4.2.1 等差数列的概念（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2 等差数列 4.2.1 等差数列的概念（第2课时） 人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 学习目标 1 2 3 体会等差数列与一元一次函数的关系，培育直观 想象的核心素养 能判断或证明等差数列，培育逻辑推理的核心素养 掌握等差数列的性质及其应用，培育逻辑推理、数学运算的核心素养 复习回顾 1.等差数列的定义： 2. 通项公式： 4. 等差数列的函数特征： 3.等差中项： an-an-1=d (n≥2)或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a, A, b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 这三个数满足关系式： 函数图象上所有的点在同一条直线上： d＞0,等差数列单调递增； d＜0,等差数列单调递减； d＝0,等差数列为常数列. 本节我们来学习等差数列的实际问题以及常见的一些性质. 典例解析 [例3] 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的范围. 分析:这台设备使用满n年时得价值构成一个数列{an}.由题意可知，使用满10年时，这台设备得价值不小于(220×5％=)11万元；而第11年底，这台设备的价值应小于11万元。可以利用{an}的通项公式列不等式求解. 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)， ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 解: 典例小结 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题. 学以致用 教材P17 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用an表示第n排的座位数吗? 第10排有多少个座位? n an O • 1 5 6 9 12 15 18 • 2 • • • • 3 4 6 3 学以致用 教材P17 典例解析 [例4] 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 分析:(1){an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以用等差数列的定义得出{bn}的通项公式. 解: 如果插入k(k∈N*)个数，那么{bn}的公差是多少？ 典例解析 [例4] 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 分析:(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系，由此即可判断b29是不是{an}的项. 解1: 对于第(2)小题，你还有其他解法吗？ 解2: 学以致用 教材P18 5. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 改成偶数项呢？ 新知探究 由例4(2)和练习题5可得等差数列的如下性质： 性质1 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． （若下标成等差数列，则对应的项也成等差数列） 追问 你能证明该性质吗？ 证明： ∵{an}是等差数列，公差为d ∴ak+m=ak+md，ak+2m=ak+2md 即2ak+m=ak+ak+2m 即ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列 新知探究 探究 观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……，说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？ 问题1 观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么一般性的结论吗？并且加以证明. [例5] 已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at . 典例解析 证明: 新知探究 问题2 例5是等差数列的一条性质，下图是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 新知探究 由例5可得等差数列的如下性质： 性质2 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. （若下标和相等，则对应项的和也相等.） (1)特别地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，则有am＋an＝a2p. 追问 其它条件不变，若am＋an＝ap＋aq，能得到m＋n＝p＋q吗？ 反例： 常数列 不能 推广 (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 思考 2+3=5，a2+a3=a5 成立吗？ 【注】等式两边作和的项数必须一样多！ 学以致用 教材P18 4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 问题3 根据本题你能得到一般性的结论吗？ 新知探究 由练习题4可得等差数列的如下性质： 性质3 数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为 的等差数列. pd1+qd2 推广 若数列{an}是公差为d的等差数列，c为常数，则有 ①数列{c＋an}是公差为 的等差数列； ②数列{c·an}的公差为 的等差数列； d cd 3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n . 学以致用 教材P18 能力提升 题型一 等差数列的性质 例题 1. 已知数列 ， 为等差数列，且公差分别为 ， ，则数列 的公差为( @1@ ) A. B. C. D. [解析] 易知数列 <m></m> 为等差数列，公差为 <m></m> . D 2. 在等差数列中，，，则 等于 ( ) A A. 3 B. C. D. [解析] 由等差数列的性质，得，所以 . 能力提升 题型一 等差数列的性质 例题 3. 已知等差数列 中， ， ，则 _____. <m4</m> [解析] 解法一：设 <m></m> 的公差为 <m></m> ，则 <m></m> 解得 <m></m> 故 <m></m> . 解法二：在等差数列 <m></m> 中,由等差中项的定义可得 <m></m> ， 从而 <m></m> . 解法三：因为5, <m></m> , <m></m> 成等差数列，所以 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 也成等差数列， 因此 <m></m> ，即 <m></m> ，解得 <m></m> . 40 能力提升 题型一 等差数列的性质 练习 1. 已知等差数列满足 ，则 的值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 [解析] ， 解得， 所以 . D 2.已知数列满足 ,则 ( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 [解析] 由 ，得 ， 数列 是等差数列， ， ， 。。 B 方法总结 等差数列的常见性质 能力提升 已知等差数列 <m></m> 中，公差为 <m></m> ，则 （1）数列 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是等差数列，且公差为 <m></m> . （2）数列 <m></m> （ <m></m> 为常数）是等差数列，且公差为 <m></m> . （3）若数列 <m></m> 也是等差数列，则数列 <m></m> 为等差数列. 能力提升 题型二 等差中项的性质 例题 4．已知是等差数列，且+1是和的等差中项，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．-2 D．-1 【解析】设等差数列的公差为d. 由已知条件，得+=2+1) 即++3d)=2+d+1) 解得d=2. B 5.已知等差数列中，与的等差中项为8，且=2，则=      ． 【解析】设等差数列的公差为d. 由已知得=16 =2 ∴=8 ∵=2 ∴d==1 ∴=+10d=2+10=12 12 方法总结 等差数列运算的两种常用思路 能力提升 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于 <m></m> ， <m></m> 的方程（组），确定 <m></m> ， <m></m> ，然后求其他量. （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足 <m></m> ，则 <m></m> . 能力提升 题型三 等差数列与不等式的综合问题 例题 6. 已知数列 <m></m> 满足 <m></m> , <m></m> ,记 <m></m> . (1)求证：数列 <m></m> 为等差数列； (2)求数列 <m></m> 的通项公式，并证明： <m></m> . [解析] (1)证明：依题意， 得 <m> </m> ， 所以数列 <m></m> 是首项为1，公差为 <m></m> 的等差数列. 又 <m></m> , 能力提升 题型三 等差数列与不等式的综合问题 例题 6. 已知数列 <m></m> 满足 <m></m> , <m></m> ,记 <m></m> . (1)求证：数列 <m></m> 为等差数列； (2)求数列 <m></m> 的通项公式，并证明： <m></m> . [解析] (2)由(1)知 <m> </m> . 因为 <m></m> , 所以 <m></m> . 因为数列 <m></m> 单调递减， 且 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 即 <m></m> . 方法总结 解决等差数列综合问题的方法技巧 能力提升 （1）求较为复杂的等差数列的通项公式时，常利用构造法，根据等差数列的定义求解. （2）解决等差数列与不等式的综合问题时，常需要判断数列的单调性，结合不等式的性质求解. 课堂小结 设 {an}是公差为d的等差数列，那么 性质1 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 性质2 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 性质3 数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为pd1+qd2的等差数列. $$