5.1 二次函数（二大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.1　二次函数（二大题型提分练） 题型一 二次函数的概念 1（2023·上海·一模）下列函数中，是二次函数的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 【解析】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）若函数是二次函数，则 ． 【解析】解：∵函数是二次函数， ∴且， ∴或，且 ∴． 故答案为：3． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【解析】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 【解析】（1）解：当函数为二次函数时， 则， 即． （2）解：当函数为一次函数时， 则， 解得：． 题型二 根据实际问题列二次函数表达式 1．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． 2．（23-24九年级上·北京·期中）如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】A 【解析】解：由题意可得： ， ∴与成一次函数关系；与成二次函数关系； 故选：A． 3．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意得，， 故选：A． 4．（22-23九年级上·广东江门·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 【解析】解：依题意，圆面积与的函数关系为 ， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 【解析】解：新圆的面积为， ∴． 故答案为． 6．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ． 【解析】解：由题意可得： ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【解析】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【解析】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【解析】（1）解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； （2）当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 1．（2023·广东云浮·一模）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵是二次函数， ∴， 解得：， 故选A． 2．（2023·辽宁鞍山·一模）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【解析】解：① 是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 4．（2023·北京·二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选A． 5．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k等于___________. 【答案】0 【解析】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故答案为：0． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 【解析】解：新正方形的边长是， 则面积． 所以面积与之间的函数关系式为， 故答案为：． 7．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【解析】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 8．（2023九年级下·江苏·专题练习）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)；(2) ；(3) ；(4) ； (5)；(6) (为常数)． 【解析】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是； （5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【解析】解：由题意，，，且，解得，， 于是 ， ∴． 10．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 【解析】解：乙的说法对． 理由如下： ， 无论取何值，，即有， 所以， 故无论取何值，该函数一定是二次函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1　二次函数（二大题型提分练） 题型一 二次函数的概念 1（2023·上海·一模）下列函数中，是二次函数的是（　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是 ．（填写序号） 4．（2024九年级上·全国·专题练习）若函数是二次函数，则 ． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 6．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知函数． (1)当m为何值时，这个函数是二次函数？ (2)当m为何值时，这个函数是一次函数？ 题型二 根据实际问题列二次函数表达式 1．（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24九年级上·北京·期中）如图，用一段长为 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，与，与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 3．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·广东江门·期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留） 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 6．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是 ． 7．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 9．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． (1)求与的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 1．（2023·广东云浮·一模）关于x的函数是二次函数的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁鞍山·一模）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 4．（2023·北京·二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 5．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k等于___________. 6．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 7．（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 8．（2023九年级下·江苏·专题练习）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)；(2) ；(3) ；(4) ； (5)；(6) (为常数)． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    10．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）关于的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$