3.1.3 简单的分段函数（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第一册（湘教版2019）  

3.1.3 简单的分段函数 (教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学) 课时目标 1.了解分段函数的概念,会求分段函数的函数值,能画分段函数的图象. 2.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. 1.分段函数的定义 一般地,如果自变量在定义域的不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数叫作分段函数. 2.分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数的定义域的交集是空集. 3.分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,将每段图象组合到一起就得到整个分段函数的图象. 4.几种常见的分段函数 (1)取整函数:f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数). (2)符号函数:f(x)=sgn x= (3)含绝对值符号的函数:如f(x)=|x-1|= (4)自定义函数: 如f(x)= CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　分段函数的图象及应用 题型(二)　分段函数求值问题 题型(三)　分段函数的实际应用问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　分段函数的图象及应用 01 [例1]　已知函数f(x)=1+(-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示f(x); 解:当0≤x≤2时, f(x)=1+=1. 当-2<x<0时,f(x)=1+=1-x. ∴f(x)= (2)画出f(x)的图象; 解:函数f(x)的图象如图所示. (3)写出函数f(x)的值域. 解:由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). [变式拓展] 　把本例条件改为“f(x)=|x|-2”,如何求解. 解:由题易得f(x)=|x|-2= 作出函数的图象如图所示. 由图可知,f(x)的值域为[-2,+∞). |思|维|建|模| 　　分段函数图象的画法作分段函数的图象时,分别作出各段的图象.在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏. 1.已知函数f(x)=x-[x],x∈[-1,2),其中[x]表示不超过x的最大整数,例如 [-3.05]=-4,[2.1]=2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式; 解:当-1≤x<0时,[x]=-1, 所以f(x)=x+1; 当0≤x<1时,[x]=0,所以f(x)=x; 针对训练 当1≤x<2时,[x]=1,所以f(x)=x-1. 综上,f(x)= (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象; 解:函数f(x)的图象如图所示. (3)根据图象写出函数f(x)的值域. 解:由图象,得函数f(x)的值域为[0,1). 题型(二)　分段函数求值问题 02 [例2]　已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(1),f; 解:由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,f(1)=3×1+5=8, f=f=f=3×+5=. (2)若f(a2+2)≥a+4,求实数a的取值范围. 解:因为a2+2≥2,所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3,所以不等式f(a2+2)≥a+4化为2a2-a-1≥0,解得a≥1或a≤-, 即实数a的取值范围是∪[1,+∞). [变式拓展] 1.本例条件不变,若f(a)=3,求实数a的值. 解:当a≤-2时,f(a)=a+1=3, 即a=2>-2,不符合题意,舍去; 当-2<a<2时,f(a)=3a+5=3, 即a=-∈(-2,2),符合题意; 当a≥2时,f(a)=2a-1=3, 即a=2∈[2,+∞),符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,实数a的值为-或2. 2.本例条件不变,若f(x)>2x,求x的取值范围. 解:当x≤-2时,f(x)>2x可化为x+1>2x, 即x<1,所以x≤-2; 当-2<x<2时,f(x)>2x可化为3x+5>2x, 即x>-5,所以-2<x<2; 当x≥2时,f(x)>2x可化为2x-1>2x, 则x∈⌀. 综上可得,x的取值范围是(-∞,2). 　　|思|维|建|模|　分段函数求值问题的解题思路 求函 数值 当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值 求自变 量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验 针对训练 2.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于(　 ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 √ 解析:由题易知f(1)=2×1=2,据此结合题意分类讨论:当a>0时,f(a)=2a,由f(a)+f(1)=0,得2a+2=0,解得a=-1,舍去;当a≤0时,f(a)=a+1,由f(a)+f(1)=0,得a+1+2=0,解得a=-3,满足题意. 3.函数f(x)=则f(7)=_____.  解析:∵函数f(x)= ∴f(7)=f(f(12))=f(9)=f(f(14))=f(11)=8. 8 题型(三)　分段函数的实际应用问题 03 [例3]　某超市元旦期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过500元,不享受任何折扣;如果顾客购物的总金额超过500元,则超过的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算: 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元,求此人购物实际所付金额. 解:设此人购物总金额为x元,可获得购物折扣金额为y元, 则y= 当x=900时,y=0.1×(900-500)=40. ∵60>40,∴x>900.∴0.2(x-900)+40=60. 解得x=1 000. ∴1 000-60=940. 故此人购物实际所付金额为940元. |思|维|建|模| 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)明确条件,将文字语言转化为数学语言; (2)建立恰当的分段函数模型解决问题. 针对训练 4.某市有A,B两家羽毛球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,A俱乐部每块场地每小时收费6元;B俱乐部按月计费,一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元,超过20小时的部分,每块场地每小时2元.某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动,其活动时间不少于12小时,也不超过30小时. (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30),在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30),试求f(x)与g(x)的解析式; 解:由题意f(x)=6x,x∈[12,30], g(x)= (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为什么? 解:①当12≤x≤20时,6x=90,解得x=15, 即当12≤x<15时,f(x)<g(x); 当x=15时,f(x)=g(x); 当15<x≤20时,f(x)>g(x). ②当20<x≤30时,f(x)>g(x). 综上,当12≤x<15时,选A俱乐部合算; 当x=15时,选A,B俱乐部都合算; 当15<x≤30时,选B俱乐部合算. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.函数f(x)=的图象是 √ 15 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析:函数f(x)==故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知著名的狄利克雷函数D(x)=则D(D(x))等于(　 ) A.0 B.1 C. D. 解析:∵D(x)∈{0,1},∴D(x)为有理数.∴D(D(x))=1. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数f(x)=的值域是(　 ) A.R B.[0,2]∪{3} C.[0,+∞) D.[0,3] 解析:当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2;当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知函数f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为(　 ) A.-1 B.±1 C.0 D.1 解析:当a≥0时,f(a)=a3=1,则a=1,当a<0时,f(a)==1,解得a=-1.综上a=±1. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)已知函数f(x)的图象由如图所示 的两条曲线组成,则 (　 ) A.f(f(-3))=1 B.f(-1)=3.5 C.函数的定义域是(-∞,0]∪[2,3] D.函数的值域是[1,5] √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:选项A,由题图可得f(-3)=2,所以f(f(-3))=f(2)=1,A正确;选项B,图象法只能近似地求出函数值,且有时误差较大,故由图象不能得出f(-1)的确定值,B错误;选项C,由题图可得函数的定义域为[-3,0]∪[2,3],C错误;选项D,由题图可得函数的值域为[1,5],D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)=则f(3)=_____.  解析:f(3)=-2×3+3=-3. -3 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为_______.  解析:原不等式转化为或解得-1≤x≤1. [-1,1] 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知函数f(x)=若f=-6,则f(4)=____.  解析:由题意,得f=3.所以f=f(3)=9+3a=-6,解得a=-5.故f(4)= 42-5×4=-4. -4 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(8分)已知函数f(x)= (1)求f(f(f(5)))的值; 解:因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3. 因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1. 因为0<1<4,所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)画出函数f(x)的图象. 解:f(x)的图象如图所示. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分) 如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C,D,A绕周界运动,用x表示点P的行程,y表示△APB的面积,求函数y=f(x)的解析式. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:当点P在BC上运动,即0≤x≤4时,y=×4×x=2x;当点P在CD上运动,即4<x≤8时,y=×4×4=8; 当点P在DA上运动,即8<x≤12时,y=×4×(12-x)=24-2x. 综上可知,f(x)= 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　 ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4) C.若f(x)=3,则x的值是 D.f(x)<1的解集为(-1,1) √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4),因此f(x)的值域为(-∞,4),故B正确;当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍去),当-1<x<2时,x2=3,解得x=或x=-(舍去),故C正确;当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,x2<1,解得-1<x<1,因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),故D错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)= 已知某家庭2022年前三个月的煤气费如下表: 月份 用气量 煤气费 1月份 4 m3 4元 2月份 25 m3 14元 3月份 35 m3 19元 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 若4月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为______元.  解析:根据1月份用气量4 m3,煤气费4元, 可知f(4)=C=4.又由2、3月份用气量和煤气费得 11.5 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解得A=5,B=. 所以f(x)= 所以f(20)=4+(20-5)=11.5. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是__________.  解析:∵当x0∈A时,f(x0)∈.∴f(f(x0))=2=2∈A.解得<x0<. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(12分)已知函数f(x)的图象如图所示,在区间[0,4]上是抛物线的一段. (1)求f(x)的解析式; 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:由图可知,当x<0时,f(x)=3, 当0≤x≤4时,设f(x)=a(x-2)2-1, 把点(1,0)代入得a-1=0,解得a=1, 所以f(x)=(x-2)2-1, 当x>4时,设f(x)=kx+b, 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 把(4,3),(5,0)代入得,解得 所以f(x)=-3x+15, 所以f(x)= 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 (2)解不等式f(x)≤x+1. 解:f(x)≤x+1, 当x<0时,3≤x+1,解得x≥4,不符合,舍去, 当0≤x≤4时,(x-2)2-1≤x+1,解得≤x≤4,当x>4时,-3x+15≤x+1,解得x≥4,所以x>4, 综上,不等式f(x)≤x+1得解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(12分)已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x); 解:在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象如图①所示. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 由图①中函数取值的情况,结合函数φ(x)的定义,可得函数φ(x)的图象如图②所示. 令-x2+2=x,得x=-2或x=1. 结合图②,得出φ(x)的解析式为 φ(x)= 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求函数φ(x)的定义域、值域. 解:由图②知,φ(x)的定义域为R,φ(1)=1,所以φ(x)的值域为(-∞,1]. 15 $$