于弦AB，，，则AB与CD之间的距离是 cm． 3．（23-24九年级上·甘肃庆阳·期中）已知的半径为13，弦平行于，，求和之间的距离． 压轴题型二　90度的圆周角所对的弦是直径 例题：（23-24九年级下·广东茂名·期中）如图，在矩形中，，点E是上一动点，连接，过点C作于点F，连接．面积的最小值为 ． 巩固训练 1．（2024·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，米，米．点P以每秒5米的速度沿折线运动，总有，垂足为Q．当取得最小值时，点P运动了 秒． 2．（2024·江苏扬州·三模）如图，在直角坐标系中，，是上一点，B是y正半轴上一点，且，，垂足为，则的最小值为 ． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，点E、F为正方形的边上两个动点，且，，于M，连，则的最小值为 ． 压轴题型三　求某点的弧形运动路径长度 例题：如图，在平面直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点A对应，点与点B对应．如果，．则点A经过的路径长度为 （含的式子表示） 巩固训练 1．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．    2．如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为．三角板绕直角顶点C顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为 ． 压轴题型四　求图形旋转后扫过的面积 例题：如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，得到扇形，则扫过的区域（即图中阴影部分）的面积为 ．      巩固训练 1．如图，将绕点C顺时针旋转得到，已知，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ． 2．如图，在Rt中，，，，将绕点按逆时针方向旋转到的位置，使三点在同一条直线上，则直角边扫过的图形面积为 ． 压轴题型五　求其他不规则图形的面积 例题：图1是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图2，其中是的中点，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．    巩固训练 1．如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）    2．如图，在矩形中，，，以D为圆心，以长为半径画弧，以C为圆心，以长为半径画弧，两弧恰好交于上的点E处，则阴影部分的面积为 ． 压轴题型六　利用圆周角定理解决圆中综合问题 例题：（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径， 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，中，，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接、． (1)若，，求的半径； (2)在（）的条件下，求弦的长． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，正方形的四个顶点都在上，若点E是弧上的一点，F是上的一点，且．①试说明：；②若，求半径． 【解决问题】如图2，若点E在弧上，过点A作，请说明线段之间满足等量关系：． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形内接于，连接交于点E，且平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证，是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得到的射线交线段于点M，交于点N，若，求线段的长． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 压轴题型七　利用垂径定理解决圆中的综合问题 例题：（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E． 求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点． 求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，若，求的半径． 2．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使玻璃棒底端恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． (1)求的度数，并求的长； (2)求弧的长； (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 4．（2024·上海虹口·模拟预测）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 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