期中模拟押题密卷02【培优卷】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（广东专用）

期中模拟押题密卷02 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为 A． B． C． D． 2．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A． B． C． D． 3．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是 A．若为椭圆，则 B．若是双曲线，则其离心率有 C．若为双曲线，则或 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 10．已知圆和圆的交点为A，B，则（    ） A．两圆的圆心距 B．直线AB的方程为 C．圆上存在两点P和Q使得 D．圆上的点到直线AB的最大距离为 11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线过定点 . 13．直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 14．已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 16．平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由. 17．已知椭圆C的一个顶点为，两焦点坐标分别为，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线，与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，求k的取值范围. 18．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 19．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． (1)求双曲线的标准方程； (2)点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟押题密卷02 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由则因为由,根据空间向量的基本定理即可求得. 【详解】 ,. 故选:C. 【点睛】本题考查空间向量的基本定理,考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,难度较易. 2．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点关于直线对称可求得圆心的坐标，进而可得出圆的方程. 【详解】记点，设圆心的坐标为，则，可得， 线段的中点在直线上，则，即， 所以，，解得，即圆心， 因此，圆的方程为. 故选：A. 3．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，利用空间向量求异面直线夹角. 【详解】因为，，两两垂直， 以A为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系. 又因为，， 所以，，，， 因为是棱的中点，所以， 所以，， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：B. 4．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 5．M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弦长公式先求出，然后可知点N在以为圆心，1为半径的圆上，结合图形即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为. 如图，由弦长公式知，，解得， 所以，点N在以为圆心，1为半径的圆上， 由图可知，的最小值为. 故选：B 6．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解. 【详解】将代入得， 将代入得， 所以A，B不在直线l上， 又上， 所以点p在线段AB上， 直线AB的方程为：， 由，解得， 直线方程，即为， 设直线的倾斜角为， 则， 因为， 所以， 则， 所以， 即， 因为， 所以， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解. 7．已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与渐近线的距离得到圆心到直线的距离为，再根据圆与双曲线C的右支没有公共点，由求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为点是直线上任意一点， 又直线与直线的距离为： ， 即圆心到直线的距离为：, 因为圆与双曲线C的右支没有公共点， 所以，即，又, 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B 【点睛】本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线与直线的距离大于等于圆的半径. 8．如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设是底面正的中心，平面，，以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离用空间向量法求异面直线的距离． 【详解】如图，是底面正的中心，平面，平面，则， ，则，又，， ，直线交于点，， 以直线为轴，为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， ， 设与和都垂直， 则，取，则，， P，Q两点间距离的最小值即为异面直线与间的距离等于． 故选：D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若方程所表示的曲线为，则下面四个选项中错误的是 A．若为椭圆，则 B．若是双曲线，则其离心率有 C．若为双曲线，则或 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】AD 【解析】依次判断每个选项：时表示圆，错误；变形，讨论和得到答案；讨论和得到双曲线；时表示焦点在轴上的椭圆，错误；得到答案. 【详解】若，方程即为，它表示圆，A错； 对于选项B，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；， 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； ，，故正确； 对于选项C，若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线； 若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线，故正确； 对于选项D，若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，则，故表示焦点在轴上的椭圆，则错； 故选： 【点睛】本题考查了根据圆锥曲线的类型求参数，离心率的取值范围，意在考查学生的综合应用能力. 10．已知圆和圆的交点为A，B，则（    ） A．两圆的圆心距 B．直线AB的方程为 C．圆上存在两点P和Q使得 D．圆上的点到直线AB的最大距离为 【答案】BD 【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；将两圆方程作差即得公共弦AB的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项. 【详解】对于A，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以，，A不正确； 对于B，将两圆方程作差可得， 即得公共弦AB的方程为，故B正确； 对于C选项，圆心到直线的距离为，所以， 对于圆上的任意两点、，，C不正确； 对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D正确. 故选：BD. 11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可； 在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可； 在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可； 在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可. 【详解】在选项A中，∵，，， 且平面， ∴平面，平面， ∴， 同理，， ∵，且平面， ∴直线平面，故A正确； 在选项B中， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵点在线段上运动， ∴到平面的距离为定值，又的面积是定值， ∴三棱锥的体积为定值，故B正确； 在选项C中， ∵， ∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角. 易知为等边三角形， 当为的中点时，； 当与点或重合时，直线与直线的夹角为. 故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 在选项D中， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为1， 则，，，， 所以，. 由A选项正确：可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为：， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确. 故选：ABD 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线过定点 . 【答案】 【分析】首先整理可得，解方程组即可得解. 【详解】由可得： ， 所以， 解得，所以定点坐标为， 故答案为：. 13．直线与圆相交于两点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出直线经过的定点，再由弦长公式|可分析出当时，最小，从而可求得结果. 【详解】因为可化为， 令，解得：，所以直线恒过定点，该点在圆内， 因为，所以要求的最小值，即求圆心到直线的最大距离， 当时，最大，最小， 又因为圆：，所以圆心，, 则，此时：. 故答案为：. 14．已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为 . 【答案】 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，    则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则离心率有，而，解得， 所以椭圆离心率的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】 （1）由题意得到，利用两点距离公式即可得到M点的轨迹C的方程； （2）求出交点坐标，设出圆心坐标，根据点到直线的距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】（1）依题意，得，不妨设， 因为，， 所以，即， 整理得，配方得， 所以点的轨迹的方程为. （2）联立得，解得或， 设，，该圆的圆心为， 显然圆心位于线段的垂直平分线上，即轴上，则设， 则，解得或， 当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为， 当当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为. 故满足题意的圆的方程为或.    16．平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，直线方程为或. 【分析】（1）利用待定系数法即求； （2）利用直线与圆的位置关系可得，然后利用菱形的性质可得圆心到直线的距离，即得. 【详解】（1）曲线与轴的交点为，与轴的交点为，， 设圆的方程为， 则， 解得. ∴圆的方程为； （2）∵圆与直线交于，两点， 圆化为，圆心坐标为，半径为. ∴圆心到直线的距离，解得. 假设存在点，使得四边形为菱形，则与互相平分， ∴圆心到直线的距离， 即，解得，经验证满足条件. ∴存在点，使得四边形为菱形，此时的直线方程为或. 17．已知椭圆C的一个顶点为，两焦点坐标分别为，. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线，与椭圆C交于不同的两点M，N，满足，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和顶点坐标求解出的值，根据求解出的值，则的标准方程可求； （2）联立直线与椭圆方程得到对应坐标的韦达定理形式，根据得到斜率之间的关系，结合解不等式即可. 【详解】（1）因为焦点坐标为，所以， 又因为焦点在轴上且为顶点，所以， 所以，所以的标准方程为； （2）设，的中点为， 联立，得， 所以， 且，即， 又因为的中点坐标为，即为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 18．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论. 【详解】（1） 取中点，连接， 分别为的中点， ， 底面四边形是矩形，为棱的中点， ，． ，， 故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面． （2）假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高． 设，则，， ，所以. 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设， ． 设平面PMB的一个法向量为， 则 取． 易知平面的一个法向量为，， ， 故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意. 19．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，左顶点为，直线过左焦点，与双曲线的左，右两支依次交于，两点．当轴时，，． (1)求双曲线的标准方程； (2)点和点关于轴对称（两个点不重合），直线与轴交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴时，，，设，利用三角形面积公式求解； （2）设出直线，然后与双曲线的方程联立，再结合根与系数的关系，从而可求解. 【详解】（1）当轴时，不失一般性，不妨设 ， 由题得，则，则双曲线的方程为， 故双曲线的标准方程为：. （2）设直线，，，， 联立双曲线方程，得， 于是，得， 由于直线，令，则， 由于， 那么，于是 ， 令，则，那么， 从而. 故的取值范围为.    【点睛】关键点睛：（2）问中合理设出直线的方程并与双曲线联立，然后结合根与系数关系并利用换元法求出的取值范围. 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