专题05 函数的性质（考题猜想，易错必刷49题6种题型专项训练）高一数学上学期北师大版必修第一册

专题05 函数的性质（易错必刷49题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数单调性的证明 · 函数单调性的应用 · 函数奇偶性的证明 · 函数奇偶性的应用 · 二次函数的性质 · 抽象函数的性质 一．函数单调性的证明（共5小题） 1.（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）函数的单调递增区间为 ． 4.（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义内的奇函数，且. (1)确定函数的解析式； (2)用单调性的定义证明函数在内是减函数. 5.（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 2． 函数单调性的应用（共8小题） 6.（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 8.（23-24高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 9.（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11.（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 12.已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围为 ． 13.（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 三．函数的最值求法（共8小题） 14.（24-25高一上·北京·阶段练习）函数的值域为 . 15.（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）（多选），用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数有最大值，无最小值 C．不等式的解集是 D．若是方程的三个不同的实数解，则 16.（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为 . 17.（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 18．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 19.（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 20.（23-24高一上·江苏镇江·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 21．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 四．函数奇偶性的证明（共5小题） 22.（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）（多选）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 24.（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 25.（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 26．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 五．函数奇偶性的应用（共9小题） 27.（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 28.（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 29.（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 30.（23-24高一下·全国·课后作业）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．2 D．不确定 31.（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知为R上奇函数，当时，，则（   ） A．8 B． C．0 D．2 32.（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 33.（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，，则 . 34.（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)证明在区间上单调递减； (3)解不等式. 35．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 六．二次函数的性质（共7小题） 36.（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 37.（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38.（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39.（23-24高一上·云南红河·阶段练习）已知二次函数. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间；并求时，的最大值与最小值． 40.（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围. 41.（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数， (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 42.（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值； (3)若满足，则称为函数的不动点． 若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 七．抽象函数的性质（共8小题） 43.（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（    ） A．3 B． C．1 D． 44.（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 45．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知定义域为的奇函数满足，，则（    ） A． B．5 C． D．2024 46.（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）（多选）已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B． C． D． 47．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 48．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）已知函数满足，有，，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．是增函数 49.（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． $$专题05 函数的性质（易错必刷49题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 函数单调性的证明 · 函数单调性的应用 · 函数奇偶性的证明 · 函数奇偶性的应用 · 二次函数的性质 · 抽象函数的性质 一．函数单调性的证明（共5小题） 1.（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）下列函数中是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A.函数在区间和单调递增，但不是增函数，故A错误； B.中，，所以是减函数，故B错误； C.，是减区间，是增区间，故C错误； D.，函数在区间和都是增区间，并且处连续，所以函数是增函数，故D正确. 故选：D 2.（23-24高一上·天津·期中）函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即，解得或， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 3.（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）函数的单调递增区间为 ． 【详解】因为函数， 当时，，可得函数在单调递增； 当时，，可得函数在单调递增， 综上可得，函数的递增区间为； 4.（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义内的奇函数，且. (1)确定函数的解析式； (2)用单调性的定义证明函数在内是减函数. 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）根据题意，可得，即，解得， ， 又，即，解得， ，经检验是奇函数符合题意. （2）设，且， 则 ， ， ，即，，， ，即， 所以函数在内是减函数. 5.（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 2． 函数单调性的应用（共8小题） 6.（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 7.（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 8.（23-24高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 9.（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故选：A 10.（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，对任意实数，都有成立， 所以函数在上为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 11.（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立， 所以函数在上单调递减， 又因为当时，， 作出的图象，如图所示： 由此可得函数在和上单调递减， 又因为当时，，且函数在上单调递减， 所以，解得． 故答案为：． 12.已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 由对任意的实数且，都有， 可得函数为定义域上的递减函数， 又由函数，则满足， 解得，即实数a的取值范围为. 故答案为：；. 13.（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，解得． 故答案为：. 三．函数的最值求法（共8小题） 14.（24-25高一上·北京·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【详解】由已知，它在上单调递增，在上单调递减， 时，，又时，，时，， 所以所求的值域为. 故答案为：． 15.（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）（多选），用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数有最大值，无最小值 C．不等式的解集是 D．若是方程的三个不同的实数解，则 【答案】AD 【详解】由，得或，由，得. 则. 对于A选项，，故A正确. 对于B选项，由可知无最小值，无最大值，故B错误； 对于C选项，当时，，可得，所以； 当时，由，可得，解得， .综上，不等式的解集是，故C错误； 对于D选项，当时，， 可得，解得； 当时，，可得，解得， 则，故D正确. 故选：AD. 16.（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）我们用符号表示三个数中较大的数，若，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】解：联立，解得， 联立，解得或， 联立，解得或， 作出函数的图象如图： 由图可知，则的最小值为.    故答案为：2. 17.（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 18．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 19.（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）已知函数，点，是图象上的两点. (1)求，的值； (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为点，是图象上的两点， 所以，解得. （2）设， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减. 故，. 20.（23-24高一上·江苏镇江·期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 21．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析 (2)， 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，，且，则 因为，所以，且， 即， 所以 故在区间上单调递增． （2）由（1）知在上递增， 所以，. 四．函数奇偶性的证明（共5小题） 22.（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）（多选）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是； 对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是； 对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是. 故选：BC 23．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 24.（23-24高一下·广东湛江·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. （2）任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数. （3）因为，且函数在区间上是增函数， 则，解得， 所以不等式的解集为. 25.（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 26．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 五．函数奇偶性的应用（共9小题） 27.（23-24高一下·河南新乡·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 28.（23-24高一上·天津·期末）已知函数是定义城为的奇函数，当时，，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是定义城为的奇函数， 故选：D 29.（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为为奇函数，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 故选：D. 30.（23-24高一下·全国·课后作业）若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．2 D．不确定 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以， 故选： B 31.（24-25高一上·福建三明·阶段练习）已知为R上奇函数，当时，，则（   ） A．8 B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】解：因为为R上奇函数， 所以， 又因为当时，， 所以. 故选：B. 32.（24-25高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】当时，可得， 因为函数是定义在上的偶函数，且时，， 可得， 即当时，. 故答案为：. 33.（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数，，则 . 【答案】 【详解】设，则，且为奇函数，即. 又； 所以， 所以. 故答案为： 34.（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)证明在区间上单调递减； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）∵是奇函数， ∴，则，经验证此时为奇函数. （2）∵，∴， 设，则， ， ∵，∴，，则， 则，则， 即在区间上单调递减. （3）， ∵在区间上单调递减， ∴不等式等价为， 即，解得或， 即不等式的解集为. 35．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）设，则，所以． 又为奇函数，所以， 于是时，，所以． （2）由（1）可画出的图象，知在上是增函数， 要使在上单调递增． 结的图象知，所以，故实数的取值范围是． 六．二次函数的性质（共7小题） 36.（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】开口向下，对称轴为， 要想在上单调递增，则， 解得， 由于是的真子集， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 37.（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 38.（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数， 则有，解可得， 则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数， 又，函数的对称轴为，且在上为减函数， 则有， 即. 故选：D. 39.（23-24高一上·云南红河·阶段练习）已知二次函数. (1)求的解析式； (2)写出的单调区间；并求时，的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)减区间是，增区间是，最大值，最小值 【详解】（1）因为，且， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知，对称轴为， 所以的减区间是，增区间是， 又，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，. 40.（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数开口向上，对称轴为， 若在上单调递减，则，即的取值范围为； （2）因为，， 当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递减，所以； 当时，； 所以； （3）当时，则， 因为当，时，恒有成立， 所以当，恒有成立， 令，，则， 当，即时，，解得，所以； 当，即时，，解得，所以； 综上可得. 41.（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数， (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数在上单调递增， ∴当，即时，满足函数在单增，所以； 当时，若在上单调递增，则需满足，解得， 综上：. ∴所求实数的取值范围为. （2）当时，由得，不符合题意； 当，为使得恒成立，则需满足， 即，解得； 综上：∴实数的取值范围为. （3）二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减， 此时． 综上，. 42.（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值； (3)若满足，则称为函数的不动点． 若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数的图象过点，所以， 又因为，所以，解得， 所以函数的解析式为 （2）由，， 当时，即， 函数在单调递减，所以； 当时，函数在单调递增，所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离大， 所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离比端点与对称轴的距离小， 所以； 当时，即，函数在单调递减，在单调递增， 根据二次函数性质可知端点与对称轴的距离和端点与对称轴的距离相等， 所以； 综上所述： （3）因为函数有两个不相等的不动点，，且，， 所以，即方程有两个不相等的正实根，， 所以，解得，所以， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以. 故的最小值为. 七．抽象函数的性质（共8小题） 43.（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知函数是偶函数，定义域为R，且满足，其中，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意知定为域为R的函数满足为偶函数， 即， 所以的图象关于直线对称， 又因为， 所以的图象关于点对称， 所以函数的一个周期为， 故， 因为，又， 则，又，即， 所以. 故选：A. 44.（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是偶函数，得的图象关于轴对称， 而函数的图象可由的图象向右平移个单位得到， 所以函数的图象的对称轴是. 故选：B 45．（23-24高二下·四川德阳·期末）已知定义域为的奇函数满足，，则（    ） A． B．5 C． D．2024 【答案】A 【详解】由得，， 又因为为上奇函数且，所以， 故选：A． 46.（23-24高二下·湖北宜昌·阶段练习）（多选）已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（    ） A．函数的图象关于对称 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A．为偶函数，， 即有，则的图象关于对称，A正确，符合题意； B．，令，可得， 又，，B正确，符合题意； C．，，， ①，②， 将①②式分别与联立，化简得： ，， ，， ，，即与的周期均为4， ，， ，， 又函数的图象关于对称， ，， ，C错误，不符合题意； D．又， ，， ，，， ，D正确，符合题意． 故选：ABD． 47．（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【详解】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 48．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）已知函数满足，有，，则下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．是增函数 【答案】AB 【详解】因为，有，， 令，可得，所以，故A正确； 令，可得，故B正确； 令，可得，即，所以为奇函数， 令，，可得，所以，故C错误； 因为，所以不是增函数，故D错误. 故选：AB 49.（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)，作图见解析 (3)或． 【详解】（1）令可得：，故， 令可得：，故． 又函数的定义域是，故函数为奇函数． （2）令，则，故 ， 又，所以，， 综上可知，． 故函数图像如下：    （3）由（2）可知，函数为上的增函数， 因为． 所以． 所以，解得或． $$