第二十八章 圆单元重点综合测试-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十八章 圆单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．四边形内接于， 若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 故选D． 2．如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧． 根据垂径定理得出，再根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵圆心到弦的距离为2， ∴， ∵弦的长为4， ∴， ∴， 即圆O的半径长是， 故选：C． 4．如图，点、、在上，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、圆周角定理 【分析】先根据，得出，再由平行线的性质得出，根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：，， ． ∵， ， ．（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍） 故选：B． 5．如图，是的直径， 点C是上与点A， B不重合的点， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角．根据圆周角定理得出，即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可． 【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，， ∴， ∴， 故选B． 7．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，计算解答即可． 本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 8．如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边对等角，三角形的内角和定理，连接，，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】解：如图所示，连接，，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查坐标与图形，垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，圆心的坐标是，      故选：A． 10．在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理和勾股定理求得，再分类讨论，结合图形求解即可． 【详解】解：如图1，连接， ∵点C为弦的中点，是的直径，， ∴，，又 ∴， ∴； 同理，如图2，则， 综上，长为或， 故选：C． 11．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 12．如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（　　）    A． B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】解直角三角形的相关计算、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．求线段扫过的图形的面积，即求扇形的面积． 【详解】解：由题意，知． 由旋转的性质，得． 在中，． ∴． ∴扇形的面积为． 即线段扫过的图形的面积为． 故选：D． 13．如图，是上的一点，与交于点，已知弦，，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用垂径定理求值、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识，作于，连接，可得，，设，则，，，即可根据求出，再利用勾股定理得，从而解决问题． 【详解】解：作于，连接，则， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ 故选：A． 14．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 15．如图，在半径为6的内有两条互相垂直的弦和，，，垂足为E，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值、利用垂径定理求值、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了三角函数、矩形、圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、矩形、正切的性质，从而完成求解． 连接，过点O作，根据垂径定理得出，再根据勾股定理得出，，通过证明四边形是矩形，得出，即可求解． 【详解】解：连接，过点O作， ∵，，， ∴， ∵半径为6， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：D． 16．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质求线段长、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 【答案】3 【知识点】两直线平行同位角相等、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】连接，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到，从而即可求得的长．本题考查了圆周角和圆心角和它所对弦长的关系，并且有效的结合了平行线的性质． 【详解】解：连接， ， ．， ∵， ， ． ． 故答案为：3． 18．如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 【答案】 16 34.54 【知识点】解直角三角形的相关计算、求扇形面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，扇形的面积． （1）由题意可得，根据，令，，即可求解； （2）连接交于点H，根据菱形的性质，解直角三角形，求出，可得，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）的直径为12， ． ∵． 令，． ∴． ∴． ∴， 故答案为：16； （2）如图．连接交于点H． ∵四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 19．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）若取得最大值，则点在线段 上； （2）若，，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、根据等角对等边求边长 【分析】（1）根据中位线定理知：当取得最大值时，就取得最大值，当最大时是的直径，即可得解； （2）如图，连接并延长交于点，连接，由（1）知，求得的直径后就可以求得最大值． 【详解】解：（1）∵点，分别是，的中点， ∴， ∴当取得最大值时，就取得最大值， 当为的直径时最大，此时点在线段上， 故答案为：； （2）如图，连接并延长交于点，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴的最大值为， ∵和所对的弧是，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值为为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键是了解当什么时候的值最大． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．如图，是圆O的弦，于点D，交弧于点C．若，，求圆O的半径． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 连接，根据垂径定理得出，，则，根据勾股定理可得，列出方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即圆O的半径为5． 21．如图，在中， ，之间的距离是2． (1)求证：弧弧； (2)求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】（1）连接、、、，如图，由得到，，则，再根据三角形外角性质得，，则，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论． （2）先作图，连接、，过O作，交于点F，运用垂径定理得，结合勾股定理列式，代入数值计算，即可作答． 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆周角定理，垂径定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【详解】（1）证明：连接、、、，如图， ， ， ， ∴，， ， ，， 而， ， ， 弧弧． （2）解：如图：连接、，过O作，交于点F， ，， ∴， ∵ ∴， ∵之间的距离是2． ∴， 则， ∴， ∴， 则， ∴， ∴的半径为． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)在图中画出； (2)点C的运动路径长为____________； (3)旋转过程中线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形 【分析】本题考查坐标系与图形变换旋转，以及弧长和扇形面积的计算．熟练掌握旋转三要素，弧长和扇形的计算公式，是解题的关键． （1）作出点、绕着点顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据弧长公式求解可得； （3）结合图形知线段所扫过的面积为，再利用扇形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴点的运动路径长为， 故答案为：； （3）解：旋转过程中线段扫过的面积为， 故答案为：． 23．如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径． (2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，） 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米 (2)此时水面的宽度约为9米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、已知余弦求边长、垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，，构造，通过垂径定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解． （2）设与相交于点，根据平行线的性质得出，为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，． ∵是的中点，， ∴，所在的直线经过圆心． 设半径，则． ∵在中，， ∴，解得． 答：主桥拱所在圆的半径长为5米． （2）（2）如图，设与相交于点． 由题意得． ∵，∴． ∵， ∴，∴． ∵在中，， ∴， ∴． 答：此时水面的宽度约为9米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 24．如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是的“相望角”； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、圆周角定理 【分析】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． （1）由直径，弦，可知垂直平分弦，则，由，可得，进而可得是的“相望角”； （2）由题意得，，由直径，弦，可得，，则，，如图1，记圆心为，连接，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵直径，弦， ∴垂直平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴是的“相望角”； （2）解：由题意知，是的“相望角”， ， ∴， ∵直径，弦， ∴，， ∴，， 如图1，记圆心为，连接，则，          ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 25．如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)4 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）①由垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由8字模型求解即可； ②连接，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）连接，延长，过A作于D，根据圆周角定理可得平分，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ． （2）解：连接，延长，过A作于D， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】标题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 26．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为______； 【一般化探究】； （2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】； （3）若，直接写出满足的数量关系 【答案】（1）（2）（3）或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理、利用垂径定理求值 【分析】（1）先证明为等边三角形，根据三角形的外接圆，得到垂直平分，为直径，垂径定理得到，进而得到，圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到进而得到； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的外接圆，点D在延长线上， ∴垂直平分，为直径， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∴； 故答案为：； （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， 当点在上时，如图：在上截取， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在上时，如图，延长至点，使， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上：或 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，以及截长补短的辅助线方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 圆单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．四边形内接于， 若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 3．如图，在中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则圆O的半径长是（  ） A．1 B． C． D．4 4．如图，点、、在上，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，是的直径， 点C是上与点A， B不重合的点， 若， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，内接于，，交交⨀O于点A，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是（    ）    A． B． C． D． 10．在中，点C为弦的中点，过点C的直径交于点D，E，如果，则长为（    ） A． B． C．或 D．或 11．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积是（　　）    A． B．6 C． D． 13．如图，是上的一点，与交于点，已知弦，，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 14．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 15．如图，在半径为6的内有两条互相垂直的弦和，，，垂足为E，则的值是（    ） A． B． C． D． 16．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上） 17．如图，和是的直径，弦．若弦，则弦的长为 ． 18．如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 19．如图，是的弦，是优弧上一动点，连接，，，分别是，的中点，连接． （1）若取得最大值，则点在线段 上； （2）若，，则的最大值为 ． 三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．如图，是圆O的弦，于点D，交弧于点C．若，，求圆O的半径． 21．如图，在中， ，之间的距离是2． (1)求证：弧弧； (2)求的半径． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)在图中画出； (2)点C的运动路径长为____________； (3)旋转过程中线段扫过的面积为______． 23．如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面的宽度为8米，拱高（的中点C到水面的距离）为2米． (1)求主桥拱所在圆的半径． (2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为，检测仪观测点的仰角为，求此时水面的宽度．（参考数据：，，） 24．如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是的“相望角”； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 25．如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 26．在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上（），连接． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点D在延长线上，则与的数量关系为______； 【一般化探究】； （2）如图2，若，点C、D在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】； （3）若，直接写出满足的数量关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$