5.1 二次函数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

5.1　二次函数 学习目标 1．理解二次函数的概念，能根据概念判断给定的函数是否为二次函数； 2．能通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义； 3．能确定简单实际问题中二次函数自变量的取值范围. 2 问题导学 函数的定义是什么？ 我们学习哪几种函数？ 问题情境 问题1 水滴激起的波纹不断地向外扩展，所形成的圆面积S与半径r的关系式是__________. S＝πr2 4 问题情境 问题2 用长16 m的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？ x m (8－x)m y＝－x2＋8x 问题情境 问题3 一面长与宽之比为2：1的矩形镜子，四周镶有边框. 已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元. 总费用y (元)与镜面宽x(m)之间的函数关系为：___________________. x m 2x m y＝240x2＋180x＋45 总费用＝镜面费用＋边框费用＋加工费 观察与思考 y＝240x2＋180x＋45 y＝－x2＋8x S＝πr2 (1)你写出的函数关系式中有你熟悉的函数类型吗？ (2)上述未知的函数类型有什么共同的特征？ 请结合学习一次函数概念的经验给这类函数下个定义. 7 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，且a≠0) 的函数称为二次函数．其中x是自变量，y是x的函数. 二次函数的一般形式 概念学习 为什么要限制a≠0，b、c可以为零吗？ 8 例题讲解 例1 下列函数： (1) y＝－3x2 (4) y＝x(x－5) (3) y＝ (2) y＝＋x2 (6) y＝(x－1)2－x2 (5) y＝ax2＋bx＋c 其中，是关于x的二次函数的有__________. (填序号) (1) (4) 9 例题讲解 例2 已知函数y＝(k－3)＋kx＋1是二次函数，求k的值，并写出这个二次函数的表达式. 解：由题意得：　　　　　　 解得：k＝0， 当k＝0时，y＝－3x2＋1. 10 (1) 函数表达式中关于自变量的式子是整式； (2) 化简后自变量的最高次数是2 (可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项)； (3) 二次项系数不为0. 二次函数的识别方法： 归纳与总结 注意：判断一个函数是不是二次函数，需要整理后结合二次函数的定义来判断. 11 新知巩固 2．(2022·山东济南·模拟预测)若是二次函数，则的值等于 ( ) A． B． C． D．或 C 1．(2023·广东云浮·一模)关于x的函数是二次函数的条件是 ( ) A． B． C． D． A 12 一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0) 中自变量x的取值范围是什么？上述3个问题中自变量的取值范围是什么？ y＝ax2＋bx＋c S＝πr2 y＝－x2＋8x y＝240x2＋180x＋45 r＞0 0＜x＜8 x＞0 x是任意实数 讨论与交流 13 例题讲解 例3 如图，园艺工人利用长24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，用以种植红玫瑰和蓝玫瑰. 设花圃的边AB长为x m，面积为S m2. (1)求S与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； A B C D 10 m 此边长不能超过墙长 解:(1)根据题意，得S＝(24－3x) x ＝－3x2＋24x. 自变量x的取值范围是≤x＜8. 14 例题讲解 (2)根据题意，得45＝－3x2＋24x， 解得x1＝5，x2＝3(舍去). 所以AB＝5 m，BC＝9 m. 答：花圃的长和宽分别为9 m和5 m. 例3 如图，园艺工人利用长24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，用以种植红玫瑰和蓝玫瑰. 设花圃的边AB长为x m，面积为S m2. (2)根据实际要求，所围的花圃面积是45 m2，求花圃的长和宽分别为多少米？ A B C D 10 m 15 归纳与总结 列二次函数表达式的步骤： 1. 审清题意：分清实际问题中的已知量 (常量)和未知量 (变量)，并分析它们之间的关系，找出等量关系； 2. 找出等量关系：用含一个变量的代数式表示等量关系中其他的相关数量，从而写出用一个变量表示另一个变量的函数表达式； 3.注意自变量的取值范围：在实际问题中，自变量的取值要符合实际意义． 16 3. 一个圆柱的高与底面直径相等，写出它的表面积S与底面半径r之间的函数表达式为_____________. 新知巩固 1. 正方体的表面积S(cm2)与正方体的棱长a(cm)之间的函数表达式为__________. S＝6a2 S＝6πr2 2. 某矩形的长是宽的1.6倍，写出这个矩形的面积S与宽x之间的函数表达式为_____________. S＝1.6x2 17 新知巩固 4. 如图，矩形纸片长为30cm、宽为20cm，剪去一个边长为x cm的正方形，写出剩余部分的面积 S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式. 解：S＝600－x2 18 新知巩固 5. 写出下列问题中y与x之间的函数的表达式 , 并写出自变量的取值范围: (1)如图，在长200m、宽140m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为 x(m)，绿地面积为y(m2)； 解：(1) y＝(200－x)(140－x) 0＜x＜140 19 新知巩固 (2)某化肥厂10月份生产某种化肥200t，设该厂11月、12月的月平均增长率为x，12月份化肥的产量为y(t)； 解：(2) y＝200(1＋x)2 x＞0 (3)如图，用长50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为x(m)，面积为 y(m2). 解：(3) y＝(50－x)x 0＜x＜50 20 二次函数的概念 根据实际问题列二次函数表达式 自变量取值范围的确定 课堂总结 当堂检测 基础过关 1.（2023·辽宁鞍山·一模）下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． C 22 当堂检测 基础过关 2.（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（     ） A． B． C． D． D 23 当堂检测 基础过关 3.（2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ A 24 当堂检测 基础过关 5．二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 4．若函数是二次函数，则 ． 3 −3 5 25 当堂检测 基础过关 6．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为 ． 7．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ． （化成一般式） y=−x2+50x y=160(1−x)2 26 当堂检测 基础过关 8．已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； 解：(1) 该二次函数的一般形式是. 27 当堂检测 基础过关 (2)由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 8．已知二次函数． (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 28 当堂检测 基础过关 9．已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求m的值； 解：（1）是一次函数， 且， 解得. 29 当堂检测 基础过关 9．已知函数（m是常数）． (2)若该函数是二次函数，求m的值． (2) 是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 30 当堂检测 基础过关 10．如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，设矩形的宽为x(m)，菜园的面积为y (m2)，求y 与x的函数表达式. 解：y＝x(60－2x)，即 y＝－2x2＋60x . 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 31 当堂检测 能力提升 1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． D 32 当堂检测 能力提升 2.（2024九年级上·全国·专题练习）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 D 33 当堂检测 能力提升 3.（2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ C 34 当堂检测 能力提升 5．边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 4．如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． S=x2+2x+1(x>0) 35 当堂检测 6. 若菱形的两条对角线的长的和为36 cm，则菱形的面积S(cm2)与一条对角线的长x(cm)之间的函数表达式为________________，其中自变量x的取值范围是___________. S＝－x2＋18x 0＜x＜36 基础过关 36 当堂检测 能力提升 7．若是二次函数，求这个函数解析式． 解：根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 这个函数解析式是． 37 当堂检测 能力提升 8. 某商店经销一种水产品，如果以每千克50元的售价销售，一个月能售出500千克，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，试写出当每千克的售价涨x元时，该商店销售该水产品的月销售额y(元)与x之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围． 解：当每千克涨价x元时，月销售量为(500－10x)千克．根据题意，得 y＝(50＋x)(500－10x)， 即y＝－10x2＋25000. 解得：0≤x≤50. ∴y＝－10x2＋25000 (0≤x≤50)． 38 2021 Blues 4800.0 $$