3.2.1 第1课时 函数的单调性及其应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

3.2.1 函数的单调性与最值 函数的单调性及其应用 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性.理解函数单调性的作用与实际意义. 2.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性. 3.能应用函数的单调性解决一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.增函数与减函数的定义 前提条件 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D 条件 ∀x1,x2∈I,x1<x2 都有f(x1)____ f(x2) 都有f(x1)___ f(x2) 图示 < > 结论 称f(x)是区间I上的增函数,也称f(x)在区间I上单调递增 称f(x)是区间I上的减函数,也称 f(x)在区间I上单调递减 续表 对增函数与减函数定义的理解 (1)定义中x1,x2有三个特征:一是x1,x2同属于一个单调区间;二是x1,x2是任意的两个实数,证明单调性时不可随意用两个特殊值代替;三是x1与x2有大小,通常规定x1<x2,但也可规定x2<x1. (2)函数的递增(或递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的,显然I⊆D. (3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时,函数单调递增;符号相反时,函数单调递减. |微|点|助|解| 2.函数的单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是_______________,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)________,区间I叫做y=f(x)的_________. 增函数或减函数 单调性 单调区间 |微|点|助|解| (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间,如函数y=x2+2x-1的单调减区间(-∞,-1]⊆(-∞,+∞),故在讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域. (2)若函数y=f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增加(减少)的,一般不认为y=f(x)在区间A∪B上一定是增加(减少)的.如:函数f(x)=在区间(-∞,0)上是减少的,在区间(0,+∞)上也是减少的,但不能说它在整个定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减少的. (3)对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性,因此在写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)在[-1,2]上单调递增. (　 ) (2)若f(x)为R上的减函数,则f(0)>f(1). (　 ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增. (　 ) (4)若函数y=f(x)在区间D上单调递增,则函数y=-f(x)在区间D上单调递减. (　 ) ×　 √　 ×　 √ 2.(多选)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　 ) A.y=2x+1　　　　 B.y=x2+1 C.y=3-x D.y=x2+2x+1 √ √ √ 3.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则f(x)的单调递增区间是________.  [-3,1] 4.函数f(x)=-x2+x-1的单调递增区间为_________.  课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性 [例1]　证明函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减. 证明:设∀x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- ==. 因为2<x1<x2,所以x2-x1>0,>4,>4. 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减. |思|维|建|模|　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 针对训练 1.试用函数单调性的定义证明:f(x)=在(1,+∞)上是减函数. 证明:易得f(x)=2+, 设x1>x2>1, 则f(x1)-f(x2) =- =. 因为x1>x2>1, 所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0. 所以f(x1)<f(x2). 所以f(x)在(1,+∞)上是减函数. 题型(二)　图象法求函数的单调区间 [例2]　画出函数f(x)=的图象, 并指出函数f(x)的单调区间. 解:画出函数f(x)=的图象如图所示. 由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2],单调递增区间为[2,+∞). 　　|思|维|建|模|　图象法求函数单调区间的步骤 作图 作出函数的图象 结论 上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间 针对训练 2.画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间. 解:由题意,得y=|x|(x-2)= 函数的图象如图实线部分所示.由函数的图象知,函数的单调递增区间为(-∞,0)和[1,+∞),单调递减区间为[0,1). 题型(三)　函数单调性的简单应用 题点1　利用函数单调性求参数范围 [例3]　若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为(　 ) A.　　　　 B. C. D.∪ √ 解析:因为f(x)是定义在R上的减函数,所以解得≤a<. [例4]　若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是________.  解析:因为f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3, 所以函数的单调递增区间为(-∞,-a-1]. 因为f(x)在(-∞,3]上单调递增,所以3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4]. (-∞,-4] [变式拓展] 在例4中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为___.  解析:因为f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,所以函数的单调递增区间为(-∞,-a-1].由题意得-a-1=3,所以a=-4. -4 |思|维|建|模| 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 ①若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件. ②若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. ③若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小,探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符合“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. 题点2　利用函数单调性解不等式 [例5]　已知f(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围. 解:由题意,得解得0≤x≤3,　① ∵f(x)是[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x). 所以x-2<1-x,解得x<,　② 由①②得0≤x<.所以x的取值范围为. |思|维|建|模| 　　在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将符号“f”脱掉,使其转化为具体的不等式求解.应特别注意函数的定义域. 针对训练 3.若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是 (　 ) A.f(m)<f(1) 　　　B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) 　　　D.f(m)≥f(1) 解析:由题意,得m-1>0,即m>1.因为f(x)在R上是增函数,所以f(m)>f(1). √ 4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是(　 ) A.(-∞,-2) 　　　B.(-∞,0) C.(-3,-2] 　　　D.[-3,-2] √ 解析:因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得-3≤a≤-2,即a的取值范围是[-3,-2]. 5.若f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是 _________.  解析:依题意,得不等式组解得<x≤4. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间是(　 ) A.(0,1) B.(-∞,1) C. D.(-∞,3) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数f(x)=在R上(　 ) A.是减函数 B.是增函数 C.先减后增 D.先增后减 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析:画出该分段函数的图象,如图所示.由图象知,该函数在R上是增函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.函数f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的单调递增区间依次是 (　 ) A.(-∞,0],(-∞,1] 　B.(-∞,0],(1,+∞) C.[0,+∞),(-∞,1] 　D.[0,+∞),[1,+∞) 解析:分别作出f(x)与g(x)的图象(图略),知f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在(-∞,1]上单调递增.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)若函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则 (　 ) A.f(a2+1)<f(a) B.f(a2+a)<f(a) C.f(a2)<f(a) D.f(a2+1)≤f(2a) 解析:∵a2+1-a=+>0,∴a2+1>a.又函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,∴f(a2+1)<f(a),故A选项正确.∵a2≥0,∴a2+a≥a,∴f(a2+a)≤f(a),故B选项不正确.当0≤a≤1时,a2≤a,此时,f(a2)≥f(a),故C选项不正确.∵a2+1-2a=(a-1)2≥0,∴a2+1≥2a,∴f(a2+1)≤f(2a),故D选项正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4]上单调递增,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4]上单调递增,满足题意;当a≠0时,要使f(x)在(-∞,4]上单调递增,则满足解得-≤a<0.综上,实数a的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是______________.  解析:易知y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图所示.由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞). [-1,1]和[3,+∞) 7.已知函数f(x)为定义在[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取 值范围为________.  解析:因为f(x)在区间[-1,1]上为增函数,且f(x)<f,所以解得-1≤x<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,那么a∈______.  解析:根据二次函数的表达式可知,f(x)=-x2+2ax的对称轴为x=a,开口向下,若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则a≤1,g(x)=是反比例型函数,若g(x)在区间[1,2]上是减函数,则a>0,所以0<a≤1.所以f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,a的取值范围为0<a≤1. (0,1] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知函数f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围. 解:设1<x1<x2,则x1x2>1. ∵函数f(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴f(x1)-f(x2)=x1-+-=(x1-x2)<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵x1-x2<0,∴1+>0,即a>-x1x2. ∵1<x1<x2,x1x2>1,∴-x1x2<-1, ∴a≥-1.∴a的取值范围是[-1,+∞). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=mx++(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=. (1)求m,n的值; 解:因为f(1)=m++=2, f(2)=2m++=,所以m=1,n=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并用定义证明. 解:由(1)知f(x)=x++, f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,证明如下: 设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 =x1++- =(x1-x2)=. 因为1≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1,所以2x1x2>2>1. 所以<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有(　 ) A.f(x)在R上是增函数 B.f(x)在R上是减函数 C.函数f(x)是先增后减 D.函数f(x)是先减后增 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由>0,知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围可以是(　 ) A.(0,1) B.(1,3] C.(0,3) D.(0,2] √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意得,∵函数f(x)=是R上的减函数. 当x≤1时,函数f(x)递减,则有a-3<0; 当x>1时,函数f(x)递减, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则有2a>0;且(a-3)×1+5≥2a, ∴解得0<a≤2, 综上所述,实数a的取值范围可以是(0,2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,则k的取值范围是________.  解析:∵函数f(x)=2x2-4kx-5的图象的对称轴为直线x=k,若函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,则k的取值范围是(-1,2). (-1,2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(12分)已知一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)·(x+m),且f(f(x))=16x+5. (1)求f(x)的解析式; 解:由题意设f(x)=ax+b(a>0). 从而f(f(x))=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=16x+5,所以解得或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (不合题意,舍去). 所以f(x)的解析式为f(x)=4x+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若g(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围. 解:g(x)=f(x)(x+m)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m+1)x+m,g(x)图象的对称轴为直线x=-.若g(x)在(1,+∞)上单调递增, 则-≤1,解得m≥-, 所以实数m的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1. (1)求f(1)的值. 解:令x=y=1, 则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若存在实数m,使得f(m)=2,求m的值. 解:因为f=1,所以f(m)=2=f+f=f=f,所以m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)若f(x-2)>2,求x的取值范围. 解:因为f(x-2)>2=f,又y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,所以 解得2<x<. 故x的取值范围为. $$