专题08 一元一次方程应用压轴十二种题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（人教版2024）

专题08一元一次方程应用压轴十二种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一元一次方程应用行程问题 1 类型二、一元一次方程应用工程问题 2 类型三、一元一次方程应用销售问题 3 类型四、一元一次方程应用方案问题 4 类型五、一元一次方程应用配套问题 6 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 7 类型七、一元一次方程应用数字问题 8 类型八、一元一次方程应用几何问题 9 类型九、一元一次方程应用日历问题 10 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 11 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 13 类型十二、一元一次方程应用其他问题 15 压轴能力测评（11题） 17 1.行程问题 距离=速度·时间 2. 工程问题 工作量=工效×工时 ；工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3. 顺水逆水问题】 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程 4. 商品利润问题 售价=定价 ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润 类型一、一元一次方程应用行程问题 【典例1】年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 【变式1-1】客车从甲地，货车从乙地同时相对开出．小时后，客车距离乙地还有全程的，货车超过中点千米．已知客车比货车每小时多行千米，甲乙两地间的路程是多少千米？ 【变式1-2】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 类型二、一元一次方程应用工程问题 【典例2】整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同． (1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？ (2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ 【变式2-1】某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 【变式2-3】某公司生产零件，甲每天可以加工个零件，乙每天可以加工个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用天，甲的人工费为每天元，乙的人工费为每天元． (1)问这批零件共有多少个？（列方程解应用题） (2)在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他元补助费，现有三种加工方案：由甲单独加工这批零件；由乙单独加工这批零件；甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？ 类型三、一元一次方程应用销售问题 【典例3】华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【变式3-1】商场销售某品牌冰箱，若按标价的8折销售，每台仍获利200元，其利润率为，则每台的标价为（    ） A．275元 B．1100元 C．2750元 D．11000元 【变式3-2】某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价如下表所示： A型 B型 进价（元/台） 150 350 标价（元/台） 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台？ (2)若A型净水器按标价的8折出售，B型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共获利多少元？ 【变式3-3】一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的折出售，将亏本元，如果按标价的折出售，将盈利元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 类型四、一元一次方程应用方案问题 【典例4】学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【变式4-1】某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案1：买一件风衣送一条丝巾； 方案2：风衣和丝巾都按定价的付款． 某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾x（）条． (1)若该客户按方案1购买，需付款 元；若该客户按方案2购买，需要付款 元．（分别用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算． (3)当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？ 【变式4-2】某景点门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 12 10 8 某校八年级（1）、（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元； (1)两班各有多少名学生？（要求用二元一次方程组解答） (2)（1）班单独购票如何更省钱？能省多少钱？ 【变式4-3】某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 类型五、一元一次方程应用配套问题 【典例5】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【变式5-1】学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 【变式5-2】在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【变式5-3】中国陶瓷遍布全世界，某陶瓷厂生产某种茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要原料是紫砂泥，做1个茶壶需要的紫砂泥可以做4个茶杯，6千克紫砂泥可以做个32茶杯和4个茶壶．求做1个茶杯需要多少紫砂泥？ 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 【典例6】在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节．规则是：两人各自答题，每人都要回答25道题，每道题回答正确得4分，回答错误或放弃回答扣2分． (1)已知甲答对了19道题，答错了4道题，还有2道题放弃回答，则甲在此环节的得分是多少？ (2)若经裁判公布，乙的成绩为76分，则他答对了多少道题？ 【变式6-1】某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 【变式6-2】下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，求出球队胜一场、负一场积分分别是多少？ (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【变式6-3】2022年11月21日，万众瞩目的卡塔尔世界杯足球赛开幕，为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 人均奖金 1500元 700元 0 当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜，平各几场？ (2)每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队的某一名队员所得奖金与出场费累计为多少元？ 类型七、一元一次方程应用数字问题 【典例7】观察下面三行数． ，4，，16，，… ，5，，17，，… ，8，，32，，… (1)求第一行的第n个数；（n为正整数） (2)求第二行的第6个数、第三行的第7个数； (3)取每一行的第k个数，这三个数的和能否是？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 【变式7-1】一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 【变式7-2】将这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（如图①），是世界上最早的幻方，仅可以看到部分数值的“九宫格”（如图②），其中 ． 类型八、一元一次方程应用几何问题 【典例8】如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【变式8-1】如图，周长为34的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为（    ）． A．49 B．68 C．70 D．74 【变式8-2】好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 类型九、一元一次方程应用日历问题 【典例9】如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【变式9-1】如图，在某月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（      ） A．42 B．70 C．95 D．115 【变式9-2】如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 【典例10】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 【变式10-1】为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 【变式10-2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【变式10-3】某市电力部门对居民用电按月收费，标准如下：①用电不超过100度的，每度收费0.5元；②用电超过100度的，超过部分每度收费0.8元． (1)小明家2月份用电86度，应缴费________元；3月份用电140度，应缴费________元； (2)小明家4月份电费为90元，则他家4月份用了多少度电？ (3)小明家5月份和6月份共用电260度，共缴费154元，并且6月份的用电量超过5月份的用电量，那么，他家5、6月份各用了多少度电？ 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 【典例11】如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足 (1)求点与点在数轴上对应的数和； (2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒． ①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数； ②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值． 【变式11-1】如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【变式11-2】如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为，点B在原点的右侧，且． (1)点B对应的数是 ； (2)已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒． ①用含t的式子分别表示P，Q两点表示的数： ， ； ②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和此时点D所表示的数； ③若点P与点Q到原点的距离相等，求t的值． 【变式11-3】如图，数轴上，两点所表示的数分别为和6． 解答下列各题： (1)点A与点B的距离是 个单位长度； (2)现有一个动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒． ①当个单位长度时，请直接写出的值； ②若点为的中点，点为的中点，则动点在运动过程中，线段的长度是否发生改变？若不变，求出线段的长度；若改变，说明理由．（不考虑点与点，点重合的情况） 【变式11-4】综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题． 如图，在纸面上有一数轴． 按下列要求折叠纸面 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有，两点也重合，且，两点之间的距离为14（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①若动点从点向右出发，为何值时，，两点之间的距离为18个单位长度； ②若动点从点向左出发，，两点之间的距离为2个单位长度时，求出此时的值． 类型十二、一元一次方程应用其他问题 【典例12】红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【变式12-1】重庆某商场计划用12万元购买60台洗衣机，现有3种型号洗衣机可供选择：A种型号每台1600元，B种型号每台2200元，C种型号每台2600元． (1)如果只购买其中两种型号的洗衣机，12万元全部用完，请写出购买方案． (2)若A种型号可盈利200元，B种型号可盈利250元，C种型号可盈利300元，在题（1）的方案中，请问选择哪种方案盈利最高？盈利多少？ 【变式12-2】有若干张长为30cm宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来黏合部分宽为3cm． (1)根据上图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条长度 30 84 111 …    　 … (2)设x张白纸黏合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？ (3)按照上述黏合方式，你认为至少需要多少张白纸，才能使得黏合起来总长度达到或超过2024cm？ 【变式12-3】(浓度问题)瓶中装有浓度为的酒精溶液1800克，现在又分别倒入300克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的酒精溶液浓度变为．已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是多少？ 【变式12-4】大江东产业集聚区某中学李老师为学校开展的“迎峰会”演讲比赛购买奖品，回到学校向总务处王主任交账时说：“我买了两类书，共本，单价分别为元和元，买书前我领取了元，现还剩余元，”王主任算了算觉得不对，就说：老师你搞错了． (1)请同学们用所学知识解释李老师为什么搞错了？ (2)李老师急忙拿出发票，发现原来还多买了一支水笔，但水笔的单价写得模糊不清，李老师只记得水笔价格为小于的正整数，则这支水笔单价应为多少元？ 1．一列匀速行驶的高铁，从车头开始进入长为米的隧道到它车尾完全离开隧道，共用时秒，又知在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光线垂直照射火车秒，设该列火车的长度为米，则可列方程： ． 2．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ．    3．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 4．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则____；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则______； (2)若在数轴上点A、B表示的数分别是、3，且数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的4倍，那么点C表示的数是多少； (3)如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数m所在点折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 5．已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，且，点，之间的距离记为，请回答问题： (1)_______________，_______________，_______________． (2)设点在数轴上表示的数为，若，则_______________． (3)如图，，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则_______________； ②若，则_______________； ③若点表示的数是，现在有一只蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点，的距离之和是8？ 6．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间之比为，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用了9小时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 7．如图，在射线上有三点，，，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发． (1)当在线段上，且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点运动的速度； (2)若点运动的速度为，经过多长时间、两点相距； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值． 8．在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点14个单位长度，点B距离原点4个单位长度． (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______，两点之间的距离为______； (2)若点P为数轴上一点，且，求的值； (3)若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒4个单位长度，点Q的运动速度是每秒6个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少? 9．已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)①点A所表示的数为________； ②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________； (2)问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系． 10．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 11.【阅读理解】 定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】 在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． (1)填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ； ． (2)在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． i）若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ii）若点D与点A重合，现将线段从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08一元一次方程应用压轴十二种题型 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、一元一次方程应用行程问题 1 类型二、一元一次方程应用工程问题 3 类型三、一元一次方程应用销售问题 5 类型四、一元一次方程应用方案问题 8 类型五、一元一次方程应用配套问题 11 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 13 类型七、一元一次方程应用数字问题 16 类型八、一元一次方程应用几何问题 18 类型九、一元一次方程应用日历问题 19 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 22 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 26 类型十二、一元一次方程应用其他问题 32 压轴能力测评（11题） 35 1.行程问题 距离=速度·时间 2. 工程问题 工作量=工效×工时 ；工程问题常用等量关系： 先做的+后做的=完成量 3. 顺水逆水问题】 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程 4. 商品利润问题 售价=定价 ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润 类型一、一元一次方程应用行程问题 【典例1】年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 【答案】无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时，列出关于的一元一次方程，再解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】解：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时， 由题意得，， 解得：， 答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 【变式1-1】客车从甲地，货车从乙地同时相对开出．小时后，客车距离乙地还有全程的，货车超过中点千米．已知客车比货车每小时多行千米，甲乙两地间的路程是多少千米？ 【答案】甲乙两地间的路程是千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据题意设甲乙两地间的路程是千米，利用速度路程时间，结合客车比货车每小时多行千米，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲乙两地间的路程是千米， 根据题意得：， 解得：． 答：甲乙两地间的路程是千米． 【变式1-2】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走．下坡路每分钟走，上坡路每分钟走．则他从家里到学校需，从学校到家里需．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？设小华家到学校的平路为x，用方程表示上述数量关系，并解出方程． 【答案】平路为300米，下坡路为400米 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据时间=路程÷速度结合小华从学校到家里需，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小华家到学校的平路为x米，则下坡路为米，根据题意，得 解得：， ∴（米） 答：从小华家到学校的平路为300米，下坡路为400米． 类型二、一元一次方程应用工程问题 【典例2】整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同． (1)若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人帮忙才能在规定的时间内完成？ (2)计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的，应该安排多少人先工作？ 【答案】(1)再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成 (2)应该安排6人先工作 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，根据各部分的工作量之和等于1，再建立方程求解即可； （2）设应该安排x人先工作，根据各部分的工作量之和等于，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得： ， 解得： 答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成； （2）解：设应该安排x人先工作，可得： ， 解得：， 答：应该安排6人先工作． 【变式2-1】某工厂生产某种零件，原计划每天生产个，则刚好能在规定时间完成任务，但实际每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成任务，并多生产了个零件．设该工厂的任务是生产个零件，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据工作时间工作总量工作效率，结合提前天完成任务，并多生产了个零件，列出方程即可． 【详解】解：设该工厂的任务是生产个零件， 根据题意得：， 故选：C． 【变式2-2】暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 【答案】甲、乙两队分别做了12天和10天 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，假设这个工程的总量为“1”．甲队单独做，需要20天，则甲队的工作效率为．乙队单独做，需要25天，则乙队的工作效率为．根据工作效率×工作时间＝工作总量，据此可以假设甲队做了x天，则乙队做了天，甲队工作的天数×工作效率＋乙队工作的天数×工作效率＝工作总量，据此列方程，并解答即可． 【详解】解：设甲队做了x天，则乙队做了天，则 ； 则乙队：（天） 答：甲、乙两队分别做了12天和10天． 【变式2-3】某公司生产零件，甲每天可以加工个零件，乙每天可以加工个零件，甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用天，甲的人工费为每天元，乙的人工费为每天元． (1)问这批零件共有多少个？（列方程解应用题） (2)在加工零件过程中，公司要派一名质量监督员，并且每天支付他元补助费，现有三种加工方案：由甲单独加工这批零件；由乙单独加工这批零件；甲、乙合作同时加工这批零件，你认为哪种方案最省钱，为什么？ 【答案】(1)个； (2)方案最省钱，理由见解析． 【分析】()设这批零件共有个，根据甲单独加工这批零件比乙单独加工这批零件多用天列方程求解即可； ()分别求得三个方案需支付费用，然后比较大小可得结论； 本题考查了一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和算式是解题的关键． 【详解】（1）解：设这批零件共有个， 根据题意得，， 解得， 答：这批零件共有个； （2）解：方案最省钱，理由如下： 由甲单独加工这批零件需支付费用为元； 由乙单独加工这批零件需支付费用为元 ； 甲、乙合作同时加工这批零件需支付费用为元； ∵， ∴方案最省钱． 类型三、一元一次方程应用销售问题 【典例3】华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)可获利2000元 (2)第二次乙商品是按原价打9折销售 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用7000元购进甲、乙两种商品”列出方程确定购进甲商品150件，购进乙商品100件，然后求利润即可； （2）先得出第二次购进甲商品200件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品200件，购进乙商品100件； ∴（元）， 答：可获利2000元； （2）解：第二次购进甲商品200件， 第二次购进乙商品（件）， 设第二次乙商品是按原价打y折销售， ， 解得：， 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 【变式3-1】商场销售某品牌冰箱，若按标价的8折销售，每台仍获利200元，其利润率为，则每台的标价为（    ） A．275元 B．1100元 C．2750元 D．11000元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设该品牌冰箱的标价为元，利用“进价利润利润率”可求得该品牌冰箱的进价为2000元，根据题意“若按标价的八折销售，每件可获利200元”可列出关于x的一元一次方程，求解 【详解】解：设该品牌冰箱的标价为x元， 根据题意，该品牌冰箱的进价元， 则， 解得：， ∴该品牌冰箱的标价为2750元． 故选：C 【变式3-2】某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价如下表所示： A型 B型 进价（元/台） 150 350 标价（元/台） 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台？ (2)若A型净水器按标价的8折出售，B型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共获利多少元？ 【答案】(1)A种净水器购进100台，B种净水机购进60台 (2)商场共获利28400元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）设A种净水器购进x台，B种净水机购进台，根据总金额36000元，列方程即可求解； （2）根据题意列出算式进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种净水器购进x台，B种净水机购进台， 依题意可得：， 解得：， ． 答：A种净水器购进100台，B种净水机购进60台； （2）解：（元）． 答：商场共获利28400元． 【变式3-3】一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的折出售，将亏本元，如果按标价的折出售，将盈利元． (1)每件服装的标价是多少元？ (2)打几折销售能恰好保证利润率为？ 【答案】(1)元； (2)折． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． （）设每件服装的标价是元，根据题意列出方程即可求解； （）由（）求出每件服装的进价，再设打折销售能恰好保证利润率为，根据题意列出方程即可求解； 【详解】（1）解：设每件服装的标价是元， 由题意得，， 解得， 答：每件服装的标价是元； （2）解：由（）可得，每件服装的进价为元， 设打折销售能恰好保证利润率为， 由题意得，， 解得， 答：打折销售能恰好保证利润率为． 类型四、一元一次方程应用方案问题 【典例4】学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【答案】(1)， (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多 (3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据两家付款一样多列方程即可得到结论； （3）在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可． 【详解】（1）甲店每买一副球拍赠一盒球， 在甲店购买需付款（元）， 乙店全部按定价的8折优惠， （元） 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得， 答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多； （3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为： 甲店付款（元）， 乙店付款（元）， 一共需付款（元）， 答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【变式4-1】某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案1：买一件风衣送一条丝巾； 方案2：风衣和丝巾都按定价的付款． 某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾x（）条． (1)若该客户按方案1购买，需付款 元；若该客户按方案2购买，需要付款 元．（分别用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算． (3)当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？ 【答案】(1) (2)按方案1购买较为合算 (3)当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）根据题意确定出两种方案需付款的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式，求出结果后比较即可； （3）由客户按两种方案付款相同，列出方程，可求解． 【详解】（1）解：方案1需付款：元； 方案2需付款：元； 故答案为：； （2）解：当时， 方案1需付款：（元）； 方案2需付款：（元）； ， ∴按方案1购买较为合算； （3）解：由题意可得：， 解得：， 答：当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同． 【变式4-2】某景点门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 12 10 8 某校八年级（1）、（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元； (1)两班各有多少名学生？（要求用二元一次方程组解答） (2)（1）班单独购票如何更省钱？能省多少钱？ 【答案】(1)1班有49人，2班有53人． (2)1班按51人购票能省元 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键． （1）设八年级（1）班有x名学生，八年级（2）班有y名学生，根据八年级（1）班学生人数加八年级（2）班学生人数等于102人；八年级（1）班总门票价加八年级（2）班总门票价等于1118元，列二元一次方程即可解答； （2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：设1班有x人，2班有y人， 依题意得 ， 解得 ， ∴1班有49人，2班有53人． （2）解∶ 1班按49人购票应付款：（元）， 1班按51人购票应付款：（元）， ∴1班按51人购票能省：（元）， ∴1班按51人购票能省78元． 【变式4-3】某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案： 方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶； 方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ 【答案】方案二获利最多，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，先分别求出两种方案的获利多少，然后进行比较即可． 【详解】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售， 则其利润为：（元）； 方案二：设生产x天奶片，则生产天酸奶， 根据题意得：， 解得：， 3天生产酸奶，加工的鲜奶（吨）， 则利润为：（元）； ∵， ∴第二种方案获利最多． 类型五、一元一次方程应用配套问题 【典例5】某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】(1)调入6名工人 (2)10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读㯵题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人”得：，可解得答案； （2）设名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得， ∴调入6名工人； （2）解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， ∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套， ∴， 解得， ， 答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套． 【变式5-1】学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？ 【答案】需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【详解】解：设需要安排x名工人生产桌面，则安排名生产桌腿， 由题意得， 解得， ， 答：需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿． 【变式5-2】在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)七（2）班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？ 【答案】(1)女23人，男21人 (2)24人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程，再求解． （1）设七年级（2）班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设七年级（2）班有男生x人，依题意得 ， 解得， 所以，七年级（2）班有男生21人，女生23人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， 所以，应该分配24名学生剪筒身． 【变式5-3】中国陶瓷遍布全世界，某陶瓷厂生产某种茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要原料是紫砂泥，做1个茶壶需要的紫砂泥可以做4个茶杯，6千克紫砂泥可以做个32茶杯和4个茶壶．求做1个茶杯需要多少紫砂泥？ 【答案】做1个茶杯需要紫砂泥千克． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设做1个茶杯需要紫砂泥x千克，根据题意，列方程，求解即可，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设做1个茶杯需要紫砂泥x千克，根据题意，得： ， 解得：， 答：做1个茶杯需要紫砂泥千克． 类型六、一元一次方程应用比赛积分问题 【典例6】在一次知识竞赛中，甲、乙两人进入了“必答题”环节．规则是：两人各自答题，每人都要回答25道题，每道题回答正确得4分，回答错误或放弃回答扣2分． (1)已知甲答对了19道题，答错了4道题，还有2道题放弃回答，则甲在此环节的得分是多少？ (2)若经裁判公布，乙的成绩为76分，则他答对了多少道题？ 【答案】(1)64 (2)乙答对了21道题 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出一元一次方程成为解题的关键． （1）先根据题意列出算式，然后根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）设乙答对了x道题，答错或放弃回答了道题，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题可知：． 答：甲在此环节的得分是64分． （2）解：设乙答对了x道题，答错或放弃回答了道题， 依题意，得， 解得． 答：乙答对了21道题． 【变式6-1】某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜、平各几场？ (2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场费的和是多少？ 【答案】(1)A队胜4场，平8场 (2)出场费加奖金一共17600元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜利场，列出方程求解是解题的关键． （1）设队胜利场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解； （2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题． 【详解】（1）解：设队胜利场， 一共打了12场， 平了场， ， 解得：； ， 队胜4场，平8场； （2）解：每场比赛出场费500元，12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为元， 平了8场，奖金为元， 奖金加出场费一共17600元； 答：一共赢了4场，出场费加奖金一共17600元． 【变式6-2】下表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)观察积分榜，求出球队胜一场、负一场积分分别是多少？ (2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共18轮（每个球队各有18场比赛），D队希望最终积分达到32分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)球队胜一场积2分，负一场积1分． (2)队胜场，负场； (3)不可能实现，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用； （1）观察积分榜由球队和球队即可求解； （2）设设队胜场，则负场，根据等量关系：队积分是分列出方程求解即可； （3）设后场胜场，根据等量关系：队积分是分列出方程求解即可． 【详解】（1）解：观察积分榜，，，，…… ∴球队胜一场积2分，负一场积1分． （2）设队胜场，则负场，可得 ， 解得． 队胜场，负场； （3）不可能实现，理由如下： 队前场得分， 设后场胜场， ， ， 不可能实现． 【变式6-3】2022年11月21日，万众瞩目的卡塔尔世界杯足球赛开幕，为了迎接世界杯足球赛的到来，足球协会举办了一次足球赛，其中得分规则及奖励方案如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 人均奖金 1500元 700元 0 当比赛进行到每队比赛完12场时，A队共积分20分，并且没有负一场． (1)试判断A队胜，平各几场？ (2)每赛一场，A队每名队员均得出场费500元，那么比赛完12场后，A队的某一名队员所得奖金与出场费累计为多少元？ 【答案】(1)A队胜4场，平8场 (2)17600元 【分析】（1）根据题意找出等量关系式列出方程即可解得． （2）由（1）可得，根据题意列式计算可得． 【详解】（1）解：设A队胜利x场， ∵一共打了12场， ∴平了场， ∴， 解得：， （场）． 答：A队胜4场，平8场． （2）∵每场比赛出场费500元， ∴12场比赛出场费共6000元， 又∵赢了4场，奖金为（元）， 平了8场，奖金为（元）， ∴ （元）． 答：A队的某一名队员所得奖金与出场费累计为17600元． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程． 类型七、一元一次方程应用数字问题 【典例7】观察下面三行数． ，4，，16，，… ，5，，17，，… ，8，，32，，… (1)求第一行的第n个数；（n为正整数） (2)求第二行的第6个数、第三行的第7个数； (3)取每一行的第k个数，这三个数的和能否是？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的乘方运算，以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． （1）根据题意得到第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即可解题； （2）根据题意得到第二行数的规律是：第二行的第n个数是，第三行数的规律是：第三行的第n个数是，即可解题； （3）设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为，根据题意建立方程求解，得到的值，再根据，求解即可解题； 【详解】（1）解：第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即，，，…， 所以第一行的第n个数是． （2）解：同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， 第二行的第n个数是，第三行的第n个数是； 第二行的第6个数是，第三行的第7个数是； （3）解：能，设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为， 根据题意有， 解得， ， ， k的值为5． 故选：B． 【变式7-1】一个两位数，十位上数字是个位上数字的2倍，交换个位数字与十位数字后所得的新两位数比原两位数小18，求原来的这个两位数． 【答案】42 【分析】设个位数字为x，则十位数字为，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为x，则十位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是42， 答：这个两位数是42． 【变式7-2】将这9个数填入的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（如图①），是世界上最早的幻方，仅可以看到部分数值的“九宫格”（如图②），其中 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程的应用．根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得，即可解得答案． 【详解】解：根据任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等可得： ， 解得， 故答案为：5． 类型八、一元一次方程应用几何问题 【典例8】如图，在长方形中，，．动点P从点A出发，沿线段向点C运动，速度为；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为．点P、Q同时出发，任意一点到达点C时两点同时停止运动．设运动时间为t（s）．    (1)点P，Q同时出发，求几秒后P，Q两点相遇？ (2)求停止运动时P，Q两点之间的距离． 【答案】(1)P，Q出发4秒相遇 (2)P，Q两点之间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据追及问题列方程求解即可； （2）先求得动点P到达点C时所用的时间，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：P，Q出发4秒相遇； （2）解：动点P到达点C时用时：， ， ， 答：P，Q两点之间的距离为． 【变式8-1】如图，周长为34的长方形被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形的面积为（    ）． A．49 B．68 C．70 D．74 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据长方形的性质可知，小长方形的长的2倍等于其宽的5倍，设小长方形的宽为x，则长为，再根据长方形周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设小长方形的宽为x，则长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：C． 【变式8-2】好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为，高为的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为的个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，请你帮他计算杯子的高度． 【答案】杯子的高度是． 【分析】本题考查了圆柱的体积公式的运用，一元一次方程的几何应用，根据体积相等建立方程是解题的关键． 设杯子的高度为．根据个小圆柱形杯子的体积等于圆柱形容器的体积建立方程，求解即可． 【详解】解：设杯子的高度为． 根据题意，得  ． 解这个方程，得． 所以，杯子的高度是． 类型九、一元一次方程应用日历问题 【典例9】如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 【变式9-1】如图，在某月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（      ） A．42 B．70 C．95 D．115 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为x，则x为整数，再求得这5个数的和为，令的值分别为42、70、95、115，分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案． 【详解】解：设正中间的数为x，则x为整数， 这5个数的和为：， A、当时，得，不是整数，不符合题意； B、当时，得，符合题意； C、当时，得，19为第3行最后一个数字，不符合题意； D、当时，得，右下角没有数字，不符合题意； ∴它们的和可能是70， 故选：B． 【变式9-2】如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值； （1）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （2）由（1），可得出四个数之和为，结合图形，可求出，的值，再将其相加，即可得出结论； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：若记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． 故答案为：，，； （2）由（1）可知：四个数之和为， ，， ； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 类型十、一元一次方程应用电费和水费问题 【典例10】为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元 (2)2月份用水立方米 (3)该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则运算，找清楚题目数量间的关系，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据价目表进行计算即可； （2）先根据2月份缴水费40元判断出2月份用水量再那个阶段，再根据价目表进行计算即可； （3）设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米，然后分类讨论，列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元． （2）解：， ， 2月份用水量超过了10立方米， （元）， （立方米） （立方米） 答：2月份用水立方米； （3）解：设3月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米， 当时，， 由题意得， 解得，符合题意； 当时，， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 答：该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米． 【变式10-1】为鼓励人们节约用水，合肥市居民使用自来水实行阶梯式计量水价，按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 2a元 (1)当时，芳芳家月份用水量为，则该月需交水费________元；月份芳芳家交了水费元，则月份用水量为________（直接写出答案）； (2)当时，亮亮家一个月用了的水，求亮亮家这个月应缴纳的水费； (3)设某用户月用水量为（），该用户这个月应缴纳水费多少元？（用含，的式子表示） 【答案】(1)； (2)亮亮家这个月应缴纳的水费为元 (3)该用户这个月应缴纳水费元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及整式的加减及一元一次方程的应用，正确理解题干所给计算公式是解题的关键． （1）根据题干所给计算公式即可求得芳芳家月份需交水费，设芳芳家月份用水量为，列一元一次方程求解即可得月份用水量； （2）根据题干所给计算公式即可求解； （3）根据所给计算公式列式计算即可． 【详解】（1）解：当，芳芳家月份用水量为时，该月需交水费为 元； 设芳芳家月份用水量为， ∵，， ∴， 则由题意，得， 解得， ∴芳芳家月份用水量为． 故答案为：；　； （2）解： 元， 答：亮亮家这个月应缴纳的水费为元． （3）解：户月用水量为（）， ∴该用户应缴纳的水费为 元， 答：该用户这个月应缴纳水费元． 【变式10-2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨 的部分 超过12吨但 不超过18吨的部分 超过18吨 的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 (1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费 元； (2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？ 【答案】(1)31.5 (2)小明家3月份的用水量是25吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减和乘法混合运算，解题要先把区间划分出来，先计算出极限数值，这样有利于解题． （1）根据收费标准列式求解即可； （2）首先判断出3月份的用水量超过了18吨，设小明家3月份用水量为吨，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）（元）； （2）解：如果一个月用水12吨，则需水费：（元） 如果一个月用水18吨，则需水费：（元） 3月份的用水量超过了18吨． 设小明家3月份用水量为吨， 依题意可得： 解得： 答：小明家3月份的用水量是25吨． 【变式10-3】某市电力部门对居民用电按月收费，标准如下：①用电不超过100度的，每度收费0.5元；②用电超过100度的，超过部分每度收费0.8元． (1)小明家2月份用电86度，应缴费________元；3月份用电140度，应缴费________元； (2)小明家4月份电费为90元，则他家4月份用了多少度电？ (3)小明家5月份和6月份共用电260度，共缴费154元，并且6月份的用电量超过5月份的用电量，那么，他家5、6月份各用了多少度电？ 【答案】(1)43，82 (2)小明家4月份用了150度电 (3)小明家5月份用了80度电，6月份用了180度电 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算的应用： （1）利用总价=单价×数量，结合该市的收费标准，即可求出结论； （2）设小明家4月份用了x度电，根据设小明家4月份用了x度电，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设小明家5月份用了y度电，则6月份用了度电，分及两种情况考虑，根据小明家5月份和6月份共缴电费154元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）； （元）． ∴小明家2月份用电86度，应缴费43元；3月份用电140度，应缴费82元． 故答案为：43，82； （2）解：设小明家4月份用了x度电， 根据题意得：， 解得：． 答：小明家4月份用了150度电； （3）解：设小明家5月份用了y度电，则6月份用了度电． 当时，， 解得：， ∴（度）； 当时，， 方程无解，舍去． 答：小明家5月份用了80度电，6月份用了180度电． 类型十一、一元一次方程应用数轴动点问题 【典例11】如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足 (1)求点与点在数轴上对应的数和； (2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒． ①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数； ②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)为，为 (2)①；②秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性， （1）利用绝对值的非负性，即可求出，的值； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为．①由点，相遇，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出点在数轴上表示的数； ②由，即可得出关于的一元一次方程，解之可得结论； 解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出，的值；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴点与点在数轴上对应的数为，为； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ①依题意得：， 解得：， ∴， ∴点在数轴上表示的数为； ②∵， ∴-或， 解得：或， ∴当点和点相距个单位长度时，的值为秒或秒． 【变式11-1】如图，已知数轴上点表示的数为， 是数轴上在点左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是______，点表示的数是________； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点同时出发，则当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)， (2)当点运动秒时，点与点相遇 【分析】（）根据两点之间的距离为个单位列式即可解答； （）设点运动秒时追上点，根据题意列出关于的方程即可解答； 本题主要考查了两点间的距离，数轴，一元一次方程等知识点，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，是数轴上在点左侧的一点，， ∴数轴上点表示的数是， 由题意得：动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）设点运动秒时追上点， 根据题意得：， 解得：， 答：点运动秒时，点与点相遇． 【变式11-2】如图，已知点O是原点，点A在数轴上，点A表示的数为，点B在原点的右侧，且． (1)点B对应的数是 ； (2)已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒． ①用含t的式子分别表示P，Q两点表示的数： ， ； ②若点P和点Q经过t秒后在数轴上的点D处相遇，求出t的值和此时点D所表示的数； ③若点P与点Q到原点的距离相等，求t的值． 【答案】(1)9 (2)①，；②，；③3或5 【分析】（1）根据点A表示的数为，点B在原点的右侧，且，先求出的长，即得到点B表示的数； （2）设运动的时间为t秒， ①因为点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动，所以点P表示的数是；同理可得点Q表示的数为； ②按相遇问题的数量关系列方程即可求出t的值及点D表示的数； ③按P在点O的左侧，点Q在点O的右侧，或点P与点Q相遇，或点P在点O的右侧，点Q在点O的左侧，分别列方程求出相应的t的值且进行检验，舍去不符合题意的值． 【详解】（1）解：点A表示的数为，点B在原点的右侧，且， ∴， ∴， 所以点B表示的数为9； （2）设运动的时间为t秒， ①因为点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向右运动， 所以点P表示的数是； 因为点Q从点B同时出发，以2个单位/秒的速度向左运动， 所以点Q表示的数， 故答案为：，． ②点P与点Q相遇，则， 解得， ∵， 所以点D表示的数是． ③如果点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧，且点P与点Q到原点的距离相等，则， 解得； 如果点P与点Q重合，则点P与点Q到原点的距离相等， 由②得，； 如果点P在点O的右侧，点Q在点O的左侧，且点P与点Q到原点的距离相等，则， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，经过3秒或5秒，点P与点Q到原点的距离相等． 【点睛】此题考查数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用、解一元一次方程、数轴的动点问题的求解等知识与方法，解第（2）题时要进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 【变式11-3】如图，数轴上，两点所表示的数分别为和6． 解答下列各题： (1)点A与点B的距离是 个单位长度； (2)现有一个动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒． ①当个单位长度时，请直接写出的值； ②若点为的中点，点为的中点，则动点在运动过程中，线段的长度是否发生改变？若不变，求出线段的长度；若改变，说明理由．（不考虑点与点，点重合的情况） 【答案】(1)8 (2)①或；②线段的长度不发生变化，的长度为4． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴、线段中点的定义，灵活应用所学知识解决问题是解题关键． （1）利用数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①易得动点再数轴上表示的数为，则，求解即可； ②分两种情况讨论：点在点，两点之间运动和点运动到点的右侧，分别根据线段中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：数轴上，两点所表示的数分别为和6， 点与点的距离是（个单位长度）； 故答案为：8； （2）解：①由题意得，动点再数轴上表示的数为， ， 由个单位长度，得， 解得：或； ②当点在点，两点之间运动时：，， 点为的中点， ， 又点为的中点， ， ； 当点运动到点的右侧时：，， 点为的中点， ， 又点为的中点， ， ； 综上所述，线段的长度不发生变化，的长度为4． 【变式11-4】综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题． 如图，在纸面上有一数轴． 按下列要求折叠纸面 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有，两点也重合，且，两点之间的距离为14（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①若动点从点向右出发，为何值时，，两点之间的距离为18个单位长度； ②若动点从点向左出发，，两点之间的距离为2个单位长度时，求出此时的值． 【答案】（1）4 （2）2 （3）；8（4）①2 ②6或8 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点间的距离，折叠的特点，数轴上表示数，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的两个数到折痕点数的距离相等，数轴上两点间的距离是解题的关键， （1）根据折叠后数1对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反，计算即可． （2）根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，由此得到，得到，计算即可． （3）根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，点B表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可． （4）根据题意，得，根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得,列式计算即可； ②根据题意，得到点P表示的数为，结合，两点之间的距离为2个单位长度，得到，计算即可． 【详解】（1）根据折叠后数1对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反， ∴数对应的点与数4对应的点重合， 故答案为：4． （2）根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设折叠后与0重合的数为x， 由此得到， 解得， 故答案为：2． （3）根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，点B表示的数是， 根据折叠的性质，得， 解得， 故答案为：． （4）根据题意，得， 根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动， 设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得 ∴， 解得； ②根据题意，得到点P表示的数为，根据，两点之间的距离为2个单位长度， 得， 解得或． 类型十二、一元一次方程应用其他问题 【典例12】红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 【变式12-1】重庆某商场计划用12万元购买60台洗衣机，现有3种型号洗衣机可供选择：A种型号每台1600元，B种型号每台2200元，C种型号每台2600元． (1)如果只购买其中两种型号的洗衣机，12万元全部用完，请写出购买方案． (2)若A种型号可盈利200元，B种型号可盈利250元，C种型号可盈利300元，在题（1）的方案中，请问选择哪种方案盈利最高？盈利多少？ 【答案】(1)有购买A种型号20台和B种型号40台与购买A种型号36台和C种型号24台两种购买方案 (2)购买A种型号36台和C种型号24台的方案盈利多．盈利14400元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）分三种情况：方案，方案，方案，分别列出方程，求出结果即可； （2）分别求出两种方案获得的利润，然后再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：①方案：设购买A种型号台，则购买B种型号台． ， ， 所以A：20台，B：（台）． ②方案：设购买A种型号台，则购买C种型号台． ， 所以A：36台，C：（台）． ③方案：设购买B种型号台，则购买C种型号台． ， ， ，不符题意，舍去． 答：有购买A种型号20台和B种型号40台与购买A种型号36台和C种型号24台两种购买方案． （2）解：①方案：（元）， ②方案：（元）， ， 答：购买A种型号36台和C种型号24台的方案盈利多．盈利14400元． 【变式12-2】有若干张长为30cm宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来黏合部分宽为3cm． (1)根据上图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条长度 30 84 111 …    　 … (2)设x张白纸黏合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？ (3)按照上述黏合方式，你认为至少需要多少张白纸，才能使得黏合起来总长度达到或超过2024cm？ 【答案】(1)57，273 (2) (3)至少需要75张白纸，才能使得黏合起来总长度达到或超过2024cm 【分析】本题主要考查了代数式的知识，解答本题的关键在于熟读题意并列出正确的代数式． （1）根据题意找出白纸张数跟纸条长度之间的关系，然后求解填空即可； （2）x张白纸黏合，需黏合次，重叠，所以总长可以表示出来； （3）解当时得到的方程，根据x为整数即可求解． 【详解】（1）当时，纸条长度为； 当时，纸条长度为； 故答案为：，； （2）； （3）当时， 解得： ∵x是整数 ∴至少需要75张白纸，才能使得黏合起来总长度达到或超过． 【变式12-3】(浓度问题)瓶中装有浓度为的酒精溶液1800克，现在又分别倒入300克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶里的酒精溶液浓度变为．已知A种酒精溶液的浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设B种酒精溶液的浓度为，则A种酒精溶液的浓度为，根据题意，列出方程进行计算即可． 【详解】解：设B种酒精溶液的浓度为，则A种酒精溶液的浓度为，由题意，得： ， 解得：， ∴； 答：A种酒精溶液的浓度是． 【变式12-4】大江东产业集聚区某中学李老师为学校开展的“迎峰会”演讲比赛购买奖品，回到学校向总务处王主任交账时说：“我买了两类书，共本，单价分别为元和元，买书前我领取了元，现还剩余元，”王主任算了算觉得不对，就说：老师你搞错了． (1)请同学们用所学知识解释李老师为什么搞错了？ (2)李老师急忙拿出发票，发现原来还多买了一支水笔，但水笔的单价写得模糊不清，李老师只记得水笔价格为小于的正整数，则这支水笔单价应为多少元？ 【答案】(1)理由见解析 (2)元或元 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，列出方程，进行解答，即可． （1）设元的买了本，元的是本，则，解出方程，即可； （2）设元的买了本，元的是本，水笔为元，则，解出方程，即可． 【详解】（1）解：理由，如下： 设元的买了本，元的是本， ∴， 解得： ∵取正整数 ∴不符合题意； ∴李老师搞错了． （2）设元的买了本，元的是本，水笔为元， ∴， 解得：， ∵为正整数，且为小于的正整数； ∴必须被整除， ∴，， ∴这支水笔单价应为元或元． 1．一列匀速行驶的高铁，从车头开始进入长为米的隧道到它车尾完全离开隧道，共用时秒，又知在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光线垂直照射火车秒，设该列火车的长度为米，则可列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该列火车的长度为米，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该列火车的长度为米， 由题意可得，， 故答案为：． 2．一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．先根据“正方形纸板的边长相等”列方程求出长方体的高，再求出正方形纸板的边长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设长方体的高为，则盒子的宽为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，设中间的数为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数， ∴ ∴ 故答案为：21 4．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (1)如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则____；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则______； (2)若在数轴上点A、B表示的数分别是、3，且数轴上有点C，使点C到点A的距离是点C到点B距离的4倍，那么点C表示的数是多少； (3)如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数m所在点折叠，然后在重叠部分某处剪开，得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 【答案】(1)2；2028 (2)2或 (3)或或或 【分析】本题考查了数轴上的两点之间距离，一元一次方程的应用； （1）根据数轴上的两点之间距离，即可求解； （2）设点C表示的数是x，根据数轴上的两点之间距离，分两种情况解答求解； （3）设折痕处对应的点所表示的数是m，点B、点C表示剪痕，则三个线段分别为：，设三条线段的长为，可得，然后分类六种情况讨论，即可求解． 掌握数轴上两点之间距离的求法，能根据不同的比值进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵数b表示的点与数表示的点重合， ∴； 故答案为：2；2028 （2）解：设点C表示的数是x， 当点C在点A，B之间时，， 解得：， 此时点C表示的数是2； 当点C在点B的右侧时，， 解得：， 此时点C表示的数是； 综上所述，点C表示的数是2或； （3）解：解：设折痕处对应的点所表示的数是m，点B、点C表示剪痕，则三个线段分别为：，如图， 由题意可得：， ∵三条线段的长度之比为， 可设三条线段的长为， ∴， 解得：， 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上所述，m的值为或或或． 5．已知点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，且，点，之间的距离记为，请回答问题： (1)_______________，_______________，_______________． (2)设点在数轴上表示的数为，若，则_______________． (3)如图，，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点，之间，则_______________； ②若，则_______________； ③若点表示的数是，现在有一只蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点，的距离之和是8？ 【答案】(1)，2，5 (2)8或 (3)①5；②或；③秒或秒 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合，方程思想解决问题是解本题的关键． （1）根据绝对值的非负性和两点之间距离即可求解； （2）由，可得或，从而可得答案； （3）①表示之间的距离与之间的距离之和，可得答案； ②由①得：点在之间，则，当，则在的左边，或的右边，再分两种情况讨论即可； ③运动秒对应的数为，此时即蚂蚁所在的位置，记为，则，结合题意可得，由②得：当在表示4，9对应的点之间时，在表示4的点的左边，或在表示9的点的右边，再分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为2， 点，之间的距离， 故答案为：； （2）解：∵， 故或， 解得：或． 故答案为：8或． （3）解：①若点在点，之间，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为， ∴表示之间的距离与之间的距离之和， ； ②由①得：点在之间，则， 故当，则在的左边，或的右边， 当在的左边，则， ， 解得：， 当在的右边，则， ， 解得：， 综上：当，则或． 故答案为：． ③∵运动秒对应的数为，此时即蚂蚁所在的位置，记为， ， ， 由②得：当在表示4，9对应的点之间时，， ∴在表示4的点的左边，或在表示9的点的右边， 当在表示4的点的左边，即时， 解得：， 当在表示9的点的右边，则， ， 解得：． 综上：当或时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是8． 6．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间之比为，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用了9小时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 【答案】20千米 【分析】本题是比的应用，一元一次方程的应用，①根据平时逆水航行时间：顺水航行时间可得出平时逆水航行速度∶顺水航行速度；②雨天逆水航行时间+顺水航行时间=9，同时顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度．据此列方程求解即可． 【详解】解：设水流速度平时速度为x千米/时． 根据题意得：， 解得， 设甲、乙两港相距S千米， 根据题意得：， 解得． 答：甲，乙两港相距20千米． 7．如图，在射线上有三点，，，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发． (1)当在线段上，且时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点运动的速度； (2)若点运动的速度为，经过多长时间、两点相距； (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点，，求的值． 【答案】(1)点运动的速度为或； (2)经过或两点相距； (3)2 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握分类讨论思想、数形结合思想以及用含字母的代数式表示相关线段的长度成为解答本题的关键. （1）由于点P及Q是运动的，当时实际上是P正好到了的三等分点上，分二种情况讨论，当和时，由此就可求出它的速度； （2）若点Q运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们直背而行时，此题可设运动时间为，运用速度公式求解即可； （3）先画出图形，然后可以把它当成一个静止的线段问题来求解即可． 【详解】（1）解：当P在线段上时，由及， 可求得，， 故点P运动时间为． 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 若时，则，， 故点Q的运动速度为； 答：点运动的速度为或； （2）解：设运动时间为， 由题意得， 解得或40， ∵点Q运动到O点时停止运动， ∴点Q最多运动，当点Q运动到点O时，，之后点P继续运动即，则 ，此时， 故经过或两点相距； （3）解：如图， 设，点P在线段上，，， ， ∴． 8．在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点A距离原点14个单位长度，点B距离原点4个单位长度． (1)A点表示的数为______，B点表示的数为______，两点之间的距离为______； (2)若点P为数轴上一点，且，求的值； (3)若点P、Q、M同时向数轴负方向运动，点P从点A出发，点Q从原点出发，点M从点B出发，且点P的运动速度是每秒4个单位长度，点Q的运动速度是每秒6个单位长度，点M的运动速度是每秒2个单位长度．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少? 【答案】(1)，4，18 (2)的值是21或15 (3)点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 【分析】（1）先由点在原点的左边，距离原点14个单位长度确定点对应的数是，同理可得点表示的数，根据右边的数左边的数两点的距离可得，两点的距离； （2）分点在点的左边和右边，根据线段的和差可得的长； （3）设移动的时间为秒，分别表示三个动点，，表示的数，分三种情况讨论，列方程可解答． 【详解】（1）解：点在原点的左边，距离原点14个单位长度， 点对应的数是， 同理可得点表示的数为4， ，两点之间的距离为：， 故答案为：，4，18； （2）解：分两种情况： ①当点在点的右边时，； ②当点在点的左边时，； 综上，的值是21或15； （3）解：设移动的时间为秒，则动点，，对应的数分别为，，， 分三种情况： ①点是的中点时，， ， ， 此时，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：； ②点是的中点时，， ， 无解； ③点是的中点时，因为点的速度最小，所以此种情况不存在． 【点睛】此题是数轴上的动点问题，考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用等，正确用代数式表示移动过程中的点对应的数是解题的关键． 9．已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)①点A所表示的数为________； ②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________； (2)问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)①16；②11，； (2)点运动2秒或4秒与点相距8个单位长度． (3)或． 【分析】（1）①由数轴上两点之间的距离列式即可；②由起点对应的数加上或减去移动距离可得答案； （2）先表示点表示的数为，点表示的数为，再利用两点之间的距离公式列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当在右侧时，如图，同理在左侧时：如图，再利用中点的含义结合线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴表示的数是16； ②∵， ∴点表示的数是； 点表示的数是：； （2） 点表示的数为，点表示的数为 解得或4 答：点运动2秒或4秒与点相距8个单位长度． （3）为的中点，为的中点 当在右侧时，如图，有： ∴ ， ，即． 同理在左侧时：如图， 同理可得： ， ∴． 综合知，或． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 10．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 【答案】(1)，6； (2)动点从点运动至点需要19秒； (3)两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)存在，11． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是． 故答案为：，6； （2）点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）存在， 由题意可得：， 解得：， 答：的值为11 11.【阅读理解】 定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】 在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． (1)填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ； ． (2)在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． i）若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ii）若点D与点A重合，现将线段从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 【答案】(1)；4；2 (2)i）或 ii）或或 【分析】本题考查了新定义，数轴，一元一次方程的应用，解题关键在于了解”m倍特征的“的定义． （1）由条件根据非负数的性质，可知，，再根据”4倍特征点“的定义求出． （2）i）由，则D可能表示或，再根据列出方程计算m的值． ii）用时间t表示出动点D．E．再由条件需6种情形分类讨论，从而求出t的值． 【详解】（1）解：∵． ∴，． 解得：，， ∵点C是点A关于点B的“4倍特征点”． ∴． （2）解：i）∵． ∴D表示的数为或． ∵点B是点D关于点E的“m倍特征点”． ∴． ∵， 当D表示时， ∴E表示． ∴，解得：． 当D表示， ∴E表示． ∴，解得：． ii）由题意可知D表示，E表示，． 若A是D关于E的“ 倍特征点”， ∴，即， ∴． 若A是E关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若D是A关于E的“ 倍特征点”． ∴，即， ∴． 若D是E关于A的“倍特征点”． ∴，即． ∴． ∵，故舍去． 若E是A关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若E是D关于A的“ 倍特征点”． ∴，即． ∴． 综上所述，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，t的值为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$