精品解析：辽宁省本溪市第一中学2024-2025学年高三上学期假期验收考试数学试卷

2025届高三年级上学期假期验收考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为锐角，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数（ 且 ），若有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有 个实数解 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ） A. 在是单调递增 B. 是偶函数 C. 的最大值是 D. 是 的对称中心 10. 已知函数，则（） A. 在上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 既无最大值，也无最小值 D. 当时，有三个零点 11. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且 ，则 或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果是方程的两根，则＝________． 13. 已知函数且 ，若，，则实数的取值范围是___________. 14. 已知函数 ， 则 的单调递增区间为________； 若对任意的 ， 不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 16. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 17. 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） （1）若 ，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ （2）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） （3）若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 18. 已知函数 . （1）求的单调区间； （2）设函数.证明： （i）函数有唯一极值点； （ii）若函数有唯一零点，则 . 19. 麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，的麦克劳林展开式为：，其中表示的n阶导数在0处的取值，我们称为麦克劳林展开式的第 项．例如：． （1）请写出的麦克劳林展开式中的第2项与第4项； （2）数学竞赛小组发现的麦克劳林展开式为，这意味着：当时，，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？ （3）当时，若，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级上学期假期验收考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域及指数函数值域分别可得两集合，进而利用交集和并集运算判断各选项. 【详解】由对数型函数的定义域可知， ，即， 又，则，所以，则，， 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断 ， 的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又 ， 所以，当且仅当 时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知为锐角，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差正弦公式可求得结果. 【详解】为锐角，即，， ， . 故选：D. 4. 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得函数的解析式，进而可得函数值. 【详解】函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到函数， 再把所有点的横坐标变为原来的后得到函数， 所以. 故选：A. 5. 已知函数（ 且 ），若有最小值，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数有最小值可得出函数的单调性，然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得. 当 时，，，此时函数无最小值； 当时，即当时，函数在区间上为减函数， ①若函数在上为增函数，则， 且有，即，解得，此时； ②若函数在上为减函数，则， 且，所以，，即，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数在区间上单调递减，忽略这一条件的分析，进而导致求解出错. 6. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上是减函数 D. 方程仅有个实数解 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项. 【详解】为奇函数，即，关于点对称， 又为偶函数，即，关于直线 对称， 所以，即， 所以， 即函数的最小正周期为， A选项：，A选项正确； B选项：，所以为奇函数，B选项正确； C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误； D选项：由，得 作出函数及图像如图所示， 由已知函数的值域为，且， 当 时，，函数与无公共点， 当时，由图像可知函数与函数有个公共点， 即有个解，D选项正确； 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 8. 定义在上的函数的导函数为，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数，分析出函数为奇函数，利用导数分析出函数在上为增函数，由此可得出该函数在上为增函数，再利用函数的单调性可判断各选项的正误. 【详解】令，，， 所以，， ，所以，函数为上的奇函数， ， 当时，，即，， 所以，在上单调递增， 由奇函数的性质可知，函数在上单调递增， 所以，函数在上单调递增. 对于A选项，，则，即，A选项错误； 对于B选项，，，即，B选项正确； 对于C选项，，，即，C选项错误； 对于D选项，，，即，D选项错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用导数不等式的结构构造函数，充分分析该函数的奇偶性与单调性，结合单调性来比较函数值的大小关系. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ） A. 在是单调递增 B. 是偶函数 C. 的最大值是 D. 是的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简函数的解析式，并求，再根据三角函数的性质判断选项. 【详解】因为， 因为函数的最小正周期为，所以，则， 所以增区间由不等式，即， ， 当 时，A满足条件，故正确； 是偶函数，故B正确； 的最大值是2，故C是错的； ， ，故D正确 故选：ABD. 10. 已知函数，则（） A. 在上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 既无最大值，也无最小值 D. 当时，有三个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】先将用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零点即可. 【详解】由题意得， 所以， 对于A，当时，， 所以在上单调递减，故A错误; 对于B，当时， ，当时， ，当时， , 所以在单调递增，在 单调递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，故B正确; 对于C，当时，，当时，, 又, 的大致图象如图所示， 的值域为, 所以有最小值，无最大值，故C错误; 对于D，当 时，在 上单调递增, 因为, 所以, 所以在 上有一个零点; 当 时，在上单调递增，在上单调递减, 又，当时，. 结合的大致图象（如上图）， 在有一个零点，在 上有一个零点， 综上，当时，有三个零点，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数是的导函数，则（ ） A. “”是“为奇函数”的充要条件 B. “”是“为增函数”的充要条件 C. 若不等式的解集为且，则的极小值为 D. 若是方程的两个不同的根，且 ，则 或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函数的单调性，进而求得的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合，列出不等式，可判定D正确． 【详解】对于A中，当时，函数，则满足， 所以为奇函数，所以充分性成立； 若为奇函数，则， 则 恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正确； 对于B中，当时， ，可得 ，所以为增函数； 由，当为增函数时，，所以“”是“为增函数”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C中，由，若不等式的解集为且， 则在上先增后减再增，则，解得， 故，可得， 令，解得或， 当内，，单调递增； 当内，，单调递减； 当内，，单调递增， 所以的极小值为，所以C正确． 对于D中，由，因为是方程的两个不同的根， 所以，即，且， 由 ，可得，所以，即， 联立方程组，可得，解得 或，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如果是方程的两根，则＝________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案. 【详解】因为是方程的两根， 所以， ∴. 故答案为：. 13. 已知函数且 ，若，，则实数的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据和得到函数在上单调性，结合题中条件可得，即可将问题转化为求函数在的最值，即可求解. 【详解】， 若，由于单调递减，则在上单调递增； 若，由于单调递增，则在上单调递减， 又，故， 故不等式对恒成立， 即对恒成立， 当时，对恒成立， 由于对勾函数在单调递减，在单调递增，而当时，， 当 时，，因此 ； 当时，对恒成立，当时，，得， 综上可知：或 ， 故答案为：或 14. 已知函数 ， 则 的单调递增区间为________； 若对任意的 ， 不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为________． 【答案】 ①. (填亦可) ②. 【解析】 【分析】求出函数导数，利用导数求函数单调区间，不等式恒成立可分离参数后求函数的最小值，令换元后可根据单调性求最值. 【详解】, 令 , 可得的单调递增区间 (或亦可); 可化为. 令==， 设，则， 由在上单调递增可知， ， 则， 故解得. 故答案为：(填亦可)； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 【答案】（1） ，最大值为， （2）单调增区间为，单调减区间为 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 当时，取最大值为，此时， ，即， ； 【小问2详解】 当时，有， 从而时，即时，单调递增， 时，即时，单调递减， 综上所述，单调增区间为，单调减区间为. 16. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由 可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 故， 又 ，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. 17. 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） （1）若 ，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ （2）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） （3）若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 【答案】（1）1.70km/min； （2）466 （3）9 【解析】 【分析】（1）将 代入函数，计算出答案； （2）将，代入函数式可得，得到结论； （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，列出方程组，计算出，得到结论. 【小问1详解】 将，代入函数式可得： ， 故此时候鸟飞行速度为1.70km/min． 【小问2详解】 将，代入函数式可得： ， 即， 所以，于是． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． 【小问3详解】 设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得： 两式相减可得： ，于是． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 18. 已知函数 . （1）求的单调区间； （2）设函数.证明： （i）函数有唯一极值点； （ii）若函数有唯一零点，则 . 【答案】（1）减区间是，增区间是. （2）（i）证明如下： 因为 的定义域为， 所以 ， 设 ，则 ，当时， ，所以单调递增， 当 时， ，所以单调递减，所以 ， 所以 ，即， 所以 ，又 ， 所以存在唯一的，使得 ，即 ， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以函数有唯一极值点. （ii）证明如下： 由（i）得，因为函数有唯一零点，所以 ， 所以， 即 ，所以 ， 设，所以 ， 所以在单调递减， 因为 ，所以 . 【解析】 【分析】（1）利用函数导数求解函数单调性；（2）利用导数证明极值点和零点所在范围. 【小问1详解】 由函数 可得：，且， 当时，，函数单调递减； 当 时，，函数单调递增， 所以函数减区间是，增区间是. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，的麦克劳林展开式为：，其中表示的n阶导数在0处的取值，我们称为麦克劳林展开式的第 项．例如：． （1）请写出的麦克劳林展开式中的第2项与第4项； （2）数学竞赛小组发现的麦克劳林展开式为，这意味着：当时，，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？ （3）当时，若，求整数的最大值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据泰勒展开式得出第2项及第4项； （2）构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式； （3）先根据特殊值法得出的范围，再应用麦克劳林的结论证明成立即可. 【小问1详解】 因为 所以第2项. 【小问2详解】 设， ， 因为所以单调递增， 所以， 所以. 【小问3详解】 当时，成立，得出，的最大整数不超过3. 当时，因为，所以， 所以， 令 当单调递增，则， 所以， 故当时，，所以整数m的最大值为3. 【点睛】方法点睛：构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $