4.1 第4课时 幂函数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

第4课时 幂函数 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.准确把握幂函数的图象在第一象限的特征(与幂指数α的关系). 3.通过研究幂函数的定义域,利用对称性即可作出幂函数的图象,进而研究性质. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　幂函数的概念 逐点清(二)　幂函数的图象与性质 逐点清(三)　比较幂值大小 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　幂函数的概念 01 多维理解 1.幂函数的定义 当x为自变量而α为非零实数时,函数_____叫作(α次)幂函数. 2.幂函数的分类 (1)正整数次幂函数:y=xn(x∈R,n是正整数). (2)负整数次幂函数:y=x-n(x≠0,n是正整数). (3)分数次幂函数:自变量x的算术平方根或立方根,是最常见的分数次幂函数. y=xα 1.在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:∵y==x-2,∴是幂函数;∵y=2x2的系数为2,∴不是幂函数;y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;y=1=x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),∴常函数y=1不是幂函数. 微点练明 √ 2.已知幂函数的图象过点(2,4),则其解析式为 (　 ) A.y=x+2 B.y=x2 C.y= D.y=x3 √ 3.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则a=(　 ) A.-1或2 B.-2或1 C.-1 D.1 解析:因为f(x)=(a2-a-1)为幂函数,所以a2-a-1=1.所以a=2或a=-1.又a-2≠0,所以a=-1. √ 4.若函数f(x)=xα的图象经过点,则f=(　 ) A. B.3 C.9 D.8 解析:由题意知f(9)=,所以9α=,即32α=3-1,所以α=-.所以f(x)=.所以f=3. √ 逐点清(二)　幂函数的图象 与性质 02 多维理解 1.应用幂运算的基本不等式可推出 (1)对任意的正实数r和两正实数a>b,有___1,即_____. (2)对任意的负实数r和两正实数a>b,有___1,即_____. > ar>br < ar<br 2.一般地,对于实数次幂函数y=xα(α≠0) (1)当α>0时,它在[0,+∞)上有定义且递增,值域为_______,函数图象过_____和_____两点; (2)当α<0时,它在(0,+∞)上有定义且递减,值域为_______,函数图象过点_____,向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近. [0,+∞) (0,0) (1,1) (0,+∞) (1,1) 3.五个常见幂函数的图象 |微|点|助|解| (1)幂函数图象在第一象限的变化规律 在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小. (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(-1,1), (-1,-1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. 微点练明 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)当x∈(0,1)时,x2>x3. (　 ) (2)y=与y=的定义域相同. (　 ) (3)若y=xα在(0,+∞)上为增函数,则α>0. (　 ) √ × √ 2.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象,则解析式中指数α的值依次可以是 (　 ) A.,3,-1 B.-1,3, C.,-1,3 D.-1,,3 √ 解析:由幂函数y=xα在第一象限内的图象,结合幂函数的性质,可得题图中C1对应的α<0,C2对应的0<α<1,C3对应的α>1,结合选项知,指数α的值依次可以是-1,,3. 3.已知幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则 (　 ) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 解析:在(0,1)内取x0,作直线x=x0,与各图象有交点 如图所示.则由“点低指数大”,知0<m<1,n<-1. √ 4.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)是偶函数,则m的值为　　　.  解析:∵f(x)为幂函数,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=4时,f(x)=x3是奇函数,不合题意,舍去;当m=-1时,f(x)=x-2是偶函数,∴m=-1. -1 5.观察函数图象及解析式完成下表.   y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 ___ ___ ___ ______ _______ 值域 ___ ________ ___ ______ _______ 奇偶性 ___ ___ 奇 非奇非偶 ___ 单调性 _______ ________________________________________________ ______ ______ ________________________________________________ R R R [0,+∞) {x|x≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇 偶 奇 增函数 x∈[0,+∞)时, 增函数,x∈ (-∞,0]时,减函数 增函数 增函数 x∈(0,+∞)时, 减函数,x∈ (-∞,0)时,减函数 逐点清(三)　比较幂值大小 03 [典例]　比较下列各组数中两个数的大小:  (1)与; 解:∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又>, ∴>. (2)与; 解:∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又-<-,∴>. (3)与. 解:∵函数y1=在(0,+∞)上单调递增,又>1,∴>=1.又∵函数y2=在(0,+∞)上单调递增,且<1,∴<=1,∴>. |思|维|建|模|　比较幂值大小的两种基本方法 针对训练 比较下列各组数的大小: (1)与; 解:∵y=x0.3在[0,+∞)上单调递增且>,∴>. (2)(-3.14)3与(-π)3. 解:∵y=x3是R上的增函数,且3.14<π,∴3.143<π3,∴(-3.14)3>(-π)3. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在下列函数中,定义域和值域不同的是 (　 ) A.y= B.y= C.y= D.y= 解析:A、C的定义域和值域都是R;B的定义域和值域都是[0,+∞);D的定义域是R,值域是[0,+∞).故选D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 (　 ) A.2 B.1 C. D.0 解析:因为f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　 ) 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的.函数y=-1的图象可看作是由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),则y=-1的图象关于x轴对称的图象即为选项B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为(　 ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析:a=,b=,c=2. ∵y=在第一象限内为增函数,又5>4>3,∴c>a>b. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m=(　 ) A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 解析:由题意知m2-m-1=1,即(m+1)·(m-2)=0,解得m=-1或m=2.∴当m=-1时,m2-2m-3=0,则f(x)在(0,+∞)上为常数,不合题意.当m=2时,m2-2m-3=-3,则f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,符合题意.∴m=2. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知幂函数y=(p,q∈Z且p,q互质)的图象关于y轴对称,如图所示,则(　 ) A.p,q均为奇数,且>0 B.q为偶数,p为奇数,且<0 C.q为奇数,p为偶数,且>0 D.q为奇数,p为偶数,且<0 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,所以<0.因为函数y=的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数.又p,q互质,所以q为奇数.所以选项D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N+)为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则m等于 (　 ) A.1 B.2 C.1或3 D.3 解析:因为f(x)=x4-m在(0,+∞)上单调递增,所以4-m>0,即m<4.又因为m∈N+,所以m=1,2,3.又因为f(x)=x4-m是奇函数,所以4-m是奇数,所以m=1或m=3. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)下列关于幂函数y=xα的性质,描述正确的有 (　 ) A.当α=-1时,函数在其定义域上是减函数 B.当α=0时,函数图象是一条直线 C.当α=2时,函数是偶函数 D.当α=3时,函数有一个零点0 16 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A选项,y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,不能说在定义域上单调递减,故错误.对于B选项,y=x0,x≠0,图象是直线y=1并且除掉点(0,1),故错误.对于C选项,y=x2,定义域为R,是偶函数,故正确.对于D选项,y=x3,只有一个零点0,故正确.故选C、D. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知函数f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式正确的是(　 ) A.f(a)<f(b)<f<f B.f<f<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f<f D.f<f(a)<f<f(b) 解析:因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,又0<a<b<1<<,所以f(a)<f(b)<f<f. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 (　 ) A.函数为增函数 B.函数为偶函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若0<x1<x2,则<f 16 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,即α=.所以f(x)=.显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;因为f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;当0<x1<x2时,=-<0,即<f成立,所以D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是　　　　.  解析:因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上单调递减.故α<0. 16 (-∞,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知α∈,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α取值的集合是　　　　.  解析:∵α∈,幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴α是奇数,且α<0,∴α=-1. 16 {-1} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,则当x∈　　　　　　 　时,有f(x)>g(x).  解析:设f(x)=xα,g(x)=xβ,由题意,得2=()α,即α=2, -=(-2)β,即β=-1.所以f(x)=x2,g(x)=x-1.画出f(x)与 g(x)的图象如图所示.从图中可看出当x<0或x>1时,f(x)>g(x). 16 (-∞,0)∪(1,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.为了保证信息的安全传输须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理为发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　.  解析:由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9. 16 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0,+∞)上单调递减,m∈R. (1)求f(x)的解析式; 解:由函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1为幂函数得m2+3m-9=1,解得m=2或m=-5, 又函数在(0,+∞)上单调递减, 则m-1<0,即m<1,所以m=-5,f(x)=x-6=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若(2-a>(2a-1,求实数a的取值范围. 解:由(1)得m=-5,所以不等式为(2-a>(2a-1,设函数g(x)=,则函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以解得1<a<2,所以实数a的取值范围是(1,2). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm(m∈R),且f(x)图象不过原点. (1)求出f(x)的表达式,并写出它的单调区间; 解:由m2-m-1=1,解得m=-1或m=2, 又f(x)图象不过原点,故f(x)=,单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)记g(x)=f(x)-2ax(a∈R),判断函数g(x)的奇偶性,并证明. 解:函数g(x)是定义域上的奇函数, 证明:g(x)=-2ax,定义域为D={x|x≠0},任取x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,又由g(-x)=-+2ax=-g(x), 所以函数g(x)是定义域上的奇函数. 16 $$