期中重难点真题特训之易错必刷题型（68题17个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （浙教版)

期中重难点真题特训之易错必刷题型（68题17个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次函数 1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“（，a、b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）请写出一个图象经过点的二次函数的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此考查了二次函数的图象和性质，根据条件写出符合题意的解析式即可． 【详解】解：的顶点是，符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24九年级·上海·期中）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 易错必刷题二、二次函数的图象 1．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向下 B．当时，y随x增大而减小 C．函数最大值为 D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是熟练运用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数图象的增减性解题． 根据二次函数图象的性质对各项进行分析判断即可． 【详解】解：抛物线解析式可知， A、由于，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意； B、抛物线对称轴为直线，结合其开口方向向下，可知当时，y随x增大而减小，选项说法正确，不符合题意； C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为，选项不符合题意； D、抛物线顶点坐标为，选项说法不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）顶点为，开口方向和开口大小与相同的抛物线是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，把所求解析式设为顶点式，再根据二次函数解析式中的二次项系数决定开口方向和开口大小求出二次项系数即可得到答案． 【详解】解；设所求抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的开口方向和开口大小相同， ∴， ∴所求抛物线解析式为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知函数． (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)x在什么范围内，函数y随x的增大而增大？ 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住抛物线顶点式的特征． （1）根据二次函数的性质即可解决问题； （2），对称轴的左侧函数值y随x的增大而增大，写出相应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大． 4．（23-24九年级上·全国·期中）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 【答案】(1)顶点， (2)抛物线，上，y轴（或直线） (3)减小，增大 【分析】此题主要考查了二次函数的图象性质，掌握的性质是解题关键． （1）根据的图象得出顶点位置及坐标； （2）根据的图象得出其形状、开口方向及对称轴； （3）根据的图象得出其性质． 【详解】（1）图象与x轴的交点也是它的顶点，这个点的坐标是． 故答案为：顶点， （2）二次函数的图象是一条抛物线，它的开口向上，它的对称轴为y轴（或直线）． 故答案为：抛物线，上，y轴（或直线） （3）当时，随着x值的增大，y的值减小；当时，随着x值的增大，y的值增大． 故答案为：减小，增大 易错必刷题三、二次函数的性质 1．（24-25九年级上·广东汕头·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 最小值为，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而增大，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川德阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 3．（23-24九年级上·吉林·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 【答案】(1)，， (2)；或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系： （1）根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解； （2）根据抛物线与x轴交点位置，利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴， ， 综上可知，，，； （2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为，， 当时，抛物线在x轴上方，当或时，抛物线在x轴下方， 当时，；当或时，． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点 (1)求的值； (2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于点 ∴， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵,设关于对称的点为，连接， ∴，， ∴， ∴当三点共线时最小，最小值为， ∵， 设经过的直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，解得， 即． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，勾股定理，求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 易错必刷题四、二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.2 1.3 1.4 0.03 0.6 1.2 那么方程的一个近似根是（   ） A．1.4 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【答案】B 【分析】本题考查由二次函数性质估算一元二次方程的近似根，理解二次函数与的交点横坐标就是方程根，从而在交点左右两侧取得的自变量值代入函数求得异号，即可得到近似根的范围，结合选项即可得到答案，熟练掌握二次函数性质及一元二次方程近似值求法是解决问题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，； 当时，； 方程的一个近似根，则四个选项中满足条件， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的综合，根据二次函数经过，可得 时，，将一元二次方程变形得，则有，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，当二次函数 时，， 一元二次方程变形得，得， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为任何实数，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)若该函数的图象与x轴交于两个不同的整数点（点的横纵坐标都是整数），且m为正整数，试确定此函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． （1）先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，，再根据抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，于是得到，从而得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：令，则， 解得：，， ∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数， ∴， ∴抛物线对应的表达式为． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查二次函数和一次函数图象即性质， （1）根据二次函数和一次函数的解析式画图即可； （2）找出两个图象的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴二次函数的对称轴为：，顶点为， 当时，，， ∴二次函数过点，，， 一次函数过点，， ∴二次函数和一次函数的图象如下图所示， （2）解：的解为两个图像的交点，即，， ∴． 易错必刷题五、二次函数应用之销售问题 1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．1568元 B．1518 元 C．1368 元 D．50元 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的基本应用及二次函数的最值问题，熟练掌握基本知识是解题关键． 先根据二次函数解析式求出开口方向和对称轴，再通过的取值范围求出最大值即可． 【详解】解：∵一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足， 函数开口向下，对称轴为，当时，函数取到最大值为1568， 所以当时，函数取到的最大值为1568， ∴可获得的最大利润为1568元． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江西九江·期中）23-24年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售，设销售单价为元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元， 根据题意得， 则， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】(1)当天可获利1692元 (2) (3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【分析】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可知每天的销售量为36件，利润为47元，然后问题可求解； （2）由题意易得商场每天销售的件数为件，然后根据利润=单个利润×销售量可进行求解； （3）根据（2）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（元）； 答：当天可获利1692元． （2）解：由题意得： ， ∴盈利与的函数关系式； （3）解：由（2）即题意得： ， 解得：， ∵为了尽快减少库存， ∴， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 4．（23-24·九年级上湖北武汉·期中）近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)700元 (3)当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元 【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式，根据利润=房间数量每个房间的利润列出函数关系式即可求解； （2）把9600代入中，求解即可； （3）根据利润=房间个数每个房间的利润列出二次函数关系式，根据二次函数顶点式求出最大值即可； 本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，（，且x为整数） ． （2）由题意得， ∴， 解得，， ∵民宿尽最大可能让利游客，， ∴每个房间的定价为（元）． 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元． （3）， ∵， ∴当时，W有最大值为9800元，此时（元）． 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是9800元． 易错必刷题六、二次函数应用之几何图形问题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键． 【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为， 长方体的体积为， 根据题意得： ， 所以该纸筒的最大容积为， 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    【答案】 3 9 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案. 【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为． 故答案为：3，9 3．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1)1 (2)2或1.5 (3)点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理： （1）根据题意可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据四边形的面积为，进而求出四边形的面积最小值． 【详解】（1）解： 根据题意得：， ∵P、Q两点的距离为，且， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）；， 即当t为1时，P、Q两点的距离为； （2）解：根据题意得：， ∵的面积为 ∴， 解得：或1.5， 即当t为2或1.5时，的面积为； （3）解：根据题意得：， ∴的面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 即点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是． 易错必刷题七、二次函数应用之喷水、拱桥、投球问题 1．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断A；求出当时，y的值，再与进行比较即可判断B；求出当时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选D． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系如图②所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为，若米，米，米，则的长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题关键是利用待定系数法求出抛物线解析式． 本题根据最高点B点的坐标，设出抛物线的顶点式解析式后代入C点坐标，求出解析式，最后令即可求出． 【详解】解：设该抛物线的解析式为， ∵在该抛物线上， ∴ ∴， ∴， 当时，， ∴的长是． 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·河南安阳·期中）某初中生进行投篮，篮球从处腾空并飞向无篮网的篮筐，篮球（看成一点）的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米． (1)求抛物线解析式； (2)已知篮筐的中心坐标为，请判断本次进球是否为空心球； (3)求篮球的初始高度（的长）． 空心球 球在入筐时完全不与其他任何东西接触，包括篮板，被称为“最完美的进球方式”． 【答案】(1) (2)本次进球为空心球 (3) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用； （1）根据题意可得抛物线的顶点坐标是，进而根据顶点坐标公式求得，，即可求解； （2）将代入解析式，得出的值，与篮筐的中心坐标为比较，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米． ∴抛物线的顶点坐标是 ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为：； （2）当时，代入抛物线解析式为 ∵篮筐的中心坐标为， ∴本次进球为空心球； （3）当时，， ∴篮球的初始高度为． 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 易错必刷题八、简单事件的概率1 1．（23-24九年级上·全国·期中）盒子里有1个黄球、1个绿球、2个白球，除去颜色不同其他都相同，现在从里面一次取出两个球，则取出两个白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握树状图法或列表法是解题的关键．根据题意画树状图，列出所有等可能的情况数，再找出两次摸到白球的情况数，利用概率公式即可得出答案． 【详解】由题意，画树状图如下： 总共有12种情况，取出两个白球的情况有2种，所以两次摸到红球的概率． 故选C． 2．（24-25九年级上·重庆渝中·期中）如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有可能的结果是解题的关键． 利用列举法求概率即可． 【详解】解：由题意知，共有闭合，，，3种等可能的结果，其中闭合，时小灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． (1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． (2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【详解】（1）解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； （2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 4．（23-24九年级上·全国·期中）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 【答案】(1)这种说法不正确，理由见解析； (2)说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； (3)不对，理由见解析． 【分析】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； （3）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【详解】（1）解：小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； （3）解：小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，因为红球数、黄球数及白球数不相等时，他们的可能性就不一样． 易错必刷题九、简单事件的概率2 1．（23-24九年级上·全国·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据，并得出了四个结论，其中正确的是（   ） 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1800 摸到白球的频率mn 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.60 A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6 C．当试验次数 n 为2000时，摸到白球的次数m 一定等于 1200 D．这个盒子中的白球一定有28个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多次试验的频率估计概率，根据多次实验的频率估计概率可知频率稳定在0.6附近，所以概率等于0.6，再逐项判断即可． 【详解】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6． 因为不能确定试验1500次摸到白球的频率和试验800的频率大小，所以A不正确； 由多次试验可知从盒子中任意摸出一个小球为白球的频率接近0.6，可知概率约为0.6，所以B正确； 当试验次数为2000时，摸到白球的次数可能为1200，所以C不正确； 这个盒子中的白球有（个），所以D不正确． 故选 B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）从，，三个数中随机抽取一个数记为，不放回，再抽取一个数记为，则抽出的数是二次函数图象上的点的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及二次函数的性质，正确画出树状图是解题的关键．画树状图，得出所有等可能的结果，再判断哪些数是二次函数图象上的点，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图得： 共有种等可能情况， 其中只有在函数的图象上， 故抽出的数是二次函数图象上的点的概率为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·期中）（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查几何中概率的求法，熟练掌握“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． （1）先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为出乒乓球停留在黑色方砖上的概率； （2）乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为，则只需黑色块即可． 【详解】解：（1）由图可知共有方砖块，黑色方砖为块， 则乒乓球停留在黑色方砖上的概率是； （2）因为乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为， 所以黑色地砖共有（块）， 画图如下（不唯一）： 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到转出的两个数字之积为奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； （2）同（1）求出王老师获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中转出的两个数字之积为奇数的结果数有4种， ∴余老师获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平，理由如下： 由（1）可知，转出的两个数字之积为偶数的结果数有8种， ∴王老师获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对余老师、王老师双方不公平． 易错必刷题十、圆 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是 ． 【答案】点P在上 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知若点与圆心的距离，则点在圆内；若，则点在圆上；若，则点在圆外是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：点P在上， 故答案为：点P在上． 3．（23-24九年级上·广西防城港·期中）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了确定圆心，求圆的周长； （1）先确定圆心，在小圆上任意取三点，作出两条线段，作这两条线段的垂直平分线，交于同一点即为圆环的圆心，进而画出车轮的圆环图； （2）根据圆环外径（外圆的直径）是，根据圆的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图为所求作的图形． （2）圆的周长， ∴车轮滚动一圈直走的路程是． 4．（23-24九年级上·全国·期中）如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；    （2）连接,交于, ∵ ， ， 在 中, ， 设的半径为， 在 中, ， 即， ， 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用． 易错必刷题十一、图形的旋转 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转图形的性质，旋转中心在旋转前后对应顶点连线的垂直平分线上，由此即可求解． 【详解】解：连接，，利用格点作线段，的垂直平分线，如图， 交点N即为旋转中心， 故选C． 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 【答案】(1)旋转 (2)相等，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的定义得出结果； （2）利用旋转的性质得到． 【详解】（1）解：因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 故答案为旋转． （2）． 理由： 因为△ABE绕点按逆时针方向旋转后得到△ADF， 根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小， 所以． 【点睛】本题考查旋转的定义以及性质，掌握旋转前后的对应关系是解决问题的关键． 4．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题十二、垂径定理 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）绍兴市是著名的桥乡，如图，有一座圆弧形石拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理解题的关键．连接，由垂径定理求出，设桥拱半径为r，根据勾股定理即可求出r， 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设桥拱半径为r，则， 在中，， 即， 解得：， 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·期中）如图，是的两条弦，，且，则的半径等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要查了垂径定理．作于点M、N．连接，则四边形是矩形，利用垂径定理求得和的长，然后在直角中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点M、N．连接．则，四边形是矩形． ∴， 在直角中，． 故答案为：5． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接，设，然后根据勾股定理可建立方程求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． 易错必刷题十三、圆心角 1．（23-24九年级上·山东东营·期中）下列语句中不正确的有（　　）   ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据圆的性质依次进行判断即可得． 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线（或直径所在的直线）都是圆的对称轴；④在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧； 综上，①②④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握圆的性质． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴是等边三角形， ∴ ∴弦所对优弧的度数为，所对劣弧的度数为， 故答案为：或 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系．利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即． ∴． 4．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 易错必刷题十四、圆周角 1．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，O点是外心，，D是的中点． （1）连接，则 ； （2）若，是边上的高，则的大小为 ． 【答案】 /30度 /23度 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，三角形的外心的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键． （1）连接，利用三角形的外心的性质和圆周角定理求得的度数，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质和三角形的外心的性质求得的度数，利用等腰三角形的性质求得的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的高线的性质和三角形的你还记得了解答即可得出结论． 【详解】解：（1）连接，如图， ∵O点是外心， ∴， ∴ 故答案为：； （2）∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵O点是外心， ∴， ∴， ∴． ∵是边上的高， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查同圆中，等弧对等角，圆周角定理，平行线的判定． 由得到，由圆周角定理得到，从而，根据平行线的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点E为的中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题十五、圆内接四边形 1．（23-24九年级上·重庆荣昌·期中）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，为的劣弧上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，能正确作辅助线是解此题的关键．作圆周角，根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形性质求出即可． 【详解】解：如图作圆周角，使在优弧上， ， ， 、、、四点共圆， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，四边形内接于与的延长线交于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的性质，等角对等边；根据圆内接四边形可得，进而可得根据可得，则，根据等角对等边，即可得证． 【详解】证明：∵是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴． ， ， ， ， 4．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【详解】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 易错必刷题十六、正多边形 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到边数． 【详解】解：由题意可得：边数为， 则． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·期中）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】边心距，边长为，周长是，面积是． 【分析】连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距， 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是； 的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别过、作直径和，连接，由得； （2）连接，，，交于点，作射线交圆于点，因为是正五边形内接于圆，，则，垂直平分，因为，所以垂直平分，得，从而得为直径． 本题主要考查了作图复杂作图，垂直平分线的性质与判定，垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆，熟练掌握无刻度直尺作图，垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：与长度相等的弦如图所示： （2）解：直径如图所示： 易错必刷题十七、弧长及扇形面积 1．（23-24九年级上·全国·期中）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用，进行求解即可． 【详解】解∶ ∵半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ， 故答案为： ． 3．（23-24九年级上·全国·期中）如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是，所有标注B的图形面积都是． (1)求标注C的图形面积； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的面积及不规则图形面积的求法． （1）根据半圆的面积公式即可求得其面积； （2）观察图形可知，，从而求出、． 【详解】（1）解：由题意得到圆的半径为， 则； （2）解：， ， ， ， ， 即． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型． （1）利用弧长公式求解即可， （2）求出两个扇形面积的差即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ， ， 贴纸部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之易错必刷题型（68题17个考点） 【精选最新考试题型专训】 易错必刷题一、二次函数 1．（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如果函数是二次函数，那么k等于（    ） A．3 B．0 C．－2 D．－1 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）请写出一个图象经过点的二次函数的表达式： ． 3．（23-24九年级·上海·期中）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 易错必刷题二、二次函数的图象 1．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向下 B．当时，y随x增大而减小 C．函数最大值为 D．顶点坐标为 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）顶点为，开口方向和开口大小与相同的抛物线是 ． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知函数． (1)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)x在什么范围内，函数y随x的增大而增大？ 4．（23-24九年级上·全国·期中）观察二次函数的图象，并填空． (1)图象与x轴的交点也是它的________，这个点的坐标是________； (2)二次函数的图象是一条________，它的开口向________，它的对称轴为________； (3)当时，随着x值的增大，y的值________；当时，随着x值的增大，y的值________． 易错必刷题三、二次函数的性质 1．（24-25九年级上·广东汕头·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为 D．当时，y随x增大而增大 2．（23-24九年级上·四川德阳·期中）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 3．（23-24九年级上·吉林·期中）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 4．（23-24九年级上·新疆吐鲁番·期中）如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点 (1)求的值； (2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 易错必刷题四、二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级上·广东汕头·期中）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.2 1.3 1.4 0.03 0.6 1.2 那么方程的一个近似根是（   ） A．1.4 B．1.1 C．1.2 D．1.3 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线经过点，两点，则关于的一元二次方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为任何实数，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)若该函数的图象与x轴交于两个不同的整数点（点的横纵坐标都是整数），且m为正整数，试确定此函数的表达式． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系． (1)在坐标系中画出抛物线与直线． (2)根据（1）中所作图象，直接写出方程的根． 易错必刷题五、二次函数应用之销售问题 1．（24-25九年级上·广东珠海·期中）某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”玩具，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得的最大利润是（    ） A．1568元 B．1518 元 C．1368 元 D．50元 2．（23-24九年级上·江西九江·期中）23-24年杭州亚运会举办期间，亚运会吉祥物深受广大人民的喜爱．某特许零售店某款亚运会吉祥物的销售日益火爆，每个吉祥物进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每降低1元，每天的销量增加20个．现商家决定降价销售，设销售单价为元，商家每天销售吉祥物获得的利润为w元，则w关于x的函数关系式为 ． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 4．（23-24·九年级上湖北武汉·期中）近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 易错必刷题六、二次函数应用之几何图形问题 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．    3．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？ 易错必刷题七、二次函数应用之喷水、拱桥、投球问题 1．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，排球运动员站在点O处练习发球，球从点O正上方2m的A处发出，其运行的高度y（m）与水平距离x（m）满足关系式．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（    ） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网且不会出界 D．球会过球网且会出界 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图①是我市某广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系如图②所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为，若米，米，米，则的长是 米． 3．（24-25九年级上·河南安阳·期中）某初中生进行投篮，篮球从处腾空并飞向无篮网的篮筐，篮球（看成一点）的运动轨迹是抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，篮球在起始点水平距离米时腾空高度最大，为米． (1)求抛物线解析式； (2)已知篮筐的中心坐标为，请判断本次进球是否为空心球； (3)求篮球的初始高度（的长）． 空心球 球在入筐时完全不与其他任何东西接触，包括篮板，被称为“最完美的进球方式”． 4．（23-24九年级上·广东广州·期中）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 易错必刷题八、简单事件的概率1 1．（23-24九年级上·全国·期中）盒子里有1个黄球、1个绿球、2个白球，除去颜色不同其他都相同，现在从里面一次取出两个球，则取出两个白球的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆渝中·期中）如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． (1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． (2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 4．（23-24九年级上·全国·期中）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 易错必刷题九、简单事件的概率2 1．（23-24九年级上·全国·期中）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据，并得出了四个结论，其中正确的是（   ） 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1800 摸到白球的频率mn 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.60 A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6 C．当试验次数 n 为2000时，摸到白球的次数m 一定等于 1200 D．这个盒子中的白球一定有28个 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）从，，三个数中随机抽取一个数记为，不放回，再抽取一个数记为，则抽出的数是二次函数图象上的点的概率为 ． 3．（23-24九年级上·全国·期中）（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘、分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．      (1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率； (2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由． 易错必刷题十、圆 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是 ． 3．（23-24九年级上·广西防城港·期中）如图是一位考古学家发现的一块古代车轮的碎片． (1)请你帮他找出这个车轮所在圆环的圆心并还原画出这个车轮的圆环图（尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）． (2)在（1）的条件下，若测量出车轮所在的圆环外径（外圆的直径）是，求车轮滚动一圈直走的路程（结果保留）． 4．（23-24九年级上·全国·期中）如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．    (1)用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R． 易错必刷题十一、图形的旋转 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在小正方形网格中，将绕某一点旋转变换得到，则旋转中心为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图①，把沿直线平移线段的长度，得到；如图②，以为轴，把沿翻折，可以得到；如图③，以点为中心，把旋转，可以得到．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平移、翻折、旋转等方法得到的，这种只改变位置，不改变形状、大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题： (1)在图④中，可以使通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法得到? (2)图中线段与相等吗?为什么? 4．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 易错必刷题十二、垂径定理 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）绍兴市是著名的桥乡，如图，有一座圆弧形石拱桥，桥顶到水面的距离为，它的跨度也为，则桥拱半径为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·期中）如图，是的两条弦，，且，则的半径等于 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 4．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为，拱高（弧的中点到弦的距离）．求这座石拱桥主桥拱的半径． 易错必刷题十三、圆心角 1．（23-24九年级上·山东东营·期中）下列语句中不正确的有（　　）   ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在半径为1的⊙O中，弦的长为1，则弦所对弧的度数 ． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 4．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 易错必刷题十四、圆周角 1．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，O点是外心，，D是的中点． （1）连接，则 ； （2）若，是边上的高，则的大小为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，求证：． 4．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 易错必刷题十五、圆内接四边形 1．（23-24九年级上·重庆荣昌·期中）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，为的劣弧上一点，若，则 ． 3．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，四边形内接于与的延长线交于．求证：． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      易错必刷题十六、正多边形 1．（24-25九年级上·全国·期中）如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 2．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如果正多边形的边数是（），它的中心角是，那么关于的函数解析式及其定义域为 ． 3．（23-24九年级上·全国·期中）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 易错必刷题十七、弧长及扇形面积 1．（23-24九年级上·全国·期中）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 3．（23-24九年级上·全国·期中）如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是，所有标注B的图形面积都是． (1)求标注C的图形面积； (2)求． 4．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$