高二上学期期中数学模拟试卷02（范围：空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆与双曲线）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（四川专用）

绝密★考试结束前 2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷02 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知，若共面，则实数的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A．2 B． C． D． 8．已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 10．已知方程表示曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则曲线是圆 B．若曲线是椭圆，则 C．若曲线是双曲线，则且 D．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线 11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，若，则实数 . 13．圆在点处的切线方程为 ． 14．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 16．已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 17．在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 18．如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 19．已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值； (3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★考试结束前 2024-2025学年高二上学期期中数学模拟试卷02 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜率为， 设直线的倾斜角为，， 所以，可得.故选：B. 2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，.故选：A. 3．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为.故选：C 4．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆心为，半径为2， 设圆心关于直线对称的点是， 则，解得. 则所求圆的方程为.故选：D 5．已知直线，直线，若，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则， 故与的距离为故选：D. 6．已知，若共面，则实数的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】显然向量与不平行，而，，共面， 则存在实数，使，即， 于是，解得，所以实数的值为5.故选：B 7．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的定义可得, 在 中，由余弦定理， 又 ,可得： ，即, 即，即， 则，故选：C. 8．已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【解析】设，使其满足， ，所以，由 所以，因为，所以， 整理可得， 又动点的轨迹是，所以，解得 所以，又， 所以， 因为，所以的最小值， 当在位置时等号成立．故选：A 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】对A，,所以, 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误；故选:AB. 10．已知方程表示曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则曲线是圆 B．若曲线是椭圆，则 C．若曲线是双曲线，则且 D．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则，方程化为，故A正确； 对于B，若曲线是椭圆，则解得且，故B错误； 对于C，若曲线是双曲线，则，解得且，故C正确； 对于D，若，则且，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，故D正确． 故选：ACD. 11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】CD 【解析】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ， 对于A，假设存在点，使得， 由，，所以， 解得，即点Q与D重合时，，A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为， 由，， 所以，方程无解； 所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为，B错误； 对于C，连接； 设，因为， 所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2， 又点N到平面AMQ的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面QMN的法向量，则， 令，则，得， 因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，， 所以， 当点Q自D向C处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，若，则实数 . 【答案】/ 【解析】因为，， 因为，所以，解得： 故答案为： 13．圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】 由圆可得圆心坐标为，点在圆上. 则直线的斜率为：. 由圆的性质可知：圆在点处的切线与直线垂直. 所以圆在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 故答案为： 14．已知是双曲线的焦点，点是双曲线上的动点，若，，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】设，又，， 中，由余弦定理有， 即，解得， 则，， 由双曲线定义，解得． ∴双曲线的离心率． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在正六棱柱中，为的中点．设，，. (1)用，，表示向量，； (2)若求的值． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）， ； （2）由题意易知， 则，， 则 ． 16．已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)6 【解析】（1）直线l方程，可化为， 令，解得， 则直线l经过定点， 故直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点， 则当时，点P离直线l最远，且， 此时，所以直线l的斜率为， 即，则l：， 则，，， 故的面积为． 17．在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，． 【解析】（1）设，，，， ，轨迹C是以为圆心，为半径的圆． （2）对于，满足，故在圆C内， 当时，存在弦PQ被点G平分； ，， 则， 当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大， 面积最大为． 18．如图,在四棱锥中,底面是边长为6的正方形,是正三角形,平面,为的中点,,,分别是,,上的点,且满足． (1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的大小; (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为?若存在,求线段的长度；若不存在,请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)不存在,理由见解析 【解析】（1）是正三角形, 为的中点,, 又平面,平面, , 又平面,平面,平面,且, 平面. （2） 取的中点,连接, 由（1）得平面,且底面是的正方形， 所以以为原点,分别以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 得到如下点的坐标， 又,,分别是,,上的点,且满足, ， ,, 由（1）得平面,所以平面的法向量为, 设平面的法向量为, 则,即,解得,, 设平面与平面所成锐二面角为, , 所以平面与平面所成锐二面角的大小. （3）设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为， 且, ， , , 整理可得:,方程无解, 不存在这样的点. 19．已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值； (3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动. 【答案】(1)；(2)证明过程见解析；(3)证明过程见解析 【解析】（1）由双曲线可知该双曲线的焦距为， 由题意可知该椭圆的焦距为， 因为椭圆经过点， ； （2）由（1）可知：， 把代入中，得， 由题意可知， ， 所以为定值； （3）由题意可知过的动直线的斜率不为零， 所以设该动直线方程为，与该椭圆方程联立， 得， ， 设， 则有， ，直线， 同理可知， ， 由 ，把代入，得 ， 因此直线的交点的横坐标为定值，即直线的交点在一条定直线上运动. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$