特训05 函数的概念与性质 期中解答压轴题（江苏期中精选）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训05 函数的概念与性质 期中解答压轴题（江苏期中精选） 一、解答题 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，是奇函数． (1)求实数m的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围． 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 3．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，． (1)求的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若函数，若对，，都有，求实数的取值范围． 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为偶函数，函数的定义域为. (1)判断并用定义证明在区间上的单调性； (2)解不等式； (3)若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设是定义在[m,n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m,n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求a的取值范围； 7．（23-24高一上·江苏常州·期中）对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， (1)请证明：函数（）不存在“理想区间”； (2)已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； (3)如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 8．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由; (3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值. 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）从以下三个条件中任意选择一个条件，“①设是奇函数，是偶函数，且；②已知；③若是定义在上的偶函数，当时，”，并解答问题：（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性； (3)当时，函数满足，求实数的取值范围. 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，函数． (1)若,求不等式的解集； (2)求函数在上的最小值； (3)若对任意,均存在,使得成立，求实数m的取值范围. 11．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知二次函数，且. (1)求的解析式； (2)若在上的最大值为，求的值以及的最小值； (3)若，集合， 集合，是否存在实数、，使得，若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 12．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知偶函数的定义域为，当时，函数. (1)当时，求函数在区间上的解析式； (2)函数在上单调递减，在上单调递增，求m的值； (3)在（2）的条件下，不等式在上有解，求实数a的取值范围. （注：其中“e”为自然常数，约为2.718281828459045） 13．（22-23高一上·江苏南通·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 14．（22-23高一上·江苏·期中）设是定义在上的函数，且对任意，，恒有且时，. (1)求的值； (2)证明函数在上单调递增； (3)若，且，求实数的取值范围. 15．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 16．（22-23高一上·江苏南京·期中）设函数的定义域为D，若存在区间，使得，则称区间为函数的“H区间”． (1)写出函数所有的“H区间”； (2)若为函数的一个“H区间”，求m的值； (3)求函数的“H区间”． 17．（19-20高一上·江苏淮安·期中）已知函数，， (1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）； (2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围； (3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围. 18．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 19．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数. (1)当，时，解方程； (2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围. 20．（21-22高一上·江苏苏州·期中）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)求函数在内的“倒域区间”； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 21．（22-23高一上·江苏南通·期中）函数的定义域为，且满足以下4个条件： ①对任意，都存在m，，使得且； ②若m，且，都有； ③当且a为常数时，； ④当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：函数是周期函数，并求出周期； (3)判断函数在区间上的单调性，并说明理由. 22．（22-23高一上·江苏扬州·期中）若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 23．（20-21高一上·江苏无锡·期中）定义在上的函数满足：对任意的，，都有：. （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 24．（19-20高一上·江苏常州·期中）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”. （2）求证：函数不存在“优美区间”. （3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值. 25．（20-21高一上·江苏南通·期中）若函数在定义域内的某个区间I上是增函数，而在区间I上是减函数，则称函数在区间I上是“弱增函数”． （1）若函数（是常数）在区间上是“弱增函数”，求应满足的条件； （2）已知是常数且，若存在区间I使得在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 函数的概念与性质 期中解答压轴题（江苏期中精选） 一、解答题 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，是奇函数． (1)求实数m的值； (2)判断函数在和上的单调性并证明； (3)若对于任意，恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析；在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用定义域上奇函数满足，并用定义验证即可. （2）利用定义法分别在和上判断函数的单调性即可. （3）将对于任意，恒成立，转换为恒成立，然后求实数n的取值范围. 【解析】（1），是奇函数，所以， 当时，， ，，是奇函数，所以； （2）函数在上单调递增，在上单调递减，证明如下： ，且，有 ， ①当时，，，即， 又，所以，即， 所以函数在上单调递减． ②当时，，，即， 又，所以，即， 所以函数在上单调递增． （3）对于任意，恒成立， 只需，即． 由（2）得． 又，时，，所以， 所以，n的取值范围是． 2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递减；证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可得，再将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可； （3）根据题意，由函数的奇偶性以及单调性化简，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由基函数的性质可知，，所以，即， 因为，所以，即. （2）函数在上单调递减. 证明：任取， 则， 因为，则，，则， 即，所以函数在上单调递减. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，且为奇函数， 则， 所以，解得， 则不等式的解集为. 3．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，． (1)求的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若函数，若对，，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)． 【分析】（1）由奇函数定义结合列式运算可得解； （2）由函数单调性定义可证明； （3）由题意转化为，令，可令，利用二次函数讨论求最值可得解. 【解析】（1）因为是奇函数，所以，可得， 所以，所以， 又，所以， 所以． （2）函数在上单调递增． 设，则， 因为，，，， 可得， 所以， 从而函数在上单调递增． （3）由题得，， 对，，都有，只需要， 令，则在单调递增，所以，则， 对称轴，当时，由的单调性可得， ，得，故； 当时，， 得，故； 当时，， 得，故； 当时，， 得，故； 综上：实数的取值范围是． 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数. (1)求函数的定义域和值域： (2)若为非零实数，设函数的最大值为. ①求； ②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合. 【答案】(1)定义域为；值域为 (2)①；② 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解. 【解析】（1）因为，所以，则， 又， 当时，， 所以，又， 所以； （2）依题意，得， 令，则， 令，， 当时， 此时二次函数对称轴，开口向上，则. 当时，此时对称轴， 当，即时，开口向下，则； 当，即，对称轴，开口向下， 则， 当，即时，开口向下，； 综上，. ②当时，，则，解得或（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则； 当时，，则，解得（舍去）； 当时，，则，解得（舍去）； 综上，或，即. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解. 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为偶函数，函数的定义域为. (1)判断并用定义证明在区间上的单调性； (2)解不等式； (3)若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数为偶函数得到，设，计算得到证明； （2）确定为奇函数得到单调区间，题目转化为，解得答案. （3）根据单调性计算值域得到，为方程的两个实数根，根据根的范围得到不等式，解得答案，或确定，得到不等关系，解得答案. 【解析】（1）函数在上单调递减， 函数为偶函数，故对称轴为，得，，， 不妨设， 则， 因为，所以，， 即，，，即， 所以函数在上单调递减， （2），，， 函数为奇函数，故函数在上单调递减. ，即，即， 因为函数在和上单调递减， 所以，或，或，解得， 故不等式的解集为. （3）函数在上单调递减，所以在上的值域为， 由题意得，，化简得， 所以，为方程的两个实数根， 因为要存在实数，， 所以方程有两个大于1的不相等的实数根， 法1：，或，解得， 所以实数的取值范围为 法2：由条件，，所以，故，解得， 所以实数的取值范围为. 6．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设是定义在[m,n]（）上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，[m,n]称为含峰区间. (1)试判断是否为[0,6]上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由； (2)若（，a、b、）是定义在[m,3]上峰点为2的“含峰函数”，且值域为[0,4]，求a的取值范围； 【答案】(1)是“含峰函数”， 峰点为； (2). 【分析】（1）由“含峰函数”的定义，结合二次函数性质即可判断是否为“含峰函数”， 并确定峰点； （2）由二次函数性质及峰点、值域可得且，再讨论、应用最小值求参数a范围. 【解析】（1）是在[0,6]上的“含峰函数”，理由如下， 由，开口向下且对称轴为， 所以区间[0,6]上，函数在上递增，在上递减，且峰点为， 所以为[0,6]上的“含峰函数”， 峰点为. （2）由题设，，则， 又值域为[0,4]，故， 综上，且， 当时，，则； 此时，故； 当时，，则； 综上，. 7．（23-24高一上·江苏常州·期中）对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“理想区间”， (1)请证明：函数（）不存在“理想区间”； (2)已知函数在R上存在“理想区间”，请求出它的“理想区间”； (3)如果是函数（）的一个“理想区间”，请求出的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用的单调性，转化为，解方程即可证明； （2）利用二次函数的性质以及函数的值域，求出，结合对称轴，得到在上必为增函数，由求解即可； （3）由函数单调性和新定义知，方程有两个同号的实数根m，n，（），利用韦达定理表示，然后利用二次函数的性质求解即可. 【解析】（1）由为上的增函数，则有， 所以，所以，无解， 所以（）不存在“理想区间”； （2）记是函数的一个“理想区间”（）， 由及此时函数值域为，可知，而其对称轴为， 所以在上必为增函数，令， 所以，所以，故该函数有唯一一个“理想区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“理想区间”上单调， 所以或，且在上为单调递增， 则，，即m，n（）是方程的两个同号的实数根， 等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要， 所以或， 而由韦达定理知，， 所以， 其中或，所以当时，取得最大值. 8．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由; (3)当时，对任意的，恒有成立，求的最大值. 【答案】(1)的单调递增区间为； (2)见解析； (3)10. 【分析】（1）根据题意，求出，然后结合二次函数的性质可求得答案； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可； （3）对任意的，恒有成立等价于“在上恒成立”，然后分，和三种情况求解即可. 【解析】（1）当时，， 当时，，所以在上递增， 当时，，所以在上递增， 因为， 所以的单调递增区间为； （2）当时，， 因为，所以为偶函数， 当时，因为，所以不是奇函数， 因为，，且， 所以，所以不是偶函数， 综上，当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数； （3）当，时，， 所以， 整理得， 即在上恒成立， 因为对勾函数在上单调递增， 所以若，则在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 则， 所以， 当时，， 若时，则在上单调递增， 所以当时，取得最小值，则， 所以，当且仅当时，取得最大值10， 综上，的最大值为10. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的判断，考查二次函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将问题转化为“在上恒成立”，然后结合对勾函数的性质分情况讨论，考查分类讨论的思想和计算能力，属于较难题. 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）从以下三个条件中任意选择一个条件，“①设是奇函数，是偶函数，且；②已知；③若是定义在上的偶函数，当时，”，并解答问题：（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性； (3)当时，函数满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)条件选择见解析，答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）选①，根据函数奇偶性的定义可得出关于、的方程组，即可解得函数的解析式； 选②，由，得出，即可解出函数的解析式； 选③，由，得，可求出的表达式，再利用偶函数的性质可求出函数在时解析式，即可得出函数的解析式； （2）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义即可证得结论成立； （3）利用函数在区间上的单调性，以及，即可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【解析】（1）解：若选①，因为是奇函数，是偶函数， 所以可得， 所以，，解得； 若选②，因为，则， 联立方程组，解得； 若选③，因为是定义在上的偶函数， 当时，， 当时，，则， 因为函数是定义在上的偶函数， 当时，， 综上所述，. （2）证明：由（1）可知，当时，，且函数在上单调递增， 任取、且，即，则，， 则 ，    所以，，故函数在上单调递增. （3）解：由（2）可知，函数在上单调递增， 当时，函数满足， 则，解得， 所以，实数的取值范围是. 10．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，函数． (1)若,求不等式的解集； (2)求函数在上的最小值； (3)若对任意,均存在,使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入不等式中得，分情况去掉绝对值，将其转化为关于的一元二次不等式求解； （2）讨论在上的单调性，再根据单调性确定函数的最小值； （3）求得函数在上的最小值和在上的最小值，求最值时需对分情况讨论得到其最值，而后将不等式成立转化为两最小值间的大小关系，从而解不等式得到实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得，， 当时，，解得，即； 当时，，无解， 所以原不等式的解集为. （2）因为，所以当时，. 当时，， 所以当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 因为，所以当时，在上单调增，； 当时，又因为，结合时的单调性，故， ， 综上，. （3），又因为， 所以当时，；当时，， 结合⑵得：当时，由得，所以； 当时，由得，所以； 当时，由得，所以， 综上，的取值范围是. 11．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知二次函数，且. (1)求的解析式； (2)若在上的最大值为，求的值以及的最小值； (3)若，集合， 集合，是否存在实数、，使得，若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)或， 【分析】（1）直接代入函数解析得到，从而求出的值，即可求出函数解析式； （2）由（1）可得，分和两种情况讨论，求出的值，从而求出的最小值； （3）首先求出，令，，则，，再分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质计算可得. 【解析】（1）由，且， 得， 所以，所以，解得，故； （2）因为， 所以，开口向上，对称轴为， ①当，即时，，解得， 此时的对称轴为，所以； ②当，即时，，解得，不合题意； 综上所述，，的最小值为． （3）因为， 所以，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，又，， 即， 令，，则，， 因为， 当，则在上单调递增， 则，所以，解得（不符合题意）， 此时，，解得，或（舍去）； 当时，则，即，方程无解，故舍去； 当，则在上单调递减， 所以，所以，解得或（舍去）， 此时，，解得，或（舍去）； 综上可得或，. 【点睛】关键点睛：涉及二次函数在闭区间上的最值，一般是对对称轴与区间中点的关系分类讨论，第三问再求集合的关键是转化为求出在的值域. 12．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知偶函数的定义域为，当时，函数. (1)当时，求函数在区间上的解析式； (2)函数在上单调递减，在上单调递增，求m的值； (3)在（2）的条件下，不等式在上有解，求实数a的取值范围. （注：其中“e”为自然常数，约为2.718281828459045） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义分析求解； （2）根据函数单调性的定义分析求解； （3）利用换元法令，原题等价于：存在，使得不等式成立，根据存在性问题结合基本不等式运算求解. 【解析】（1）当时，， 当时，则，可得, 因为为偶函数，所以， 即当时，. （2）任取，且， 则， 因为在上单调递减，则，且， 又，， 可得恒成立，即恒成立，所以； 同理：若在上单调递增，可得； 综上所述：. （3）由（2）可知：，则， 因为函数在上单调递增， 则在上单调递增，且，可得， 令，则， 对于不等式，即，可得， 可知原题等价于：存在，使得不等式成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数a的取值范围为. 13．（22-23高一上·江苏南通·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数的一个“优美区间”； （2）若函数存在“优美区间”，可得函数在上单调递减，从而可得，联立可推出矛盾，即可证明结论； （3）函数有“优美区间”，结合单调性可得，说明是方程的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得的关系，进而可求得的最大值． 【解析】（1）是的一个“优美区间”，证明如下： 在区间上单调递增， 又，，∴的值域为， ∴是的一个“优美区间”． （2）设是函数的定义域的子集． 由，可得或， ∴函数在上单调递减． 若是函数的“优美区间”，则， 两式相减得，，则， ， 则，显然等式不成立， ∴函数不存在“优美区间”． （3）的定义域为，是函数的定义域的子集， 则或， 而函数在上单调递增， 若是函数的“优美区间”，则， ∴是方程，即的两个同号且不等的实数根． ，∴同号， 只需，解得或， ，， ， ∴当时，取得最大值． 14．（22-23高一上·江苏·期中）设是定义在上的函数，且对任意，，恒有且时，. (1)求的值； (2)证明函数在上单调递增； (3)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令求得的值； （2）由得， 故可用上式展开即能得到的大小关系； （3）利用已知条件将化为的形式，由的单调性解不等式. 【解析】（1）令，得，所以； （2）任意的，令， 因为，所以，，，所以在上单调递增 （3）因为，所以，， 原不等式即为，由在上单调递增 故，解得 15．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求，的值： (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上为增函数.证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，结合，解方程可得，的值； （2）在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质； （3）由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“”去掉，解不等式可得所求取值范围. 【解析】（1）由题意， 在中，函数是奇函数， 且，可得即； 又，则， ∴，；经验证满足题意. （2）由题意及（1）得， 在上为增函数.证明如下： 在中， 设，则， ∵， ∴，， ∴，即， ∴在上为增函数； （3）由题意，（1）及（2）得， 在中，为奇函数， ∴ ∴，即， ∴， 解得， ∴的取值范围是 16．（22-23高一上·江苏南京·期中）设函数的定义域为D，若存在区间，使得，则称区间为函数的“H区间”． (1)写出函数所有的“H区间”； (2)若为函数的一个“H区间”，求m的值； (3)求函数的“H区间”． 【答案】(1)，和． (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知a，b是方程的根，且，从而可求出的值，从而可求出“H区间”； （2）分，两种情况结合“H区间”求解即可； （3）根据“H区间”的定义分，两种情况求解即可. 【解析】（1）函数是上的递增函数，则， 所以a，b是方程的根，且， 解得，或，或，． 故函数的所有“H区间”为，和． （2）当时，在上单调递减， 所以，，解得； 当时，，，不可能． 综上，． （3）设的“H区间”为，由“H区间”定义知： ，所以或，， 所以， 又，所以，， 当时，在区间上单调递减， 所以即 由得：，因为，所以， 又因为，， 所以，当且仅当，时取“=”此时，舍去； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，，， 所以，． 所以函数的“H区间”为. 17．（19-20高一上·江苏淮安·期中）已知函数，， (1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）； (2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围； (3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为，； (2) (3) 【分析】（1）将题中的代入解析式，由对勾函数的单调性可得单调区间； （2）解不等式，即可得到结果； （3）将题中的式子等价变形，将问题转化为在，单调递增，结合分段函数的解析式和二次函数的图象的对称轴，分类讨论得到结果． 【解析】（1）解：当时，， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2）解：因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增， 又因为在，上的最大值为，所以， 即，整理可得， 所以，所以，即； （3）解：由不等式对任意，，恒成立， 即， 可令，等价为在，上单调递增， 而， 分以下三种情况讨论： ①当即时，可得，解得，矛盾，无解； ②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增， 但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解； ③即时，此时在，上单调递增， 要想在，递增，只能，即，所以． 综上可得满足条件的的取值范围是． 18．（23-24高一上·江苏·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求得的值，由可求得的值，可得出函数的解析式，再结合函数奇偶性的定义验证即可，由此可得出函数的解析式； （2）由已知可得出，利用双勾函数的单调性求出在上的值域，可得出在有解，由此可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，化简得出，令，可得出，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【解析】（1）解：为上的奇函数，所以，得，则， 又，所以，所以， 对任意的，， 所以，函数为奇函数，合乎题意， 综上所述，. （2）解：当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，所以．                  不等式，即， 得在有解，所以且，即 （3）解：因为，所以， ，恒成立，所以， 则， 而 设，其中，则，当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，函数在上单调递减，可得， 所以，即的最小值为． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19．（23-24高一上·江苏苏州·期中）设函数. (1)当，时，解方程； (2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若为常数，在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接解方程即可； （2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，分情况讨论时与时不等式情况，可得参数范围； （3）分情况讨论分段函数的单调性与最值情况，可得参数范围. 【解析】（1）当，时，， 所以， 即或， 解得或， 即或； （2）当时，， 所以不等式在上恒成立， 即为不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，即， 当时，不等式可转化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递增， 所以， 所以，解得， 即的取值范围为； （3）在区间上有解，即方程在上有解， 设， 当时，在上单调递增， 所以，， 则当时，原方程有解，即； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调增； ①当，即时，，， 则当时，原方程有解，即； ②当，即时，，， 则当时，原方程有解，则； ③当时，，，， 当，即时，， 则当时，原方程有解，即； 当，即时，， 则当时，原方程有解，即； 综上所述：当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为. 20．（21-22高一上·江苏苏州·期中）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)求函数在内的“倒域区间”； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）设，利用奇函数的定义可求得函数在上的解析式，由此可得出函数在上的解析式； （2）设，分析函数在上的单调性，可出关于、的方程组，解之即可； （3）分析可知，只需讨论或，分析二次函数的单调性，根据题中定义可得出关于实数、的等式组，求出、的值，即可得出结果. 【解析】（1）解：当时，则， 由奇函数的定义可得， 所以，. （2）解：设，因为函数在上递减，且在上的值域为， 所以，，解得， 所以，函数在内的“倒域区间”为. （3）解：在时，函数值的取值区间恰为， 其中且，，所以，，则， 只考虑或， ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，，所以，， 由（2）知在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，，所以，. ， 因为在上单调递减，则，解得， 所以，在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题的关键在于分析函数的单调性，结合题意得出关于参数的方程，进行求解即可. 21．（22-23高一上·江苏南通·期中）函数的定义域为，且满足以下4个条件： ①对任意，都存在m，，使得且； ②若m，且，都有； ③当且a为常数时，； ④当时，. (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：函数是周期函数，并求出周期； (3)判断函数在区间上的单调性，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，周期为 (3)在区间上是单调减函数，理由见解析 【分析】（1）根据函数性质结合奇偶性的定义即可证明； （2）根据周期性的定义分别讨论和两种情况即可求解； （3）根据单调性的定义分别证明在区间上是单调减函数和在区间是单调减函数. 【解析】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 对任意实数，在定义域中存在，使得且, 则 ∴为奇函数. （2）因为，所以， 所以， 当，， 所以， 当时，， ， ，满足， 综上，是以为周期的函数. （3）在区间上是单调减函数. 先证在区间上是单调减函数. 设，则，，(当时， )，， 因为，所以，即， 所以在区间上是单调减函数； 再证在区间是单调减函数. 设，则，所以， 因为，即， 同理，， 所以，即， 所以在区间是单调减函数， 当时，； 当时，，，所以， 综上，在上是减函数. 22．（22-23高一上·江苏扬州·期中）若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数. (1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）； (2)判断函数是否为函数，并说明理由； (3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值. （2）结合函数的定义以及反证法进行判断. （3）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值，从而确定正确答案. 【解析】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 若函数为函数， 所以，即， 解得. （2）函数不是P函数，理由如下： 在上递增， 因为m，n为整数，由题意可知，即， 令，即，解得， 假设函数为P函数， 则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n， 所以函数不是P函数； （3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上， 因为关于x的不等式的解集恰为 所以，即 将①代入③得，， 又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意， 综上所述，存在实数使得函数为P函数. 【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但也是围绕 “新定义”去列式. 23．（20-21高一上·江苏无锡·期中）定义在上的函数满足：对任意的，，都有：. （1）求证：函数是奇函数； （2）若当时，有，求证：在上是减函数； （3）若，对所有，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）令得，再令即可证明. （2）根据定义结合已知证明. （3）转化为，再变换主次元考虑. 【解析】（1）证明：令得： 设任意，则， ，即， ∴函数是奇函数； （2）设，则， 由知：，且， 所以，即， ∴，又 即，从而， 即，， 所以在上是减函数； （3）由（2）函数在上是减函数， 则当时，函数 的最大值为， 若对所有恒成立， 则等价为 对恒成立，即， 设， ∴，即，解得或 【方法点睛】多变量不等式恒成立问题处理： ①按照题意分清主次元，确定降元次序； ②考察指定元所对应的函数关系； ③由特定元的范围，建立不等式（组）. 24．（19-20高一上·江苏常州·期中）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”. （2）求证：函数不存在“优美区间”. （3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论; （2）若函数存在“优美区间”,可得函数在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论; （3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值. 【解析】（1）在区间上单调递增, 又,,∴的值域为, ∴区间是的一个“优美区间”. （2）设是已知函数的定义域的子集. 由,可得或, ∴函数在上单调递减. 若是已知函数的“优美区间”,则, 两式相减得,,则, , 则,显然等式不成立, ∴函数不存在“优美区间”. （3）设是已知函数定义域的子集. 由,则或, 而函数在上单调递增. 若是已知函数的“优美区间”,则, ∴是方程，即的两个同号且不等的实数根. ,∴同号,只须, 解得或, , ∴当时,取得最大值. 【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题. 25．（20-21高一上·江苏南通·期中）若函数在定义域内的某个区间I上是增函数，而在区间I上是减函数，则称函数在区间I上是“弱增函数”． （1）若函数（是常数）在区间上是“弱增函数”，求应满足的条件； （2）已知是常数且，若存在区间I使得在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据“弱增函数”的定义得到，在区间上是增函数，由二次函数的性质得到m的取值范围，再利用在区间上是减函数，得到b的取值范围即可求解； （2）对x的范围进行讨论去掉绝对值，结合“弱增函数”的定义以及单调性逐段判断即可． 【解析】（1）函数（是常数）在区间上是“弱增函数”， 在区间上是增函数，则，解得：， 在区间上是减函数，则，解得：； 满足的条件为：，. （2） ①当时，，； 使得在区间I上是“弱增函数”，则，无解； ②当时，，； 使得在区间I上是“弱增函数”，则，无解； ③当时，，； 使得在区间I上是“弱增函数”，则，解得：； ④当时，，； 使得在区间I上是“弱增函数”，则，解得：； ⑤当时，，； 使得在区间I上是“弱增函数”，则，解得：； 综上所述：的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，解题关键是能够明确所谓的新定义实际是对函数单调性的考查；对于含多个绝对值的函数，通常采用分类讨论的方式去除绝对值符号，将函数化为熟知的函数形式. 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