4.3.2等比数列的前n项和公式5题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2等比数列的前n项和公式5题型分类 一、等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 二、等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 三、等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. （一） 等比数列基本量的求解 1．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqn-m＝qn. 2．等比数列的前n项和公式：==. 3.等比数列基本量的运算:在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，做到“知三求二”． 题型1：等比数列前n项和基本量的求解 1-1．（2024高二上·山东青岛·期中）设是数列的前项和，,，，，则（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高三上·陕西安康·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（    ） A． B． C．或 D．－3或 1-3．（2024高二下·广东深圳·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 1-4．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列为等比数列，前n项和为． (1)如果，，求； (2)如果，，求q； (3)如果，，求． 1-5．（2024高二·全国·随堂练习）求下列等比数列的前n项和． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 1-6．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则数列的公比的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 （二） 等比数列前n项和的性质 等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 题型2：等比数列片段和性质及应用 2-1．（2024高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列的前n项和为．若，则（    ） A．13 B．16 C．9 D．12 2-2．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．30 C．35 D．40 2-3．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．17 2-4．（2024高二下·湖北宜昌·期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ） A．27 B．45 C．65 D．73 2-5．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 题型3：等比数列奇、偶项和的性质及其应用 3-1．（2024高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 3-2．（2024·安徽·模拟预测）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 3-3．（2024高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 3-4．（2024高二·全国·学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 3-5．（2024高一下·浙江·期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 3-6．（2024高二·全国·课后作业）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 题型4：等比数列前n项和的其他性质 4-1．（2024·上海·模拟预测）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 4-2．（2024·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 4-3．（2024·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 （三） 等差数列与等比数列的综合应用 1．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d. 等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 2.等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqn-m＝qn. 等比数列的前n项和公式：==. 3.根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可. 题型5：等差数列与等比数列的综合应用 5-1．（2024高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A．29 B．31 C．33 D．36 5-2．（2024高二下·湖北·期中）已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求证：． 5-3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知公比大于1的等比数列满足：，且是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 5-4．（2024高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·北京·期中）大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（    ）    A．1984 B．2048 C．5724 D．5832 3．（2024高二下·北京·期末）已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·广东湛江·阶段练习）设为公比为的等比数列的前项和，且，则（    ） A． B．2 C．或 D．或2 5．（2024·山东青岛·一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 6．（2024高三上·天津·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 7．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三下·海南海口·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 9．（2024高二下·安徽滁州·期末）某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知数列{}满足：则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）已知等比数列的前项和（为常数），则的值为（    ） A． B． C．-1 D．1 13．（2024高二下·北京·期中）在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 14．（2024高二·全国·课后作业）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 15．（2024高二上·重庆巫山·期末）下列说法正确的是（    ） A．若数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列； 16．（2024高二下·辽宁辽阳·期末）某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（    ）（参考数据：） A．9年 B．10年 C．11年 D．12年 17．（2024高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 18．（2024高二下·辽宁大连·期末）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾.七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢.每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（    ） A．5.51 B．11.02 C．22.05 D．44.09 19．（2024高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 20．（2024高二上·江苏扬州·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍.已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？”该女子第一天织布的尺数是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·甘肃金昌·模拟预测）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 23．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 24．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 25．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（    ） A．786 B．240 C．486 D．726 26．（2024高二上·宁夏银川·阶段练习）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（    ） A． B．- C． D． 27．（2024·四川·模拟预测）设为等比数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 28．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期中）等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（ ） A．160 B．210 C．640 D．850 29．（2024高二上·江苏苏州·开学考试）“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（    ）    A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为 B． C．使得不等式成立的的最大值为4 D．数列的前项和 30．（2024高三上·山东·开学考试）已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则（    ） A．4048 B．2023 C．2022 D．4046 31．（2024高三上·上海黄浦·阶段练习）已知为等比数列，的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列单调递增 B．若，则数列单调递增 C．若数列单调递增，则 D．若数列单调递增，则 32．（2024高二下·河南郑州·期中）数列，其前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（2024高二下·湖南·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（    ） A．60 B．120 C．240 D．480 34．（2024高三上·全国·专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，，下列结论正确的是（    ） A．   B． C． 是数列中的最大值   D．数列无最大值 35．（2024高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 36．（2024高三上·江西·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．（2024高二上·上海杨浦·阶段练习）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 38．（2024高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（2024高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 40．（2024·山西·二模）已知等比数列的前项和，满足，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 41．（2024高三下·江西·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 42．（2024·贵州·模拟预测）在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 43．（2024高二下·安徽宣城·期末）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（    ） A．4 B．16 C．32 D．64 二、多选题 44．（2024高三上·山东·开学考试）等差数列的公差为，前项和为；等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列，公比为 B．是等差数列，公差为 C．若，则，，成等差数列，公差是 D．若，则，，成等比数列，公比是 45．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（    ） A． B． C． D． 46．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知为等比数列，是其前项和.若与的等差中项为20，则（    ） A． B．公比 C． D． 47．（2024高二下·贵州黔东南·期末）已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 48．（2024高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 49．（2024高三上·湖北·阶段练习）在等比数列中，，则 . 50．（2024高三上·湖北黄冈·期中）公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 51．（2024高三上·四川·阶段练习）在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则 . 52．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的最大值与最小值之和为 ． 53．（2024高二上·河北衡水·阶段练习）已知是等比数列的前项和，且，，则 . 54．（2024高二下·湖北·期中）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时， . 55．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 56．（2024高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 四、解答题 57．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）在等比数列{an}中， (1)已知，求前4项和； (2)已知公比，前5项和，求. 58．（2024高二上·海南省直辖县级单位·期末）设是公差不为0的等差数列，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 59．（2024高三上·广东江门·阶段练习）已知数列是以3为首项，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 60．（2024高三上·全国·阶段练习）已知等差数列公差为2，且，，恰为等比数列的前三项． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和． 61．（2024高三上·贵州黔西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 62．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 63．（2024高二·全国·课堂例题）已知数列是等比数列. (1)若，，求； (2)若，，，求； (3)若，，，求n. 64．（2024高三上·安徽·阶段练习）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付38元； 第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元； 第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）. 你会选择哪种方式领取报酬？ 65．（2024高三上·天津红桥·阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. (3)设，求数列的前项和. (4)记的前项和为，求证：； 66．（2024高二上·上海虹口·阶段练习）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 67．（2024高三上·北京·阶段练习）已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前项和的最大正整数． 68．（2024高一下·上海浦东新·期末）（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，试求符合条件的的个数. （2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由. 69．（2024高三上·北京·阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记比较与的大小. 70．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 71．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 72．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 73．（2024高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和. 74．（2024高二下·吉林长春·期中）已知等比数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 75．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列满足，且为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的最大整数. 76．（2024高二·江苏·课后作业）在等比数列中，，，求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.2等比数列的前n项和公式5题型分类 一、等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 二、等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 三、等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. （一） 等比数列基本量的求解 1．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqn-m＝qn. 2．等比数列的前n项和公式：==. 3.等比数列基本量的运算:在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，做到“知三求二”． 题型1：等比数列前n项和基本量的求解 1-1．（2024高二上·山东青岛·期中）设是数列的前项和，,，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数的运算性质可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用等比数列求和公式可求得的值. 【详解】因为是数列的前项和，，， 所以，，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为， 则，解得. 故选：A. 1-2．（2024高三上·陕西安康·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（    ） A． B． C．或 D．－3或 【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式和求和公式进行基本量的计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得:或（舍去），所以，所以. 故选:B. 1-3．（2024高二下·广东深圳·期中）已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的前n项和，求出数列的通项，即可计算作答； （2）由（1）将代入计算可得. 【详解】（1）由， 当时，， 又，因为数列是等比数列， 所以满足， ，即， （2）由（1），， ， ，解得. 1-4．（2024高二上·全国·课后作业）已知数列为等比数列，前n项和为． (1)如果，，求； (2)如果，，求q； (3)如果，，求． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）（2）（3）根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】（1）等比数列中，，， ，解得． （2）在等比数列中， ，，显然公比， ，整理得， 解得或． （3）因为，，所以公比， 所以，， 所以，即，所以， 所以，则. 1-5．（2024高二·全国·随堂练习）求下列等比数列的前n项和． (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，． 【答案】(1) (2) (3) (4)378 【分析】根据等比数列的求和公式即可代入求解. 【详解】（1）由，，得 （2）由，，得 （3）由，，得 （4）由，，得 1-6．（2024高二上·福建龙岩·阶段练习）设等比数列的前n项和为，若，则数列的公比的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 【答案】D 【分析】 根据等比数列的通项公式及前n项和公式运算求解，注意讨论公比是否为1. 【详解】当时，，符合题意； 当时，则，所以， 即，即，解得； 综上所述：或，即数列的公比的值为或1. 故选：D. （二） 等比数列前n项和的性质 等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 题型2：等比数列片段和性质及应用 2-1．（2024高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列的前n项和为．若，则（    ） A．13 B．16 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质，可得仍成等比数列，得到，即可求解. 【详解】设，则， 因为为等比数列，根据等比数列的性质， 可得仍成等比数列. 因为，所以， 所以，故. 故选：A 2-2．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和的性质列方程求解 【详解】由等比数列的前项和的性质可得：也成等比数列， ，得， 解得. 故选：B. 2-3．（2024高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．17 【答案】A 【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】设，则， 因为为等比数列，所以仍成等比数列. 易知， 所以,故. 故选:A. 2-4．（2024高二下·湖北宜昌·期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ） A．27 B．45 C．65 D．73 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案. 【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列， 所以有，即， 整理可得，解得（舍）或. 又因为， 所以有，解得. 故选：C. 2-5．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可； 【详解】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由，得，即，所以， 解得，则. 故选：C. 法二：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，， 所以，所以. 故选：C. 题型3：等比数列奇、偶项和的性质及其应用 3-1．（2024高三上·全国·阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 3-2．（2024·安徽·模拟预测）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论． 【详解】根据题意，数列为等比数列，设， 又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则， 故； 故选： 【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题． 3-3．（2024高二·全国·课后作业）已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，结合等比数列求和公式求出的值，进而可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 3-4．（2024高二·全国·学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 3-5．（2024高一下·浙江·期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数. 【详解】设这个等比数列共有项，公比为， 则奇数项之和为， 偶数项之和为， ， 等比数列的所有项之和为，则， 解得，因此，这个等比数列的项数为. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 3-6．（2024高二·全国·课后作业）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 【答案】450 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故答案为：450 题型4：等比数列前n项和的其他性质 4-1．（2024·上海·模拟预测）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【分析】 根据题意，结合等比数列的性质和特例，以及等比数列的单调性和前项和公式，可判定A、B、C都不正确；由数列是递增数列，得到和，可判定D正确. 【详解】 对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确； 故选：D． 4-2．（2024·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（    ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立. 【详解】不妨设，则，满足， 但是严格减数列，充分性不成立， 当时，是严格增数列，但，必要性不成立， 故甲是乙的既非充分又非必要条件. 故选：D 4-3．（2024·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为. 【详解】由可知公比，所以A错误； 又，且可得，即B错误； 由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增， 即无最大值，所以C错误； 设为数列前项积的最大值，则需满足，可得， 又可得，即的最大值为，所以D正确. 故选：D （三） 等差数列与等比数列的综合应用 1．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d. 等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋＝. 2.等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqn-m＝qn. 等比数列的前n项和公式：==. 3.根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可. 题型5：等差数列与等比数列的综合应用 5-1．（2024高二上·安徽马鞍山·期末）等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A．29 B．31 C．33 D．36 【答案】B 【分析】由已知，结合等比数列性质求出，进而求出及公比，再求出. 【详解】令等比数列的公比为，，解得， 由与的等差中项为，得，解得，则，， 因此，所以. 故选：B 5-2．（2024高二下·湖北·期中）已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且是和的等差中项，是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)若为数列的前项和，求证：． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意设出公差以及公比，求出以及，利用通项公式即可； （2）利用错位相减法求得，显然小于3，根据单调性得大于等于1，即可． 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由已知可得， 消去得：，解得或， 因为等差数列单调递增，所以， 于是，， ，． （2）由得： ，① ，② ①②得： ， 于是， 又单调递增． 综上所述：． 5-3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知公比大于1的等比数列满足：，且是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设等比数列的公比为q，由求解； （2）由（1）得到，利用错位相减法求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为是和的等差中项， 所以，又， 代入得，即， 所以，即， 解得或， 又因为数列是的等比数列， 所以． （2）由（1）知, ①， ②， 得, . 5-4．（2024高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（   ） A．35 B．33 C．31 D．30 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差中项的性质，解方程可得首项和公比，运用等比数列的求和公式即可. 【详解】设等比数列的公比为， ，， ，， 与的等差中项为， ，即， 解得， ， 由，可得， . 故选：D. 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表达式可知利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】由可知， 该表达式是一个以首项为1，公比为3的等比数列，共有项 故， 故选：C. 2．（2024高二下·北京·期中）大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前项依次是、、、、、、、、、.其通项公式为如果把这个数列排成如下图形状，并记表示第m行中从左向右第n个数，则的值为（    ）    A．1984 B．2048 C．5724 D．5832 【答案】D 【分析】首先根据题意得到表示数列的第108项，再计算其数值即可. 【详解】由题意：前10行共有， 表示数列的第108项. 所以. 故选：D 3．（2024高二下·北京·期末）已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得,进而可得,然后利用求和公式即得. 【详解】设数列的公比为, 由题意可得：, 又数列是递增的等比数列, 所以, 所以, 所以数列的前项和为. 故选:A. 4．（2024高三上·广东湛江·阶段练习）设为公比为的等比数列的前项和，且，则（    ） A． B．2 C．或 D．或2 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质得到，求出公比. 【详解】由题意得：，因为，所以， 所以，解得或． 故选：D 5．（2024·山东青岛·一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】 推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】 从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 则是以2为公比的等比数列， ，，解得， 所以， ． 故选：C． 6．（2024高三上·天津·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 【答案】B 【分析】应用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为， 则有，解得， 故选：B. 7．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质列式，由此求得. 【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列， 其中，所以， 所以. 故选：A 8．（2024高三下·海南海口·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】设公比为，依题意即可求出，然后根据等比数列的定义即可求解结论. 【详解】设公比为 ， 由 ， 可得: ， 解得 ， ， 故选：C. 9．（2024高二下·安徽滁州·期末）某书院数科考试中有这样一道题：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山问：夫子切了六斤桃花一共饮了几壶酒（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到数列前项都是，从第二项开始，构成以公比为的等比数列求解. 【详解】解：由题意可知，数列前项都是，从第二项开始，构成以公比为的等比数列， 所以前项和为：， . 故选：B． 10．（2024·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后天共走的里程数. 【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以，，解得， 所以，此人后三天所走的里程数为. 故选：D. 11．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知数列{}满足：则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据的关系可推导出为等比数列，进而可得. 【详解】由题意，，即，又， 故是以1为首项，2为公比的等比数列， 故，故. 故选：B 12．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）已知等比数列的前项和（为常数），则的值为（    ） A． B． C．-1 D．1 【答案】C 【分析】 根据等比数列的前项和求出，确定的值，即可求得答案. 【详解】由题意等比数列的前项和， 则时，， 当时，， 因为是等比数列，故必适合上式， 故， 故选：C 13．（2024高二下·北京·期中）在数列中，它的前项和为（为常数），若是以为公比的等比数列，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 根据等比数列的性质即可求解. 【详解】是以为公比的等比数列,     所以， 所以公比进而， 所以， 故选：B 14．（2024高二·全国·课后作业）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】讨论与不成立可判断A；利用等比数列的下标和性质可判断B；根据单调递增可判断C；根据的取值可判断D. 【详解】若，则，，所以，与矛盾； 若，则因为，所以，，则，与矛盾， 因此，所以A正确． 因为，所以，因此，即B正确． 因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误． 因为当时，，当时，， 所以的最大值为，即D正确． 故选：C 15．（2024高二上·重庆巫山·期末）下列说法正确的是（    ） A．若数列的公差，则数列是递减数列 B．若数列的前项和，则数列为等比数列 C．若数列的前项和（为常数），则数列一定为等差数列 D．数列是等比数列，为前项和，则仍为等比数列； 【答案】A 【分析】 根据等差数列等比数列的性质，逐个验证选项中的结论. 【详解】若数列的公差，即，所以数列是递减数列，A选项正确； 若数列的前项和，则，当时，，此时有，但，所以数列不是等比数列，B选项错误； 若数列的前项和（为常数），则，当时，，此时有，但，当时，，所以数列不一定为等差数列，C选项错误； 数列是等比数列，为前项和，当公比， 为偶数时，则均为0，不为等比数列，D选项错误. 故选：A 16．（2024高二下·辽宁辽阳·期末）某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（    ）（参考数据：） A．9年 B．10年 C．11年 D．12年 【答案】A 【分析】 根据题意，设该公司第年用于该新项目的投入为万元，则可得为等比数列，代入计算，即可得到结果. 【详解】 设该公司第年用于该新项目的投入为万元，则是首项为10，公比为的等比数列， 从而，即，即，即． 因为，所以的最大值是9. 故选：A 17．（2024高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 18．（2024高二下·辽宁大连·期末）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾.七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢.每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（    ） A．5.51 B．11.02 C．22.05 D．44.09 【答案】B 【分析】根据题意，得到数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式，求得首项，进而求得该马第六天行走的里程数为的值，即可求解. 【详解】设该马第天行走的里程数为， 由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以，该马七天所走的路程为，解得， 所以，该马第六天行走的里程数为. 故选：B. 19．（2024高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 20．（2024高二上·江苏扬州·期中）在我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍.已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少尺？”该女子第一天织布的尺数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 依题意利用等比数列前项和公式计算即可得出. 【详解】根据题意可知该女子每天分别织布的尺数成等比数列，且公比为， 设该女子第一天织布的尺数是， 由等比数列前项和公式可知，解得. 故选：B 21．（2024·甘肃金昌·模拟预测）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系求出，根据与其前项和的关系可得是等比数列，根据等比数列的通项公式与求和公式即可求解. 【详解】由，，得,即，解得. 因为，所以， 两式相减得，即. 又，，所以， 所以是首项为2，公比为3的等比数列， ∴，． 故选:D. 22．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】 由条件用参数表示前三项计算即可. 【详解】，， 故，解之得或（舍去），故. 故选：D 23．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 【答案】B 【分析】据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】是各项均为正数的等比数列的前项和， 也为等比数列， 又， 该等比数列第一项，第二项. 则公比， ， . 故选：B. 24．（2024高三上·辽宁·开学考试）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，，， 所以. 故选：D 25．（2024高二上·河北邢台·阶段练习）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则（    ） A．786 B．240 C．486 D．726 【答案】D 【分析】根据等比数列前n项和的性质可得，，，…成等比数列．结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】因为为等比数列，所以，，，…仍为等比数列． 设，因为，，所以6，，成等比数列． 由，解得或（舍去）， 所以数列，，…的公比为3． 因为，，， 所以，， 故，. 故选：D 26．（2024高二上·宁夏银川·阶段练习）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（    ） A． B．- C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列中，，，成等比数列的这个性质解决问题. 【详解】已知：，，成等比数列， 且：，，∴， ∴. 故选：C 27．（2024·四川·模拟预测）设为等比数列的前项和，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】 设出公比，根据得到方程，求出公比，利用通项公式和求和公式基本量计算出答案. 【详解】设公比为，由题意，因为，所以， 解得或，所以， 故或． 故选：C． 28．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期中）等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（ ） A．160 B．210 C．640 D．850 【答案】B 【分析】 根据等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，无解，所以， 所以， 两式相除得， 则， 所以. 故选：B 29．（2024高二上·江苏苏州·开学考试）“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．下列说法错误的是（    ）    A．从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为 B． C．使得不等式成立的的最大值为4 D．数列的前项和 【答案】C 【分析】找到规律，得到，推导出等比数列，求出通项公式，判断B选项，进而得到从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和，判断A选项，得到的通项公式，解不等式，判断C选项，利用等比数列前n项和公式进行判断D选项. 【详解】由题可得，，，……，， 则，所以数列是以4为首项， 为公比的等比数列，则，显然B正确； 由题意可得：，即，，……， 于是，为等比数列， 对A：连续三个正方形面积之和，A正确； 对C：令，则，而，C错误； 对D：，D正确． 故选：C. 30．（2024高三上·山东·开学考试）已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则（    ） A．4048 B．2023 C．2022 D．4046 【答案】B 【分析】令数列的公比为，则，，令、分别求出、，即可得到，则，从而得到的通项，即可得解. 【详解】令数列的公比为，∵，∴，， 因为， 所以当时，，即或（舍去）， 当时，，即，解得或（舍去）， 所以，，即， 因为数列中的整数项组成新的数列， 所以，，此时，即，∴． 故选：B 31．（2024高三上·上海黄浦·阶段练习）已知为等比数列，的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列单调递增 B．若，则数列单调递增 C．若数列单调递增，则 D．若数列单调递增，则 【答案】D 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列的公比为，则，， 对于A项，由得，即 ， 所以当，时，满足，但不是递增数列，故A项不成立； 对于B项，由得， 所以当，时， ，满足，但不是递增数列，故B项不成立； 对于C项，当，时，，，， 此时满足数列是单调递增，但，故C项不成立； 对于D项，由数列是单调递增可知，且， 所以，所以，即， 所以，， 所以，， 又因为，， 所以，即，故D项正确. 故选：D. 32．（2024高二下·河南郑州·期中）数列，其前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得数列的前项和，再将题给不等式化简得到对一切恒成立，再利用均值定理即可求得实数的取值范围. 【详解】数列，则，， 则数列是首项为4公比为2的等比数列， 其前项和， 则不等式对一切恒成立， 可化为，即对一切恒成立， 又（当且仅当时等号成立）， 则实数的取值范围为. 故选：D 33．（2024高二下·湖南·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（    ） A．60 B．120 C．240 D．480 【答案】B 【分析】设，则由题意可知为等比数列，其中，，从而可求出，利用累乘法可求出，从而可求出，然后利用分组求和法可求得结果. 【详解】由题意，数列1，1，3，27，729，…为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以， 则，， 所以，， 因为，，也适合上式，所以， 所以 . 故选：B. 34．（2024高三上·全国·专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，，下列结论正确的是（    ） A．   B． C． 是数列中的最大值   D．数列无最大值 【答案】A 【分析】根据 ， ，，可判断数列 的，进而可知数列是单调递减的等比数列，结合选项，即可逐一求解. 【详解】根据题意，等比数列中，，则有，有， 又由0，即 ，必有， 由此分析选项： 对于A， ，故 ，A正确； 对于B，等比数列中，，，则 ，则 ，即 ，B错误； 对于C， ，则 是数列 中的最大项，C错误； 对于D，由C的结论，D错误； 故选：A. 35．（2024高三·全国·专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（    ） A．q>1 B． C． D．是数列中的最大项 【答案】A 【分析】根据并结合，得到，，进而结合等比数列的性质求得答案. 【详解】因为，所以或，而为等比数列，，于是，，则A错误； ，则B正确； ，则C正确； 因为，所以是数列中的最大项，则D正确. 故选：A. 36．（2024高三上·江西·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，由，，列方程求出，进而可求出，列不等式组可求出的取值范围 【详解】解：设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，当时，取得最小值， 所以，解得， 故选：D 【点睛】此题考查等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题 37．（2024高二上·上海杨浦·阶段练习）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意得等比数列的前项和列不等式，然后再由，结合函数零点的判断得出答案. 【详解】设天后能打穿，则，化简为， 令，则，又由函数的单调性可知在内有唯一零点， 所以至少需要天. 故选：C. 38．（2024高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 39．（2024高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知等比数列中，，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即， 因为，所以， 则， 即，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 40．（2024·山西·二模）已知等比数列的前项和，满足，则（    ） A．16 B．32 C．81 D．243 【答案】A 【分析】根据，作差得到等比数列的公比为，再求出，最后根据等比数列的通项公式计算可得. 【详解】等比数列的前项和为，且， ∴， ∴，∴，故等比数列的公比为． 在中， 令，可得，∴，则． 故选：A． 41．（2024高三下·江西·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答. 【详解】等比数列的前项和为，则成等比数列， 设，则，，所以，所以， 所以，即. 故选：A. 42．（2024·贵州·模拟预测）在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可. 【详解】解：由题意得，，，即， 所以当为奇数时，；当为偶数时，； 设的前n项和为，则，. 若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意； 当为偶数，则 ，即，所以. 故选：B 43．（2024高二下·安徽宣城·期末）等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（    ） A．4 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】通过讨论的取值情况，确定，利用等比数列的求和公式，建立方程组，求出和，进而求得的值． 【详解】当公比 时可得，代入，与矛盾，所以. 由等比数列的前项和公式 ，可得， 两式相除，得 ，可解得或（舍）， 当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式. 故选：D 二、多选题 44．（2024高三上·山东·开学考试）等差数列的公差为，前项和为；等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列，公比为 B．是等差数列，公差为 C．若，则，，成等差数列，公差是 D．若，则，，成等比数列，公比是 【答案】ABD 【分析】 由等差数列和等比数列的概念可以判断AB正确；由前项和的概念与等差数列的概念以及等比数列的概念可以判断C错误，D正确. 【详解】A：因为等差数列的公差为d ，所以，故A正确； B：因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以，，故B正确； C：当时，， 又 但是， 所以， 同理， 所以，，成等差数列，公差是，故C错误； D：当时，， ， 又等比数列的各项均为正数， ， 且 所以，同理 即，，成等比数列，公比是，故D正确； 故选：ABD. 45．（2024高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 设等比数列的公比为q，利用求解即可. 【详解】 设数列的公比为q， 则， 所以，解得或，即或． 故选：BC． 46．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知为等比数列，是其前项和.若与的等差中项为20，则（    ） A． B．公比 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解. 【详解】由得， 又与的等差中项为20，则，所以公比为， 故，故， 故ACD正确，B错误， 故选:ACD 47．（2024高二下·贵州黔东南·期末）已知等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 将题干条件全部转化成关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，，， 故，即，故， 由等比数列的性质，，约去得到，故， 解得或或. 故选：ABD 三、填空题 48．（2024高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可. 【详解】设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为， 所以. 故答案为： 49．（2024高三上·湖北·阶段练习）在等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，然后根据定义可判断为等比数列，然后由等比数列求和公式可得. 【详解】记等比数列的公比为，则，解得，所以， 记， 因为，所以是1为首项，为公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 50．（2024高三上·湖北黄冈·期中）公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】 由等比数列性质得，求值即可. 【详解】公比为2的等比数列，， 则. 故答案为： 51．（2024高三上·四川·阶段练习）在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则 . 【答案】32 【分析】根据等差数列和等比数列的性质进行求解即可. 【详解】因为成等差数列，成等比数列， 所以成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列，成等差数列，成等比数列， 所以可得的前8项为0，2，4，8，12，18，24，32. 故答案为：32 52．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/2.25 【分析】 把递推里面的换成，然后两式做差，得到的关系，所以知道数列是等比数列，根据等比数列的前项和公式求出数列，再根据增减性求最大，最小值即可. 【详解】 因为，所以时，，两式相减得，即．当时，，即， 由得，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.当n为奇数时，，随的增大而减小，则；当为偶数时，，随的增大而增大，则.故的最大值与最小值之和为. 故答案为： 53．（2024高二上·河北衡水·阶段练习）已知是等比数列的前项和，且，，则 . 【答案】 【分析】 根据题意，得到成等比数列，且，列出方程，结合，，得到，即可求解. 【详解】 由数列是等比数列，是等比数列的前项和， 所以成等比数列，且， 所以， 又因为，，所以， 即，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 54．（2024高二下·湖北·期中）已知数列的前n项和为，前n项积为，若，当取最小值时， . 【答案】1 【分析】 根据条件，先利用数列的前n项和与的关系求得和，再根据，时，前n项积取得最小值（），得到，即可求解. 【详解】 由得：， 两式相减整理得， 又当时，，解得：， 故是首项为，公比为的等比数列， ，， 可知， 则，即当，时，取得最小值，， 因为时，；时，， 时，取最小值时，此时. 故答案为：1. 55．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】 由等比数列的性质可得：，，成等比数列，可得：进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 由等比数列的性质可得：，，成等比数列， 则， 由于，所以 ， 当且仅当时取最小值，故最小值为 故答案为：． 56．（2024高二上·江苏盐城·期中）两个等比数列，的前n项和分别为和，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】设数列，的公比分别为，在已知式中令得，再令,得的关系，进而联立方程组解得，进而求解即可． 【详解】设数列，的公比分别为， 则时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 联立，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 所以. 故答案为：. 四、解答题 57．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）在等比数列{an}中， (1)已知，求前4项和； (2)已知公比，前5项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）根据等比数列前项和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可得解. 【详解】（1）设公比为，由， 得，所以， 所以； （2）由，得， 所以. 58．（2024高二上·海南省直辖县级单位·期末）设是公差不为0的等差数列，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为，然后根据已知条件列方程可求出，从而可求出通项公式， （2）由（1）得，再利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设的公差为， 因为成等比数列，所以 又因为，所以，所以． 因为，所以，所以，得， 故． （2）因为， 所以 ． 59．（2024高三上·广东江门·阶段练习）已知数列是以3为首项，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为，由，，成等比数列，求出公差，可求的通项公式； （2）由数列通项特征，利用裂项相消求前项和． 【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，又，所以， 故． （2）由（1）可得，， 则． 60．（2024高三上·全国·阶段练习）已知等差数列公差为2，且，，恰为等比数列的前三项． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列的性质即可求解，进而可得公比求解通项， （2）根据等差等比数列的求和公式，结合分组求和即可求解. 【详解】（1）由题意得，即，解得：． 所以，，，所以． （2）由于， 则 61．（2024高三上·贵州黔西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）变形整理得到，从而证明出结论； （2）在（1）的基础上，求出，利用等比数列求和公式和分组求和，得到，从而得到不等式，结合单调递增及特殊值的大小，求出答案. 【详解】（1）两边取倒数得，， 即， 又， 故为首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）得， 故， 所以 ， 故，则， 由于单调递增，且， ， 故满足条件的最大整数为9. 62．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可; （2）先根据第（1）问的求出数列的通项公式,再利用等差数列和等比数列的前项和公式分组求和即可. 【详解】（1）由得, , 又, 故是以为首项,为公比的等比数列. （2）由（1）知,, 则, 故 . 63．（2024高二·全国·课堂例题）已知数列是等比数列. (1)若，，求； (2)若，，，求； (3)若，，，求n. 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）利用等比数列求和公式直接求解即可； （2）先利用等比数列通项公式基本量的运算求得公比，然后代入等比数列求和公式求解即可； （3）根据等比数列求和公式建立方程求解即可. 【详解】（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即， 又由，得，所以. （3）把，，代入，得． 整理得，解得. 64．（2024高三上·安徽·阶段练习）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付38元； 第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元； 第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）. 你会选择哪种方式领取报酬？ 【答案】(1)17000元 (2)答案见解析 【分析】（1）由等比数列前项和公式求解， （2）由等差数列与等比数列的前项和公式分别求解，再由作差法比较大小． 【详解】（1）， ∴在十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为17000元. （2）设到商场勤工俭学的天数为，则第一种方案领取的报酬为； 第二种方案每天报酬与天数成首项为4，公差为4的等差数列，利用等差数列的前项和公式可得： 领取的报酬为； 第三种方案每天报酬与天数成首项为0.4，公比为2的等比数列，利用等比数列的前项和公式可得： 领取的报酬为.， 当时，；当时，；当时，. 令， 则， 当时，，此时数列单调递减，则； 当时，，此时数列单调递增，即. ∵，则，又∵，，故当时，，即， 当时，，即. 令，其中， 则， 令，则， 当时，，此时数列单调递增，则，则， ∴当时，数列单调递增，则，即， 综上所述，当时，，应选第一种方案； 当时，，应选第三种方案. 65．（2024高三上·天津红桥·阶段练习）已知为等差数列，为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. (3)设，求数列的前项和. (4)记的前项和为，求证：； 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列公差、等比数列公比即可求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前项和公式求和即可. （3）利用错位相减法求和即可. （4）求出，再作差推理即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，， 解得，或（舍去）， 所以，. （2）由（1）知，，，则， 所以. （3）由（1）知， ， 于是， 两式相减得， 所以. （4）由（1）知，，， 于是 所以. 66．（2024高二上·上海虹口·阶段练习）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n都有. (1)求数列的通项公式； (2)若（n为正整数），求数列的前n项和； (3)若（n为正整数），且不等式对任意正整数n都成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据与之间的关系，结合等比数列分析求解； （2）由（1）可得：，利用裂项相消法求和； （3）由（1）可得：，求数列的最大项，结合恒成立问题分析求解. 【详解】（1）因为，则有： 当时，则，解得； 当时，则， 两式相减得，整理得； 且，可知数列是以首项，公比为的等比数列， 所以，即. （2）由（1）可得：， 所以， 所以数列的前n项和. （3）由（1）可得：， 令，即，解得， 可得数列的最大项为， 因为等式对任意正整数n都成立，即， 可得，解得或， 所以实数t的取值范围. 67．（2024高三上·北京·阶段练习）已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前项和的最大正整数． 【答案】(1)； (2)5. 【分析】 （1）利用等比数列的性质列方程求公差，即可写出的通项公式； （2）由题设确定的通项公式，应用等比数列前n项和公式求出数列的前项和，结合求n的范围. 【详解】（1）由题设，若公差为， 所以，即， 所以，故. （2）由（1）知：，故数列的首项、公比为3， 所以，则， 所以且，而， 所以，故最大正整数为5. 68．（2024高一下·上海浦东新·期末）（1）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”意思是一个整数除以三余二、除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，试求符合条件的的个数. （2）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠“壮壮”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壮壮'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.问:何日相逢?各穿几何?”意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞，大老鼠“壮壮”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壮壮”每天的打洞进度是前一天的倍，小老鼠“果果”每天的进度是前一天的倍.问第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”是否能喜相逢?请说明理由. 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）找出满足条件的最小整数值为23，可知满足条件的数形成以23为首项，以105为公差的等差数列，确定该数列的项数即可； （2）设大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成等比数列，然后由等比数列前项和公式计算可得. 【详解】（1）由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23， 满足该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列， 其通项公式为， 令，解得，所以符合条件的整数a的个数为10. （2）大老鼠“壮壮”和小老鼠“果果”每天穿墙尺寸分别构成数列，它们都是等比数列， 由题意，数列的公比为，数列的公比为， 则， 所以第300天结束时，两只老鼠“壮壮”与“果果”不能喜相逢. 69．（2024高三上·北京·阶段练习）已知等差数列中，，公差;等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记比较与的大小. 【答案】(1)，； (2)； (3)，当时，. 【分析】（1）根据题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）利用分组求和法进行求解； （3）作差法得到，从而得到，当时，. 【详解】（1）因为， 依题意， 故，由得， 解得或2， 因为，所以，， 故， 其中，故公比， 所以； （2）， 故 ； （3） 所以 当时，，当时，， 所以，当时，. 70．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据递推公式，利用累加法求得，可求数列，的通项公式； （2）由数列的通项可知，利用错位相减法求前n项和． 【详解】（1）由，得， 又，所以当时， ， 所以，又，符合上式，，所以， 又，所以． （2）由（1）知，所以， ， 两式相减得， 所以． 71．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求出的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；令，可求得的值，当时，由可得，上述两个等式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 则，解得， 所以，， 数列的前项和为，且， 当时，则有， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，即， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. （2）解：因为，则，① 可得，② ①②得 ， 故. 72．（2024高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用关系求得，利用等比数列定义写出通项公式，再由等差中项列方程求，即得结果； （2）由（1）得，应用错位相减法求. 【详解】（1）由，，则， 有，则， 所以，又，显然也满足， 故是首项为1，公比为的等比数列，则 所以，则， 所以，故. （2）由，则， 所以，则， 所以，则. 73．（2024高二下·新疆乌鲁木齐·期中）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列出方程组，分别求出等差数列和等比数列的首项、公差或公比，根据定义写出通项公式即可. （2）由错位相减法结合等比数列求和公式法进行运算即可求解. 【详解】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为， 所以有和， 注意到，所以分别解得和， 因此由定义可知与的通项公式分别为. （2）由（1）可知， 所以由题意有， 当时，有， 所以有， 以上两式作差得 ， 当时，有， 综上所述：的前项和为. 74．（2024高二下·吉林长春·期中）已知等比数列中，， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比数列的基本时运算求得公比、首项后可得通项公式； （2）用分组求和法求和． 【详解】（1）设公比是，则，，因此， 所以； （2）由（1）， ． 75．（2024·河南信阳·模拟预测）已知数列满足，且为等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)求满足的最大整数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，，求出公比为，根据等比数列的定义计算即可； （2）求出，然后计算得出最大的整数. 【详解】（1）由，得：，， 又因为为等比数列，所以其公比为， 则， 所以. （2）由（1）可得： ， 当时，， 当时，， 又易知当时，， 故时，和式， 故满足的最大整数为. 76．（2024高二·江苏·课后作业）在等比数列中，，，求的值. 【答案】50 【分析】利用等比数列的奇数项和与偶数项和的关系,即可求解. 【详解】解：设,， 所以, 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$