期中重难点真题特训之压轴满分题型（56题14个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （浙教版)

期中重难点真题特训之压轴满分题型（56题14个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、二次函数 1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 4．（23-24九年级上·山东日照·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 压轴必刷题二、二次函数的图象 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为 ． 3．（24-25九年级上·河南三门峡·期中）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． (1)请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 …    (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是_______； ②该图象的顶点坐标为_______，该函数有最_______值（填大、小）； ③当x_______时，y随x的增大而减小． 压轴必刷题三、二次函数的性质 1．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，点，是抛物线：上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线，点，的对应点分别为点，，则曲线段扫过的阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的对称轴为直线，如果点与点关于直线对称，那么点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 4．（23-24·九年级上·四川广元·期中）如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点C的坐标为，直线经过、两点． (1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 压轴必刷题四、二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 3．（23-24九年级上·四川广安·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象顶点为，与轴的一个交点，则： (1)方程的根是 ______________； (2)不等式的解集是___________； (3)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“明盟函数”，交点称为“明盟点”，两交点间的距离称为“明盟距” (1)判断下列函数是“明盟函数”吗？如果是，请在括号里打“√”，并计算“明盟距”填在横线上，如果不是“明盟函数”则在括号里打“×”； ①（    ），______；                ②（    ），______； (2)求出“明盟函数”的“明盟距”； (3)①已知“明盟函数”G：左侧的“明盟点”位于和之间（含A、B两点），求a的取值范围； ②不论m取何值，不等式恒成立，在①的条件下，函数（b为常数）的最小值为，求b的值． 压轴必刷题五、二次函数应用之销售问题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知某商品的进价为100元/件，销售数量(单位：件)与销售单价(单位：元)之间满足一次函数关系，设该商品的利润为元． (1)求利润关于销售单价的函数解析式． (2)问当销售单价为多少时，利润最大？最大为多少？ 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 压轴必刷题六、二次函数应用之几何图形问题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，篱笆总长为，现利用一面墙（）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长为，面积为． (1)求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？求出最大面积． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，    (1)___________，___________，___________； (2)为何值时的面积为？ (3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）随着城市化建筑不断发展，建筑外立面的装饰变得越来越多样化，为建筑外观增添美感和艺术感，使得建筑在夜晚变得更加宏伟壮观．设计师想在图纸上画出某楼盘外立面样图，设计了一个抛物线型的装饰灯，该装饰灯的跨度，如图，他以A为坐标原点，边所在的直线为x轴，过A点作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，已知抛物线最高点C到的距离为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)设计师计划在抛物线型上搭出一个菱形灯带，要求D、F两点在抛物线上（D在F的左侧）．点E在抛物线的对称轴上，同时满足，设计师的计划能否实现？若能，请你帮助设计师在地物线上找出点D的位置（即求出点D的坐标）．若不能，请说明理由． 压轴必刷题七、二次函数应用之喷水、拱桥、投球问题 1．（23-24·九年级上·安徽六安·期中）如图，某跳水运动员在跳台上进行跳水训练，在跳某个规定动作时，根据已建的平面直角坐标系，运动员在空中最高处的坐标为，点A的横坐标为，最后到入水点D． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)正常情况下，运动员在距水面高度之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距的水平距离为，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 2．（23-24·九年级上·江西南昌·期中）弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为的点处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面时，弹球与甲的水平距离为．弹球在处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点处． (1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出的取值范围） (2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点的距离． (3)如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，那么甲能投球成功吗？ 3．（23-24·九年级上·贵州毕节·期中）如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，． (1)建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长； (3)根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值． 4．（23-24·九年级上·贵州毕节·期中）毕节市某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面的点A处和的点B处各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，把水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大竖直高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； (2)待A处火熄灭后，消防员前进到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流能否到达点B处，并说明理由； (3)如图2，若消防员从点C前进到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 压轴必刷题八、二次函数综合压轴题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，点在轴下方且在抛物线上，当的面积为8时，求点的坐标． 2．（23-24·九年级上·江苏盐城·期中）新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 3．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C． (1)如图1，当时，直接写出A、B、C三点坐标； (2)在（1）的条件下，连接．若D是抛物线上第四象限上一点，且，求点D的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接，分别交y轴于P、Q两点，求的值． 压轴必刷题九、圆 1．（23-24·九年级上·山西太原·期中）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，半径交于点D，若，，求的半径． 4．（23-24·九年级上·吉林长春·期中）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：在线段上截取，连接、． 1°当点P在直线外时， 证明过程缺失 2°当点P在直线上时， 易知． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　． 【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　． 压轴必刷题十、图形的旋转 1．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，把一段抛物线记为抛物线，它与轴交于点、两点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（    ） A．16 B．18 C． D． 2．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第18段抛物线上，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称的； (2)请画出绕C点顺时针旋转的； (3)可以通过旋转得到，写出旋转中心坐标__________． 4．（23-24·九年级上·山东济南·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______． 压轴必刷题十一、垂径定理 1．（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 4．（23-24·九年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________； 【问题解决】 （2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离； 【问题探究】 （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 压轴必刷题十二、圆内接四边形 1．（23-24·九年级上·河南商丘·期中）如图，四边形内接于，且点是优弧的中点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 3．（23-24九年级上·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点，． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，对角线，交于点，，若，，求的半径． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 压轴必刷题十三、正多边形 1．（23-24九年级上·贵州黔西·期中）如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西钦州·期中）如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是______．    3．（23-24·九年级上·河北邯郸·期中）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 4．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4 （1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由． （2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标； （3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程． 压轴必刷题十四、弧长及扇形面积 1．（23-24·九年级上·湖南长沙·期中）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 4．（23-24·九年级上·贵州黔东南·期中）如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中重难点真题特训之压轴满分题型（56题14个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、二次函数 1．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，5个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，依据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是 ，它是 函数． 【答案】 二次 【分析】本题主要考查函数的概念、图形的变化类规律等知识点，由题目图形的变化、发现规律是解题的关键． 先根据题目图形的变化发现规律，然后根据规律确定函数解析式，再判定函数类型即可． 【详解】解：由图可知，从第（2）个图形开始，每个图形除去中间的点，每条分支上的点数比分支数少1，那么第（n）个图形有n条分支，每条分支的点数是，因此，它是二次函数． 故答案为：，二次． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 4．（23-24九年级上·山东日照·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)，是原方程的两根，且，求m的值． (3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的值为1 (3)该函数图像始终过定点 【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键． （1）用根的判别式即可解答． （2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可； （3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：，是原方程的两根， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 的值为1； （3）解：． 因为该函数的图像都会经过一个定点， 所以， 解得， 当时，， 所以该函数图像始终过定点． 压轴必刷题二、二次函数的图象 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出出时的函数值，再比较三个函数值的大小即可得到答案，掌握“二次函数图象上点的坐标满足其解析式”是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线与直线相交于两点，横坐标分别为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，根据图象可得当时，，据此即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·河南三门峡·期中）如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． (1)求a的值和点B的坐标； (2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等： （1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标； （2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵轴，且点B在抛物线上， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵的面积为2，轴， ∴， ∴， ∴或， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或或或． 4．（24-25九年级上·广西南宁·期中）小强同学想画出二次函数的图象，并根据图象研究它的性质． (1)请你帮小强先将该二次函数化成形式（在下面空白处写出过程），并完成下表，然后在平面直角坐标系中画出它的图象． x … 0 1 … y … 0 0 …    (2)根据图象回答问题： ①该图象是一条抛物线，它的对称轴是_______； ②该图象的顶点坐标为_______，该函数有最_______值（填大、小）； ③当x_______时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)见解析 (2)①直线；②，大；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象的性质． （1）先把二次函数化为顶点式，然后分别求出当时，，当时，，最后画出函数图象即可； （2）①利用二次函数的性质求解即可； ②利用二次函数的性质求解即可； ③利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，，解得或（舍去）， 填表如下： x … 0 1 … y … 0 2 0 … 画出函数图象如下所示：    （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴它的对称轴是直线， 故答案为：直线； ②∵二次函数解析式为，， 该图象的顶点坐标为，该函数有最大值， 故答案为：，大； ③ 根据图象可知当，y随x的增大而减小． 故答案为：． 压轴必刷题三、二次函数的性质 1．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，点，是抛物线：上的两点，将该抛物线向左平移，得到抛物线，点，的对应点分别为点，，则曲线段扫过的阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点、的坐标求得该平行四边形的一高为3，结合平移后的抛物线解析式求得平移距离是3，即底边长为3，结合平移规律解答． 【详解】解：∵将抛物线向左平移，得到抛物线， ∴平移的距离是， ∴， ∵点，是抛物线：上的两点， ∴点到的距离为， ∴曲线段扫过的阴影部分面积为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线的对称轴为直线，如果点与点关于直线对称，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，首先确定该二次函数的对称轴，然后根据关于对称轴对称的两点到对称轴的距离相等即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为：， 直线为：， 点与点关于直线对称， 设， ， 解得：， ， 故答案为: ． 3．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 4．（23-24·九年级上·四川广元·期中）如图1，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点C的坐标为，直线经过、两点． (1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)点横坐标为或或或 (3) 【分析】（1）直接将，两点代入求得、的值即可解答； （2）先运用待定系数法求得直线的解析式，然后设，则可得，的坐标，再利用可得方程，解方程即可； （3））根据得到点坐标，作点关于的对称点，连接与交于点，则的最小值为，联立直线和直线的解析式可求点，进而求出． 【详解】（1）解：将，两点代入， 得：， 解得：， ， ， 该函数图象顶点坐标为； （2）解：设直线的解析式为，将，两点代入， 得：， 解得：， ， 设，则，， ，， ， ， 解得：或或或， 点横坐标为或或或； （3）过点作， ，点与点关于轴对称， ， 令，则， 解得：或， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 作点关于的对称点，连接与交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，解绝对值方程，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 压轴必刷题四、二次函数与一元二次方程 1．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图像经过，如果实数表示的值，实数表示的值，那么的大小关系为（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与坐标轴交点问题，熟练掌握相关知识是解题关键．根据该函数图像与轴交于正半轴，可得；根据该函数图像经过，可得，，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，该函数图像与轴交于正半轴， ∴， ∵该函数图像经过， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，小明利用计算器列出了下表： 那么方程的一个近似根是 【答案】 【分析】根据时，随的增大而减小，可得答案． 【详解】解：由的增减性，得 时，随的增大而减小． 当时，， 当时，， 的一个近似根， 由于的绝对值比更接近0，所以的一个近似根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 3．（23-24九年级上·四川广安·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象顶点为，与轴的一个交点，则： (1)方程的根是 ______________； (2)不等式的解集是___________； (3)若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象可得，二次函数的对称轴为直线，求出二次函数与轴的另一个交点为，即可得解； （2）根据二次函数的图象即可得解； （3）根据二次函数的图象即可得解． 【详解】（1）解：由函数图象可得，二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点， ∴二次函数与轴的另一个交点为，即， ∴方程的根是或； （2）解：由图象可得，不等式的解集是或； （3）解：∵图象顶点为，二次函数的图象开口向上， ∴若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是． 4．（23-24九年级上·湖南长沙·期中）我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“明盟函数”，交点称为“明盟点”，两交点间的距离称为“明盟距” (1)判断下列函数是“明盟函数”吗？如果是，请在括号里打“√”，并计算“明盟距”填在横线上，如果不是“明盟函数”则在括号里打“×”； ①（    ），______；                ②（    ），______； (2)求出“明盟函数”的“明盟距”； (3)①已知“明盟函数”G：左侧的“明盟点”位于和之间（含A、B两点），求a的取值范围； ②不论m取何值，不等式恒成立，在①的条件下，函数（b为常数）的最小值为，求b的值． 【答案】(1)①×，②√，4 (2)4 (3)①，②或 【分析】（1）根据反比例函数的性质即可判断①，求出二次函数的的值，即可判断②； （2）根据求根公式求出方程的两个根，即可得出函数与x轴的两个交点坐标，即可求解； （3）由（2）可得函数与x轴的交点坐标，根据左侧点的位置可得求解；②根据不等式恒成立可得，即可求出b的取值范围，将看作y关于a的函数，并化为顶点式，分两种情况，结合函数的对称轴和增减性即可进行解答． 【详解】（1）解：①反比例函数与x轴没有交点，故不是“明盟函数”， 故答案为：×． ②， ∴是“明盟函数”， 当时，，解得：， ∴与x轴的交点坐标为：， ∴“明盟距”为：， 故答案为：√，4． （2）∵是“明盟函数”， ∴方程有两个不相等的实数根，即 ∵， ∴，， ∴该函数与x轴的交点坐标为：，， ∴“明盟距”为：， （3）①由（2）可知：函数与x轴的两个交点坐标为：，， ∴左侧的“明盟点”坐标为：， ∵左侧的“明盟点”位于和之间， ∴，解得：； ②令 ∵不论m取何值，不等式恒成立， ∴该函数开口向上，， ， 解得：， ∵函数， ∴该函数开口向上， 当时， 此时时，函数有最小值， ∵函数最小值为， ∴，解得：， 当时， ∵该函数的对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵，， ∴， ∴当时，函数取最小值， ∴最小值为，解得：或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，根据二次函数的对称轴分析增减性和最值． 压轴必刷题五、二次函数应用之销售问题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知某商品的进价为100元/件，销售数量(单位：件)与销售单价(单位：元)之间满足一次函数关系，设该商品的利润为元． (1)求利润关于销售单价的函数解析式． (2)问当销售单价为多少时，利润最大？最大为多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为150元时，利润最大，最大为2500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据总利润单件利润销售数量即可得出利润关于销售单价的函数解析式； （2）将二次函数化为顶点式，结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得； （2）解：， 当销售单价为150元时，利润最大，最大为2500元． 2．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 【答案】(1) (2)12 (3)在21个月的时候，月利润最大，为529万元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得所对应的的取值是解题的关键． （1）设时，，将、代入求解可得； （2）将将分别代入，进行求解即可； 分、和三种情况，根据月毛利润月销量每吨的毛利润可得函数解析式，当时，的值始终是240当时，，当时，当时，当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 将代入，得： ，得：， ； 当时，， 将、代入，得： ，得：， ； ； （2）将代入得：，解得：， 将代入得：，解得：， 预测月销量不低于15吨有（个月）， 故答案为：12； （3）设月利润为万元， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的值始终是240， 当时，， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为448， 当时，， 当时，取得最大值529， 综上，在21个月的时候，毛利润最大，为529万元． 压轴必刷题六、二次函数应用之几何图形问题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，篱笆总长为，现利用一面墙（）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长为，面积为． (1)求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2)当时，围成的花圃面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为，结合矩形面积公式即可获得与的函数关系式；根据题意，墙的最大可用长度为，即可求得值的取值范围； （2）由函数解析式，可知该函数图像开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，然后结合值的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为， 可得， ∵， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）∵， ∵ ∴该函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴当时，即时，围成的花圃面积最大， 最大面积为． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A，两点同时出发，设运动时间为，    (1)___________，___________，___________； (2)为何值时的面积为？ (3)为何值时的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，， (2)当秒或4秒时，的面积是； (3)当为3时的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）由题意可直接利用t表示出，和； （2）由三角形的面积公式可求出，结合题意即得出关于t的方程，解出t即可； （3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）根据题意得：，， ∴， 故答案为：，，； （2）， 解得：或4， ∵，， ∴， ∴或4都符合题意， ∴即当秒或4秒时，的面积是； （3）由（2）可知， ∵，， ∴当为3时的面积最大，最大面积是． 3．（23-24九年级上·重庆江津·期中）如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积为4时x的值． 【答案】(1)或 (2)图见详解，函数值的最大值为 (3)或 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （3）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，点在点左侧，点在上，则， 即 当时，点到达点，点到达点，此时 当时，点在点的右侧，点在上，， 则，， ， 即 综上所述：当时， 当时， （2）如图，函数的性质：函数值的最大值为 （3）如图可知，当或时，的面积为． 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）随着城市化建筑不断发展，建筑外立面的装饰变得越来越多样化，为建筑外观增添美感和艺术感，使得建筑在夜晚变得更加宏伟壮观．设计师想在图纸上画出某楼盘外立面样图，设计了一个抛物线型的装饰灯，该装饰灯的跨度，如图，他以A为坐标原点，边所在的直线为x轴，过A点作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，已知抛物线最高点C到的距离为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)设计师计划在抛物线型上搭出一个菱形灯带，要求D、F两点在抛物线上（D在F的左侧）．点E在抛物线的对称轴上，同时满足，设计师的计划能否实现？若能，请你帮助设计师在地物线上找出点D的位置（即求出点D的坐标）．若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能够实现，点D的坐标为： 【分析】（1）设顶点式抛物线解析式，求解即可； （2）设点的坐标为．确定点的坐标为，结合已知建立一元二次方程，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，菱形的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，菱形性质是解题的关键． 【详解】（1）解：长为，抛物线最高点到的距离为， ∴点的坐标为．                     根据抛物线的对称性可知：顶点的坐标为， 设这个抛物线的函数表达式为：，                     将点代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：能够实现，点的坐标为：．理由如下： ∵点在抛物线上， ∴可设点的坐标为．                     设交于点，如图： ∵四边形为菱形， ．                 为抛物线的对称轴，点的坐标为， ∴点的坐标为， ．                     ， ， ，                         整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为．                     压轴必刷题七、二次函数应用之喷水、拱桥、投球问题 1．（23-24·九年级上·安徽六安·期中）如图，某跳水运动员在跳台上进行跳水训练，在跳某个规定动作时，根据已建的平面直角坐标系，运动员在空中最高处的坐标为，点A的横坐标为，最后到入水点D． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）； (2)正常情况下，运动员在距水面高度之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距的水平距离为，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)该运动员此次跳水不会失误，理由见解析． 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）求出运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为．当时，．则，据此即可判断该运动员此次跳水不会失误． 【详解】（1）解：∵运动员在空中最高处的坐标为， ∴设该抛物线的表达式为． ∵该抛物线经过点， ∴，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）该运动员此次跳水不会失误．理由如下： ∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距的水平距离为，点A的坐标为， ∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为． 当时，． ∵， ∴该运动员此次跳水不会失误． 2．（23-24·九年级上·江西南昌·期中）弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为的点处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面时，弹球与甲的水平距离为．弹球在处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点处． (1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出的取值范围） (2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点的距离． (3)如果摆放一个底面半径为，高的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点，那么甲能投球成功吗？ 【答案】(1) (2) (3)不能 【分析】（）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解； （）利用第一次着地前抛物线的解析式求出点坐标，再用同（）法求得第二段抛物线的解析式，求出它的对称轴，利用对称性求出点的坐标，进而即可求解； （）把代入第二段抛物线的解析式求出的值即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为， 故可设抛物线的解析式为， 将代入得，， ∴弹球第一次着地前抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 由从点弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为，故可设该抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得(不合，舍去)，， ∴，且对称轴为直线， ∴，即， ∴弹球第二次着地点到点的距离为； （3）解：当时，， ∴甲不能投球成功． 3．（23-24·九年级上·贵州毕节·期中）如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与横梁相互垂直，且，． (1)建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且，求的长； (3)根据（1）中求解得到的函数表达式，若当时，函数的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或2． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数的最值，矩形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）由，，得到，，，设抛物线的函数表达式为，把代入得，于是得到抛物线的函数表达式为； （2）设，，得到，把代入求得； （3），对称轴为直线，当时，随着的增大而增大，当，当时，随着的增大而减小，当，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ，，， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：四边形是矩形， ， ， 设，， ， 把代入得， 解得（负值舍去）， ； （3）解：，对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大， 当， 当时，随着的增大而增大， 函数的最大值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ； 当时，随着的增大而减小， 当， 当时，随着的增大而减小， 函数的最小值，函数最小值， 函数的最大值与最小值的差为1， ， ， 综上所述，的值为或2． 4．（23-24·九年级上·贵州毕节·期中）毕节市某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面的点A处和的点B处各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，把水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大竖直高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； (2)待A处火熄灭后，消防员前进到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流能否到达点B处，并说明理由； (3)如图2，若消防员从点C前进到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1) (2)水流能到达点B处，见解析 (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ，解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为 ； （2）解：水流能到达点B处． 理由：依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是由第一次的抛物线向左平移2个单位长度得到， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为 ， 令，则， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线过点， ∴水流能到达点B处； （3）解：依题意，消防员从点C前进到点T处，消防员到点T处时水流所在抛物线是由第一次的抛物线向左平移t个单位长度得到， ∴抛物线的函数表达式为． ∵水流未达到最高点且恰好到达点A处， ∴过点，且对称轴， ∴． 将点代入，得， 解得或（含去）， ∴． 压轴必刷题八、二次函数综合压轴题 1．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，点在轴下方且在抛物线上，当的面积为8时，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先求出点的坐标，得到，再根据三角形面积计算公式得到，求出点横坐标即可得到答案． 【详解】解：当时，即， 解得或， ， 的面积为8， ， ， ， 点在轴下方且在抛物线上， 当时，解得， 故点的坐标为． 2．（23-24·九年级上·江苏盐城·期中）新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】为定值． 【分析】本题考查二次函数的性质和新定义，关键是对新定义的理解和运用． 初步理解：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 理解应用：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 知识迁移：先求出顶点P的坐标，分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求出E，F坐标，然后求出，再由，求出为定值． 【详解】解：初步理解：∵， ∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点， ∴一次函数的永固点的坐标是， 故答案为：； 理解应用：， 当或时，， ∴无论m值如何变化，恒过定点和， ∴，， 故答案为：，； 知识迁移：为定值． ∵， ∴顶点，， 作轴交直线于点E，作轴交直线于点F， 则，，， 分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，则    ∴，， ∴， ∴， 即． 3．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标代入二次函数表达式得： ，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小， 函数顶点D坐标为，点， 设直线的解析式为，将、D的坐标代入得： ，解得， 直线的表达式为：， 当时，， 故点， 则的最小值为； （3）①当点P在x轴上方时，如图2中， ∵，则， 过点B作于点H，设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 则， 则； ②当点P在x轴下方时， 同理可得； 故点P的坐标为或． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C． (1)如图1，当时，直接写出A、B、C三点坐标； (2)在（1）的条件下，连接．若D是抛物线上第四象限上一点，且，求点D的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接，分别交y轴于P、Q两点，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)1 【分析】（1）把代入得，进而即可得到答案； （2）取点A关于y轴的对称点E，则，连接，，推出，进而即可求解； （3）先求出，再设，，用参数m和表示出的解析式为，的解析式，从而表示出，，进而即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 令，则，解得：， ∴， 令，则， ∴； （2）解：取点A关于y轴的对称点E，则，连接，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵点A关于y轴的对称点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入得：， ∴，即的解析式为：， 联立，得，即， 解得：（舍去）， 当时，， ∴点D的坐标为； （3）解：令代入，则， 解得：， ∴， 联立得：， 设，， ∴， ∴， 设的解析式为：，则，解得：， ∴的解析式为：， 同理：的解析式为：， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，用参数表示出一次函数解析式和点的坐标是关键． 压轴必刷题九、圆 1．（23-24·九年级上·山西太原·期中）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 【答案】2 【分析】本题考查隐圆问题，直角三角形斜边中线的性质．取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·全国·期中）如图，半径交于点D，若，，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，连接，根据题意可得，设，则，根据勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 可知． 设，则， ， ． 即的半径为． 4．（23-24·九年级上·吉林长春·期中）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，是的半径，．点P在上，将点P沿的方向平移到点Q，使．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图②，在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质可推出点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：在线段上截取，连接、． 1°当点P在直线外时， 证明过程缺失 2°当点P在直线上时， 易知． 综上，点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，记点M是线段的中点，如图②．若点P在上运动一周，则点M的运动路径长为　　　　． 【拓展提升】如图③，在矩形中，，．点P是平面内一点，，将点P沿的方向平移到点Q，使．点M是线段上的任意一点，连结．设线段长度的最大值为a，最小值为b，则　　　　． 【答案】问题解决：见解析；结论应用：；拓展提升： 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，矩形的性质等等： （1）根据平移的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． （2）在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆，再根据圆周长公式求解即可； （3）如图所示，在上截取，连接，同理可证明，则点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆，则在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值，同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值，在中利用勾股定理求出的最大值和最小值即可得到答案． 【详解】问题解决：证明：在线段上截取，连接、． 当点P在直线外时， 由平移的性质可得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点Q的运动路径是以点B为圆心、3为半径的圆． 结论应用：如图所示，在上截取，同理可证明点M的运动路径是以点N为圆心、3为半径的圆， ∴点P在上运动一周，则点M的运动路径长为； 拓展提升：如图所示，在上截取，连接， 同理可证明， ∴点M的运动轨迹是以点N为圆心，1为半径的圆， ∵， ∴当点N固定时，当点M运动到上时，有最小值，最小值为， ∴在整个运动过程中当最小时，且当点M运动到上时，有最小值， 同理在整个运动过程中当最大时，且当点M运动到延长线上时，有最大值， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 压轴必刷题十、图形的旋转 1．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，把一段抛物线记为抛物线，它与轴交于点、两点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交轴于点…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图像的基本规律，根据确定，，图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等，计算，判定m与时的函数值相等，只需确定的解析式即可． 【详解】解：根据， ∴，， ∴的解析式为 根据题意，得函数图像开始循环，横坐标以12为循环节，函数值相等 ∵， ∴m与时的函数值相等， 时，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第18段抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而求出n的值． 【详解】解：令，则， 解得：， ， 由图可知，抛物线到抛物线，相当于水平向右平移了6个单位， ， 抛物线到抛物线，相当于水平向右平移了48个单位，且在x轴下方， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)以原点O为对称中心，在图中画出关于原点O对称的； (2)请画出绕C点顺时针旋转的； (3)可以通过旋转得到，写出旋转中心坐标__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查旋转变换作图，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）找出旋转中心的位置，再根据平面直角坐标系写出旋转中心的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，点为旋转中心，此时，点的坐标为． 故答案为：． 4．（23-24·九年级上·山东济南·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为______． 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短、二次根式的计算等知识，证明是解题的关键． （1）利用，证明，得． （2）证明，得，则，再利用勾股定理可得答案． （3）连接连接、，先根据勾股定理和直角三角形的性质求得，当绕点逆时针旋转时，点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以当点在直线上时，有最大和最小值，由图可得的最大值为，最小值为，即． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可得的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：． 压轴必刷题十一、垂径定理 1．（23-24九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵于点D， ∴， 在中，， 即， 解得：. ∴ 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）一块含角的直角三角板和一块量角器如图摆放（三角板顶点与量角器0刻度处重合），量角器与三角板交于点，经测量知，点为中点，点为弧上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点到圆上的最值问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及垂径定理，设量角器刻度处为点G，为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，证明为等腰直角三角形，当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：设量角器刻度处为点G，则为半圆的直径，设的中点为O，则点O为圆心，连接，如图， 点为中点，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 点为弧上一动点， 当点O，E，F在一条直线上时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长． 【答案】半径的长为． 【分析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧”是解题关键．根据题意，设半径，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设半径的长为， ∴， ∵弓形高， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． 答：半径的长为． 4．（23-24·九年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，在等腰直角中，，为等边三角形，，则线段BD的长为___________； 【问题解决】 （2）如图②，在等腰直角中，，以AC为直径作半圆O，点D为上一动点，求点B、D之间的最大距离； 【问题探究】 （3）一次手工制作课程中，老师要求小明和小丽组制作一种特殊的部件，部件的要求如图③，部件是由直角以及弓形BDC组成，其中，点E为BC的中点，，这时候小明和小丽在讨论这个部件，其中小丽说点A到的最大距离是点A、D之间的距离，小明说不对，你认为谁的说法正确？请说明理由，并求出点A到的最大距离． 【答案】（1）；（2）；（3）小明的说法正确，见解析， 【分析】（1）连接BD，交AC于点E，根据题意BD是AC的垂直平分线，通过解直角三角形解出BE与DE的长，两者相加即可解题． （2）结合图形，可知B，O，D三点共线时，BD有最大值，根据解直角三角形解出BO的长，加上半圆的半径，即可解答． （3）作辅助线如图，证明，即说明小明的说法正确；可知弓形的圆心在上，当通过勾股定理求出半径的长度，再算出的长，即可解答． 【详解】解：（1） 如图，连接BD交AC于点E ， 是等腰直角三角形，为等边三角形， ，, 在与中，      ， ， ，， 根据三线合一，可得垂直平分， ， ， ， ，， ． （2）如图②，连接BO并延长交于点D，则此时BD最大． 在上取一点异于点D的点，连接、． 在中，， ， ，即． 最大 在等腰直角中，，O为AC的中点， 且． ． ． 点B、D之间的最大距离为．                                  （3）小明的说法正确．                          如图③，过点A作BC的平行线AF，延长DE交AF于点F． 点E为BC中点，， 所在的圆的圆心O在直线DF上． 设圆O半径为r，连接BO． 在中，， 且， ，得． 连接AO并延长交于点，则为最大距离． 在中，，且， 小明的说法正确．                                   在中，． ． ． 点A到的最大距离为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 压轴必刷题十二、圆内接四边形 1．（23-24·九年级上·河南商丘·期中）如图，四边形内接于，且点是优弧的中点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形的性质得到，则可计算出，然后利用得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 点是优弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·期中）如图，四边形是的内接四边形，为延长线上一点，． (1)如图①，若，求证：为等边三角形； (2)如图②，对角线，交于点，，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出，结合，推出，即可证明； （2）作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可得出过圆心，利用勾股定理求得，进一步求得，，连接，设的半径为，则，在中，由得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， 为等边三角形； （2）解：如图，作于， ， ， 过圆心， ，，， ， ， ， ， ， 连接，设的半径为，则， 在中，， ， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判断，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 4．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：    (1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”）， (2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形为的内接四边形，推得，根据三角形的外角性质可得，即可求解； （2）延长交于点，连接，根据圆内接四边形的性质可得，根据三角形的外角性质可得，即可推得，即可证明； （3）根据四边形内角和可推得，得到四边形四点共圆，分别过点A、C作于点M，于点N，根据三角形的面积公式求得四边形的面积，结合圆的性质即可推得当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大，连接、，根据圆周角定理可得，根据等边三角形的判定和性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，理由： 延长交于点，连接，如图：    ∵四边形为的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 即， 故（1）的结论不成立． （3）解：∵，四边形的内角和为1， ∴， 即四边形四点共圆， 分别过点A、C作于点M，于点N，如图：    则四边形面积 故当A、M、N、C共线且为圆的直径时，四边形面积最大， 连接、， ∵， ∴， 又∵， 故为等边三角形， ∴， 则， 则四边形面积最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，三角形的外角性质，四边形内角和，三角形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，理解圆内接四边形的的性质是解题的关键． 压轴必刷题十三、正多边形 1．（23-24九年级上·贵州黔西·期中）如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的中心角是解题的关键． 根据正六边形的性质得出，再根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级上·广西钦州·期中）如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．    【答案】 【分析】过点B作于点D，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】过点B作于点D， ∵正六边形的边长为1，顶点与原点重合， ∴，，， ∴，    ∴， 根据旋转性质，得， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 3．（23-24·九年级上·河北邯郸·期中）摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 【答案】(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型． 4．（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4 （1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由． （2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标； （3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程． 【答案】（1）点A在反比例函数图象上，理由见解析；（2）点Q的横坐标为；（3）将正六边形向左平移4个单位，线段EF的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上；将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2个单位，线段BC的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上． 【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，CP，根据正六边形的性质和直角三角形的性质即可得到结论； （2）过Q作QM⊥x轴于M，设DM=b，则QM=，求得Q(，)，由于该反比例函数图象与DE交于点Q，列方程即可得到结论； （3）根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，CP， ∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD=4， ∴BP=CP=4，G是CD的中点， ∴CG=GD=2， ∴PG==， ∴P（，）， ∵P在反比例函数上， ∴， ∴， 连接AC交PB于G，则AC⊥PB， 由正六边形的性质得A（，）， ∵， ∴点A在反比例函数图象上； （2）过Q作QM⊥x轴于M， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠EDM=60°， 设DM=b，则QM=， ∴Q（，）， ∵该反比例函数图象与DE交于点Q， ∴， 解得：，(不合题意舍去)， ∴点Q的横坐标为； （3）连接AP，A（2，4），B（0，2），C（2，0），D（6，0），E（8，），F（6，4）， 设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为 ∴A（，4），B（，2），C（2，），D（6，），E（8，），F（6，4）， ①将正六边形向左平移4个单位后，E（4，），F（2，4）； ∵， 则点E与F都在反比例函数图象上； ②将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2个单位后，C（4，2），B（2，4）， ∵， 则点B与C都在反比例函数图象上； 答：将正六边形向左平移4个单位，线段EF的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上；将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2个单位，线段BC的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键． 压轴必刷题十四、弧长及扇形面积 1．（23-24·九年级上·湖南长沙·期中）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，    根据题意得：， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已知，，，半径为2的从点出发，沿方向滚动到点时停止，圆心运动的路程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹分为三部分进行计算是解题关键．根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：，，，分别计算出各部分的长再相加即可． 【详解】解：圆心O运动路径如图：    ∵；弧的长度为；， ∴圆心O运动的路程是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算； （1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到，结合三角形内角和可得结论； （2）连接，根据平角定义得到，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ，又， 在和中， ，， ； （2）解：连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ∴的长=． 4．（23-24·九年级上·贵州黔东南·期中）如图，为的弦，为的直径，与相交于点，连接，，，过点作于点． (1)求证：； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理求出，，根据直角三角形的性质求出，则，再根据角的和差即可得证； （2）根据圆周角、弧的关系求出，再根据垂径定理推理即可得证； （3）结合（2）求出，，由勾股定理得到，再根据图中阴影部分的面积求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， 为的直径， ； （3）解：连接，如图所示： 由（2）知，，， ， ，， ，， ， ， 图中阴影部分的面积． 【点睛】题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$