第五章 一元一次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（北师大版2024）

第五章 一元一次方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 4．若的值与互为相反数，则a的值为（    ）． A． B． C． D． 5．甲、乙两人在的环形跑道上跑步，甲每分钟跑，乙每分钟跑，若他们从同一地点同时同向出发，则他们第一次相遇于（   ） A．时 B．时 C．时 D．时 6．方程 去分母得（    ） A． B． C． D． 7．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 9．如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的 “幻方” 中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）      A． B．5 C． D．7 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 12．若关于的方程的解为，则的值为 ． 13．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 14．小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 15．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 16．有两个三位数和，若m，n满足为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”， ，，若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17．（8分）解方程： (1) (2) 18．（8分）阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程： 设①， 则②， 由得，即故． 根据上述提供的方法，把①，②化为分数． 19．（10分）定义一种新运算“△”，其规则为△． 例如：3△． (1)计算4△5的值； (2)若△△4，求的值； (3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 20．（10分）下列式子：，，…，具有的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作．例如：、都是“共生有理数对”． (1)判断是否为“共生有理数对”？并利用计算过程说明理由． (2)若是“共生有理数对”，求x的值； (3)若是“共生有理数对”，判断是不是“共生有理数对”，并说明理由． 21．（10分）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 22．（12分）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 23．（14分）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单位长度； (2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒； (3)P，Q两点相遇时，__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________； (4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程中x的次数是2，故它不是一元一次方程； B、方程中含有一个未知数x，且未知数x的次数是1，故它是一元一次方程； C、方程中含有两个未知数x、y，故它不是一元一次方程； D、它不是等式，故不是方程． 故选：B 2．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．先移项，再系数化为1即可得． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， 故选：A． 3．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：若，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∴，故A正确，不符合题意； 若，当时，不一定成立，故B错误，符合题意； 若，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故C正确，不符合题意； 若，且，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B 4．若的值与互为相反数，则a的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程和相反数的意义，互为相反数的两个数相加等于零，根据相反数的意义求解即可． 【详解】解： 的值与互为相反数， ， 解得：， 故选：C． 5．甲、乙两人在的环形跑道上跑步，甲每分钟跑，乙每分钟跑，若他们从同一地点同时同向出发，则他们第一次相遇于（   ） A．时 B．时 C．时 D．时 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设他们第一次相遇的时间为，根据两人第一次相遇时甲比乙多跑列出方程求解即可． 【详解】解：设他们第一次相遇的时间为， 由题意得，， 解得， ∴他们第一次相遇于时， 故选：B． 6．方程 去分母得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程去分母，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质，等式两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：等式两边同时乘以， 得：， 故选C． 7．某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母， 由题意得：， 故选：C． 8．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） 0 1 A．1 B．9 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．根据“三阶幻方”的知识分别列出关于的一元一次方程并求解，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可得， 解得， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 9．如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数（如3，4，5，10，11，12，17，18，19），若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为（    ） A．69 B．207 C．84 D．189 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用（日历问题），由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，故圈出的最小数为x，则圈出的最大数为；接下来根据圈出的9个数中最大数与最小数的和为42可列方程，求解即可得到圈出最小数；此时再根据圈出的9个数中，每一行相邻两数相差1，每一列相邻两数相差7即可写出这9个数，再求和即可． 【详解】解：设圈出的最小数为x，则圈出的最大数为， 由题意得，， 解得， 故圈出的最小的三个数为13，14，15， 下面一行的数分别比上面三个数大7，故为20，21，22， 第三行的数分别比上一行三个数大7，故为27，28，29， 圈出的这9个数的和为：． 故选D． 10．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示， 每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现填入如图2所示的 “幻方” 中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）      A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个三角形顶点数字的和是解题的关键． 设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x，列方程求出的值x，再根据题意得出的值即可． 【详解】解：设每个三角形的三个顶点上的数字之和为x， 根据题意列方程得，，解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 【答案】 【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 12．若关于的方程的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解．根据“方程的解是使方程左右两边相等的数”即可求解． 【详解】解：是方程的解， ， ， 故答案为：． 13．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，先根据一元一次方程解的定义是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：7． 14．小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的方程，再求解即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 15．据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了38个野果，则在第2根绳子上的打结数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算，设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：2． 16．有两个三位数和，若m，n满足为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”， ，，若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则 【答案】467或687 【分析】本题考查不定方程整数解的求法，运用了分类讨论的思想，根据位值原则正确改写p和q是本题解题的关键． 先根据q的数字之和能被12整除，求出y和z的值，然后将p和q根据位值原则改写，根据“搭档数”的定义列出代数式，根据不定方程整数解的求法进行求解即可． 【详解】解：根据q的各个数位上的数字之和能被12整除， 可得：能被12整除， ， 即， 或4， 当时，， 当时，， ， 当时，， 根据“搭档数”定义可得： 为整数， 或0， 当时， 根据“搭档数”定义可得： 为整数， 或0， 综上所述，或0， 或687． 故答案为：467或687． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17．（8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键： （1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可； （2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 18．（8分）阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程： 设①， 则②， 由得，即故． 根据上述提供的方法，把①，②化为分数． 【答案】①；② 【分析】此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，一元一次方程的解法．仿照题中给出的例子进行运算即可求解． 【详解】解：设①，则② 则由得：， 解得：， 故； 设①，则② 则由得：， 解得：， 故； 故． 19．（10分）定义一种新运算“△”，其规则为△． 例如：3△． (1)计算4△5的值； (2)若△△4，求的值； (3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即，．新运算“△”是否满足交换律？请说明理由． 【答案】(1)21 (2)1 (3)不满足，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可求解； （2）已知等式利用题中的新定义可得关于的一元一次方程，解方程即可； （3）根据题中的新定义可知“△”运算不满足交换律，举例说明即可． 【详解】（1）解：4△； （2）解：△△4， 故， 解得：； （3）解：“△”运算不满足交换律，举例如下： 2△，3△，故2△△2． 20．（10分）下列式子：，，…，具有的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作．例如：、都是“共生有理数对”． (1)判断是否为“共生有理数对”？并利用计算过程说明理由． (2)若是“共生有理数对”，求x的值； (3)若是“共生有理数对”，判断是不是“共生有理数对”，并说明理由． 【答案】(1)是 “共生有理数对”，理由见解析 (2) (3)是 “共生有理数对”，理由见解析 【分析】本题主要查了一元一次方程的应用： （1）根据“共生有理数对”的定义，即可求解； （2）根据“共生有理数对”的定义，列出方程，即可求解； （3）根据“共生有理数对”的定义，可得，再根据“共生有理数对”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：是 “共生有理数对”，理由如下： ∵， ∴是 “共生有理数对”． （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， 解得：； （3）解：是 “共生有理数对”，理由如下： ∵是“共生有理数对”， ∴， ∵，， ∴， ∴是 “共生有理数对”． 21．（10分）红光水果加工厂收购了29吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利0.05万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利0.4万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利0.6万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在7天内全部销售或加工完毕，为此，工厂研制了二种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好7天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨・千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多243元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多； (2)加工厂到市场的距离为47千米． 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为x千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， ， 解得， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多； （2）解：设加工厂到市场的距离为x千米， ， 解得， 答：加工厂到市场的距离为47千米． 22．（12分）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键． （1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． 分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 23．（14分）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点P到达点C时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)秒时，点P在“折线数轴”上所对应的数是__________；点P到点Q的距离是__________个单位长度； (2)动点Q从点C运动至A点需要__________秒； (3)P，Q两点相遇时，__________秒；此时相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是__________； (4)如果动点P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等，请求出t的值． 【答案】(1)，； (2) (3)， (4)t 的值为 2，，11 或 17． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）当秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数， （2）分别计算出，，段的运动时间求和即可； （3）因为P从A到O需要5秒，Q从C到B需要8秒，8秒时P点在段，那么可知相遇点M在上，设，根据相遇时运动时间相等列方程求解； （4）分情况讨论，①动点 Q 在 上，动点 P 在 上，②动点 Q 在 上，动点 P 在 上，③动点 Q 在 上，动点 P 在 上，④动点 Q 在 上，动点 P 在 上，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，，， 则P点对应的数为，Q点对应的数为； （2）解：动点Q从点C运动至A点所需时间为： （秒 ) （3）解：由题可知， P 、 Q 两点相遇在线段上于 M 处，设． 则， 解得  ．此时  ， M 所对应的数为； （4）解：P 、 O 两点在数轴上相距的长度与 Q 、 B 两点在数轴上相距的长度相等有 4 种可能： ①动点 Q 在 上，动点 P 在 上， 则： ， 解得：． ②动点 Q 在上，动点 P 在 上， 则： ， 解得：． ③动点 Q 在上，动点 P 在上， 则： ， 解得： ． ④动点 Q 在 上，动点 P 在 上， 则：， 解得：． 综上所述： t 的值为 2，，11 或 17． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$